＜#代数学の参考書＞ 「群論の味わい」(共立出版2010) 前書きより: 『#群 によって #対称性 を推し量れる. 数学者 #ヘルマン・ワイル が 著書で述べているように 対称性は「各世紀を通じ 人々はこの #観念 によって #秩序 と #美 と #完璧さ を理解し また #創造 しようとつとめてきた」.』

＜#量子論の参考書＞ 別冊・数理科学 「場の量子論の拡がり 現代からみた種々相」(2006) p7より引用: 『#対称性 が #自発的 に破れると #ゲージ場 が #質量 を #獲得 する #ヒッグス機構 が #発見 され， #弱い力 や #強い力 に #ゲージ理論 を用いることが できるようになった。』

＜#量子論の参考書＞ 「場の量子論の拡がり 現代からみた種々相」(サイエンス社2006) p7より: 『#場の量子論 では #対称性 が #自発的 に 破れる可能性があることが #1961年 に #南部陽一郎 によって 提唱された. これにより，色々な #真空 があり 豊富な現象が起こり得る事がわかった.』

＜#代数学の参考書＞ 「線形代数と正多面体」(2012小林) 前書きより: 『#正多面体 のような #有限 の #対称性 をもつ #幾何的 対象と それから自然に作られる #代数的 対象について述べる. 予備知識として #線形代数 の初歩程度は仮定. 対称性を表すための #群論 は 1から丁寧に記述する.』

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「Dブレーン」(東大出版2006橋本) p42より引用: 『大きな #ゲージ対称性 において #ヒッグス機構 を用い， #標準模型 のゲージ対称性まで #対称性 を #自発的 に破り， 標準模型をすべて #再現 する… というのが #大統一理論 (Grand Unified Theory)の試み.』

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(2015江口・菅原) p229より: 『#超共形対称性 (#超共形不変性)とは， #共形変換 を 「#超対称変換 を 含むように拡大」した #超共形代数 に対する #対称性 であり， そのような対称性を 持つ #理論 が #超共形場理論 である。』 ゲシュタルト崩壊！！

＜#電磁気学の参考書＞ 「量子電磁力学を学ぶための電磁気学入門」 (2021高橋) 著者について: 高橋 康 (たかはし やすし) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98… ･1924～2013 ･#場の量子論 において #対称性 の原理を表現する #最も基本的 な関係式 「#Ward・高橋の恒等式」を 導出したことで知られる.

#解析力学_保存量と対称性編 19 Q. #ネーターの定理 と #第一積分 との関係 A. ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… ネーターの定理によれば 「#ラグランジュ形式 または #ハミルトン形式 の物理系に関し， 系の1つの連続的な #対称性 に付随して 1つの #第一積分 が存在する.」

#解析力学_保存量と対称性編 19 Q. #ネーターの定理 と #第一積分 との関係 A. ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… ネーターの定理によれば 「#ラグランジュ形式 または #ハミルトン形式 の物理系に関し， 系の1つの連続的な #対称性 に付随して 1つの #第一積分 が存在する.」

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「Dブレーン」(東大出版2006) p28より: 『A_μ (x) → A_μ (x)＋∂_μ Λ(x) での #不変性 を #ゲージ対称性 と呼ぶ. この #対称性 は #任意関数 Λ(x) に対するものなので #縛り(#理論 への #制限)が #非常に強い ため #作用 を規定する #指導原理 になりうる.』

#解析力学_保存量と対称性編 14 Q. 物理学において #対称性 と #保存量 は 中心的な重要概念であるが， 「保存量」を 「保存料」と変換ミスした場合 何が起こるか A. 食品添加物の意味になってしまう. 保存料 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BF%9D… ＞食品中にいる細菌の増殖を抑制し，変質・腐敗を防ぐ。

#解析力学_保存量と対称性編 14 Q. 物理学において #対称性 と #保存量 は 中心的な重要概念であるが， 「保存量」を 「保存料」と変換ミスした場合 何が起こるか A. 食品添加物の意味になってしまう. 保存料 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BF%9D… ＞食品中にいる細菌の増殖を抑制し，変質・腐敗を防ぐ。

#解析力学_保存量と対称性編 12 Q. #ラグランジュ力学 において， #ネーターの定理 に基づき 系の #保存量 をどのように表現できるか A. 下記URLの導出を参照. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D… #ラグランジアン L #対称性 のパラメータ T, Q を使って， 保存量 X_r を表現している.

