#解析力学_Lagrange形式編 17 3つの引数 q, q̇(=dq/dt), t をとる関数 L(q,q̇,t) があるとする. Lは既知関数だが 具体的な形はここでは与えられていない(考慮不要). 未知関数は q=q(t) である. この時，Lが満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 を 次ツイから #変分法 で計算してみよう.

#解析力学_Lagrange形式編 115 Q. 物理世界で運動方程式が2階であることの 説明を与える #オストログラドスキーの定理. ↑ 誰が証明したのか？ A. ミハイル･ #オストログラツキー (Ostrogradsky，1801～1862) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F… ロシア出身の数学者&物理学者で #変分法 などを研究.

#解析力学_Lagrange形式編 16 Q. 一般的に，#変分法 で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. Euler–Lagrange equation ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#汎関数 の停留値を与える関数」 を求める #微分方程式. 一般的な汎関数に対し， オイラー・ラグランジュ方程式は 物理学と無関係に成立.

#解析力学_Lagrange形式編 101 Lがqのn階微分まで含み L(q,q̇,q̈,q^(3),q^(4),…,q^(n)) である時 #最小作用の原理 δS＝δ∫Ldt＝0 にLを代入し #変分法 で計算すると 「一般化された #オイラー・ラグランジュ方程式」 として Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 を得る.

#解析力学_Lagrange形式編 12 Q. #変分法 で #汎関数微分 とは A. 汎函数微分(functional derivative) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%8E… ・ふつうの微分: 関数の入力値が ちょっと変化した時の 出力値の変化. ・汎関数微分: #汎関数 の引数である入力関数が ちょっと変化した時の 出力値の変化.

#解析力学_Lagrange形式編 8 Q. #変分法 とは A. 変分法(calculus of variations, variational calculus) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89… #汎関数 の最大化や最小化の計算. 変分解析学. ある汎函数を最大・最小とするような「極値」函数 あるいは 汎函数の変化率を零とする「停留」函数を求める.

#解析力学_Lagrange形式編 75 #ラグランジュ形式 を整理: #作用 S=∫{t1→t2}Ldtを定義し #最小作用の原理 δS=0を要請すると #変分法 より #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 が導出され #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V を代入すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 62 Q. 物理学で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. #最小作用の原理 を満たす軌跡を #変分法 で導出した #微分方程式. #ニュートンの運動方程式 を 数学的に洗練された方法で定式化し直し #一般化座標 に拡張したもの. #ラグランジュの運動方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 61 ここまでで，1次元の #オイラー・ラグランジュ方程式 を 導出した. 一般のd次元の場合にも， 同様の手順で #変分法 により立式できる. 計算過程は下記URLの通り. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… #自由度(空間の次元)の個数だけ #連立偏微分方程式 が得られる.

#解析力学_Lagrange形式編 60 幾つか参考文献をあたってみて 分かる事は… ･#オイラー・ラグランジュ方程式 を #変分法 で導出する際 #変分演算子 δ を主に使う流儀と あまり使わない流儀とがある. ･部分積分で δq̇ を消す部分で 微分と #変分 の交換を要するが その証明は省きがち.

#解析力学_Lagrange形式編 46 δ(＝#変分演算子)を使った #変分法 の計算は， 変分の定義に立ち返りつつ 個々の性質に確認が必要. δq̇＝δ( dq/dt ) については， 下記の図中の グラフの幾何的な計算から δq̇＝δ( dq/dt )＝(d/dt)( δq ) とわかる. . pic.x.com/xUgQ3Wut4T

#解析力学_Lagrange形式編 36 #汎関数 S の停留条件より dS/dε =∫{t_1→t_2} h(t) { ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇) } dt の { } 内が恒等的に0 ∴ ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 これが #変分法 で導出される #オイラー・ラグランジュ方程式 であり， 物理学とは無関係に成立する.

#解析力学_Lagrange形式編 17 3つの引数 q, q̇(=dq/dt), t をとる関数 L(q,q̇,t) があるとする. Lは既知関数だが 具体的な形はここでは与えられていない(考慮不要). 未知関数は q=q(t) である. この時，Lが満たす #オイラー・ラグランジュ方程式 を 次ツイから #変分法 で計算してみよう.