#解析力学_保存量と対称性編 12 Q. #ラグランジュ力学 において， #ネーターの定理 に基づき 系の #保存量 をどのように表現できるか A. 下記URLの導出を参照. ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D… #ラグランジアン L #対称性 のパラメータ T, Q を使って， 保存量 X_r を表現している.

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「Dブレーン」(東大出版2006橋本) p24より: 『1＋1次元の φ^4 模型の #対称性 が破れるには この #理論 がまず #タキオン(tachyon)という #光速 を超える #速度 を持つ #粒子 を 見かけ上持っていなければならない. 対称性が破れると タキオンは消えうせる.』

#解析力学_保存量と対称性編 11 Q. #対称性 と #保存則 のセットを 思いつく限り挙げよ A. 下記URLに一覧表がある. 「保存則と対称性」 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… 例: ・時間並進に対するエネルギー保存 ・空間並進に対する運動量保存 ・空間回転に対する角運動量保存 などなど

#解析力学_保存量と対称性編 11 Q. #対称性 と #保存則 のセットを 思いつく限り挙げよ A. 下記URLに一覧表がある. 「保存則と対称性」 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… 例: ・時間並進に対するエネルギー保存 ・空間並進に対する運動量保存 ・空間回転に対する角運動量保存 などなど

#解析力学_保存量と対称性編 10 Q. #解析力学 における #ネーターの定理 の結論を簡潔に述べよ A. Noether's theorem ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D… 系に連続的な #対称性 がある場合 その対称性に対応する #保存則 が存在する. つまり，必ず 何らかの物理量が 時間によらず一定値をとる(#保存量).

#解析力学_保存量と対称性編 10 Q. #解析力学 における #ネーターの定理 の結論を簡潔に述べよ A. Noether's theorem ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D… 系に連続的な #対称性 がある場合 その対称性に対応する #保存則 が存在する. つまり，必ず 何らかの物理量が 時間によらず一定値をとる(#保存量).

#解析力学_保存量と対称性編 9 Q. #対称性 を記述する数学とは. A. 保存則と対称性(Conservation laws and symmetry) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… "物理的対称性を記述する変換は #群. #群論 は物理学のための数学として重要. 連続的対称性は #連続群(#リー群)によって数学的に規定される."

#解析力学_保存量と対称性編 9 Q. #対称性 を記述する数学とは. A. 保存則と対称性(Conservation laws and symmetry) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… "物理的対称性を記述する変換は #群. #群論 は物理学のための数学として重要. 連続的対称性は #連続群(#リー群)によって数学的に規定される."

#解析力学_保存量と対称性編 8 Q. #解析力学 では #対称性 があれば #運動方程式 は変化しない. なぜそう言えるか A. #最小作用の原理 より 系の運動方程式は #作用 Sの変分 δS を0とおく事で導出される. #対称性 を持つ変換は 作用Sを不変に保ち 作用の変分δSも0のままで 運動方程式は不変.

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「Dブレーン」(東大出版2006橋本) p24より: 『空間 #1次元 に #局所化 した #ソリトン を与える #場の理論 の #代表例 は， 1＋1 #次元 の φ^4 模型と呼ばれる. この #模型 は ある簡単な #対称性 を持ち， それが破れる事によって ソリトンが #出現 する.』

＜#代数学の参考書＞ 「群論の味わい」(共立出版2010) 前書きより: 『#群 によって #対称性 を推し量れる. 数学者 #ヘルマン・ワイル が 著書で述べているように 対称性は「各世紀を通じ 人々はこの #観念 によって #秩序 と #美 と #完璧さ を理解し また #創造 しようとつとめてきた」.』

#解析力学_保存量と対称性編 8 Q. #解析力学 では #対称性 があれば #運動方程式 は変化しない. なぜそう言えるか A. #最小作用の原理 より 系の運動方程式は #作用 Sの変分 δS を0とおく事で導出される. #対称性 を持つ変換は 作用Sを不変に保ち 作用の変分δSも0のままで 運動方程式は不変.

#解析力学_保存量と対称性編 7 Q. #解析力学 で #対称性 とは何を指すか A. 対称性 (symmetry) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… 一般に対称性とは 「変換に対して記述が変化しない事」を指す. 解析力学では 「ある(座標系などの)変換に対し #作用積分 が変化しない」時 その変換を対称性と呼ぶ.

#解析力学_保存量と対称性編 7 Q. #解析力学 で #対称性 とは何を指すか A. 対称性 (symmetry) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… 一般に対称性とは 「変換に対して記述が変化しない事」を指す. 解析力学では 「ある(座標系などの)変換に対し #作用積分 が変化しない」時 その変換を対称性と呼ぶ.

#解析力学_保存量と対称性編 6 Q. #循環座標 は常に存在し #保存量(#第一積分)を導出することが常に可能? A. 座標系の取り方に依存するので 循環座標は常に存在するとは限らない. しかし #時空 の #対称性 により ①#エネルギー ②#運動量 ③#角運動量 の3つは任意の力学系で常に保存量.

#解析力学_保存量と対称性編 5 Q. #循環座標(cyclic coordinates)って なぜ「循環」というネーミングなのか A. #対称性 が有って #保存則 を生み出す意だろう. 極座標でθが循環座標なら 角度変化の対称性があり 円周上を回って循環・巡回するイメージ. #群論 では cyclic group=「#巡回群」.

#解析力学_保存量と対称性編 6 Q. #循環座標 は常に存在し #保存量(#第一積分)を導出することが常に可能? A. 座標系の取り方に依存するので 循環座標は常に存在するとは限らない. しかし #時空 の #対称性 により ①#エネルギー ②#運動量 ③#角運動量 の3つは任意の力学系で常に保存量.

#解析力学_保存量と対称性編 5 Q. #循環座標(cyclic coordinates)って なぜ「循環」というネーミングなのか A. #対称性 が有って #保存則 を生み出す意だろう. 極座標でθが循環座標なら 角度変化の対称性があり 円周上を回って循環・巡回するイメージ. #群論 では cyclic group=「#巡回群」.

#解析力学_Hamilton形式編 51 Anticommutative property (#反可換 の性質) en.wikipedia.org/wiki/Anticommu… f( x, y ) ＝ － f( y, x ) 数物系の文脈で， #対称性(symmetry)が関心事である時 上記の性質をantisymmetric(#反対称的)ともいう.

#解析力学_Hamilton形式編 51 Anticommutative property (#反可換 の性質) en.wikipedia.org/wiki/Anticommu… f( x, y ) ＝ － f( y, x ) 数物系の文脈で， #対称性(symmetry)が関心事である時 上記の性質をantisymmetric(#反対称的)ともいう.

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原) p79より: 『重要な #共形場 の理論である #ウェス・ズミノ・ウィッテン模型 (#WZW模型)は #共形不変性 に加え #カレント代数 の #対称性 も持ち 応用が広い. #弦理論 では カレント代数は #時空 の #ゲージ対称性 を記述.』

＜#解析力学の参考書＞ 「微分形式による解析力学　改訂増補版」 (吉岡出版1996木村・菅野) kinokuniya.co.jp/f/dsg-01-97848… 『本書の特色は #拘束条件 を持つ #特異Lagrange系 を 系統的に扱いうる Diracの理論を詳しく解説し 拘束条件と #ゲージ理論 や #対称性 との関係を つぶさに展開した所』

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原) p15より引用: 『#場の量子論 では， #対称性 の情報は #ワード高橋恒等式 (Ward-Takahashi identity; WT identity) に翻訳される。 特に2次元の #共形場理論 では 多くの重要な公式が ワード高橋恒等式のみから導かれる。』

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」 (岩波書店2015江口・菅原) p13より引用: 『#理論 にさらに #ワイル変換 に対する #対称性(＝#ワイル不変性) があると， 理論の対称性は #共形変換群 にまで #拡大 する。 　「#共形不変 な理論 　　≅ 　　#ワイル不変 な理論」 と考えてよい。』

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原) p12より: 『#場の理論 で #対称性 を論じるには， #ネーター・カレント が 重要な役割を果たす。 #共形変換 は #時空 の #微分同相 の一部だから， ネーター・カレントとして働くのは #エネルギー運動量テンソル である。』

＜#代数学の参考書＞ 「物理学におけるリー代数　原著第2版」 (ジョージァイ2010) p1「なぜ群論か」より 『#群論 は #対称性 の #学問 であり 途方もなく #労力を軽減 してくれる道具. #物理学者 が対称性から #情報 を #抽出 しようと する際に使うのは #群 そのものではなく #群の表現.』