#解析力学_Lagrange形式編 16 Q. 一般的に，#変分法 で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. Euler–Lagrange equation ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#汎関数 の停留値を与える関数」 を求める #微分方程式. 一般的な汎関数に対し， オイラー・ラグランジュ方程式は 物理学と無関係に成立.

#解析力学_Lagrange形式編 12 Q. #変分法 で #汎関数微分 とは A. 汎函数微分(functional derivative) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%8E… ・ふつうの微分: 関数の入力値が ちょっと変化した時の 出力値の変化. ・汎関数微分: #汎関数 の引数である入力関数が ちょっと変化した時の 出力値の変化.

#解析力学_Lagrange形式編 8 Q. #変分法 とは A. 変分法(calculus of variations, variational calculus) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89… #汎関数 の最大化や最小化の計算. 変分解析学. ある汎函数を最大・最小とするような「極値」函数 あるいは 汎函数の変化率を零とする「停留」函数を求める.

＜#大学の力学の参考書＞ 「一般力学30講」(朝倉書店1994戸田) 前書きより: 『#ヤコビの楕円関数 とか #変分法 など #数学的 な説明も できるだけていねいに わかりやすくした。 #非線形 の問題などに 興味が深まれば幸いである。 本書の終わりの3分の1は いわゆる #解析力学 にあてた。』

#解析力学_Lagrange形式編 115 Q. 物理世界で運動方程式が2階であることの 説明を与える #オストログラドスキーの定理. ↑ 誰が証明したのか？ A. ミハイル･ #オストログラツキー (Ostrogradsky，1801～1862) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F… ロシア出身の数学者&物理学者で #変分法 などを研究.

#解析力学_Lagrange形式編 101 Lがqのn階微分まで含み L(q,q̇,q̈,q^(3),q^(4),…,q^(n)) である時 #最小作用の原理 δS＝δ∫Ldt＝0 にLを代入し #変分法 で計算すると 「一般化された #オイラー・ラグランジュ方程式」 として Σ{k=0→n} {(-1)^k}･(d^k / dt^k){ ∂L / ∂q^(k) }=0 を得る.

#解析力学_Lagrange形式編 75 #ラグランジュ形式 を整理: #作用 S=∫{t1→t2}Ldtを定義し #最小作用の原理 δS=0を要請すると #変分法 より #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q－(d/dt)(∂L/∂q̇)=0 が導出され #ラグランジアン L(q,q̇)=T-V を代入すると #ニュートンの運動方程式 になる.

#解析力学_Lagrange形式編 62 Q. 物理学で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. #最小作用の原理 を満たす軌跡を #変分法 で導出した #微分方程式. #ニュートンの運動方程式 を 数学的に洗練された方法で定式化し直し #一般化座標 に拡張したもの. #ラグランジュの運動方程式.

#解析力学_Lagrange形式編 61 ここまでで，1次元の #オイラー・ラグランジュ方程式 を 導出した. 一般のd次元の場合にも， 同様の手順で #変分法 により立式できる. 計算過程は下記URLの通り. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… #自由度(空間の次元)の個数だけ #連立偏微分方程式 が得られる.

#解析力学_Lagrange形式編 60 幾つか参考文献をあたってみて 分かる事は… ･#オイラー・ラグランジュ方程式 を #変分法 で導出する際 #変分演算子 δ を主に使う流儀と あまり使わない流儀とがある. ･部分積分で δq̇ を消す部分で 微分と #変分 の交換を要するが その証明は省きがち.

#解析力学_Lagrange形式編 46 δ(＝#変分演算子)を使った #変分法 の計算は， 変分の定義に立ち返りつつ 個々の性質に確認が必要. δq̇＝δ( dq/dt ) については， 下記の図中の グラフの幾何的な計算から δq̇＝δ( dq/dt )＝(d/dt)( δq ) とわかる. . pic.x.com/WootmxP6hT

#解析力学_Lagrange形式編 36 #汎関数 S の停留条件より dS/dε =∫{t_1→t_2} h(t) { ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇) } dt の { } 内が恒等的に0 ∴ ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 これが #変分法 で導出される #オイラー・ラグランジュ方程式 であり， 物理学とは無関係に成立する.