#3次元・極座標のラプラシアン導出 25 #極座標 の #ラプラシアン は 導出が大変で #座標変換 の知識が必要。 なので，まず 下記がスラスラできるようにしよう. 2次元平面での極座標の取り方 (x，y) ⇔ (r，θ) 3次元空間での極座標の取り方 (x，y，z) ⇔ (r，θ，φ) ※パッと出てきますか?

#3次元・極座標のラプラシアン導出 24 ここまでで #極座標 の #ラプラシアン について… ・各種の物理，化学，数学の参考書で どう導出しているか概観した. ・その導出は 解析学や #座標変換 の前提知識が いろいろ必要だという事を確認した. ・Wolfram Alphaで検算する方法を 確認した.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 23 #微分演算子 だけを 単独で表示させ #演算子 同士で「二乗」など計算する… という操作は Wolfram無料版ではできない模様. 例えば「∂/∂x」という 微分演算子を単独では扱えず， かわりに「∂f/∂x」のような 何かの関数 f に作用させた形は扱える.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 22 Laplacian[ f( r, theta, phi ) ] mtlnk.net/j_s%253A%252F%… Δf(r,θ,ϕ) = ( r^2 (d^2 f / dr^2) +(d^2 f / dθ^2) +csc^2 θ (d^2 f / dϕ^2) +2 r (df/dr) +cotθ (df/dθ) ) / r^2 #ラプラシアン の #極座標 表示を得た. ※ cscθ=1/sinθ cotθ=1/tanθ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 21 Wolfram Alphaで Laplacian[ f( r, θ, φ ) ] と入力すると 「φ」が認識されない. かわりにTeX記法を使い Laplacian[ f( r, theta, phi ) ] と入力すれば mtlnk.net/j_s%253A%252F%… ↓ r:#動径座標 θ:#天頂角 ϕ:#方位角 と認識され，正しく∆が求まる.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 20 Wolfram Alphaで 3次元 #極座標 での #ラプラシアン を表示させるには… Laplacian[ f( r, θ, φ ) ] と入力した場合: mtlnk.net/j_s%253A%252F%… →「φ」という文字が 極座標の変数として認識されず 2次元極座標系(r, θ)での∆が計算されてしまう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 19 Wolfram Alphaで 2次元 #極座標 での #ラプラシアン を表示させるには… Laplacian[ f( r, θ ) ] mtlnk.net/j_s%253A%252F%… 出力： Δ f(r,θ) = ((d^2 f(r,θ))/(dθ^2))/r^2 + (d^2 f(r,θ))/(dr^2) + ((df(r,θ))/(dr))/r r:#動径座標 θ:#方位角

#3次元・極座標のラプラシアン導出 17 #極座標 の∆の導出について， 凜ちゃんは何と述べているだろうか？ 物理学科に入学した凛ちゃんbot曰く… 「#球座標 に変換した #ラプラシアン の計算？ もう二度とゴメンだにゃ」 そう！この計算はしんどいのである！！ mtlnk.net/j_s%253A%252F%…

#3次元・極座標のラプラシアン導出 16 とくに，#角運動量 については 前もって #古典力学 の勉強時に しっかりイメージと計算法を 熟知しておかないと， いきなり #量子論 や #量子化学 で 「角運動量を #演算子 化しろ！」 と言われても，何の事か全くわからず そこでつまずくだろう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 15 前ツイまでの参考文献リストを概観し 分かることがある。 それは… ･3次元 #極座標 の，座標設定の基礎 ･#全微分 と #偏微分 ･#一般力学 における #回転運動 と #角運動量 の扱い などについて 前もって前提事項として理解が必要！ ということ。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 14 ▶(文献7) マセマ「演習・電磁気学」: 講義2「静電場」p66 「3次元のラプラシアン∇^2の球座標表示」では， 長い計算の途中で項が打ち消し合う様子などを4ページもかけ丁寧に掲載。 この手の計算は，#電磁気学 の本をあたったほうが良いのかも。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 13 ▶(文献6) 丸善・物理学基礎コース「電磁気学Ⅰ」(太田浩一): 3章「ポテンシャル関数：電位」 3.15「微分演算子を曲線座標で表す」p93では， #微分形式 の #双対変換 や #ウェッジ積，#外微分 の知識を使い 球座標のラプラス演算子を導出している。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 12 ▶(文献5) 岩波書店「キーポイント量子力学」: 6章「#軌道角運動量 の計算」p98 前ツイの培風館「量子論入門講義」と同じく #角運動量演算子 の2乗の式から ↑L^2 / ℏ^2 =－r^2 ∆＋(↑r・↑∇)^2＋(↑r・↑∇) を変形し ∆ の極座標表示を得ている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 11 ▶(文献4) 培風館「量子論入門講義」(米谷): 5章「#角運動量 と #水素原子 のスペクトル」 §5.2p100 #角運動量演算子 の2乗和Lを求める際， 3次元極座標 #ラプラシアン をLで表した ∆ =∇^2 =L^2 / ℏ^2 r^2＋∂^2 / ∂r^2＋(2/r)∂/∂r を得ている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 10 ▶文献3続 また 2次元平面での∆の #極座標 表示の発展形として 3次元極座標の設定方法を p143の例9で図示しており， 「#直交座標系 の微分」から 「#極座標系 の微分」への変換方法を #行列 表示する事によって 3次元極座標での ∆f を計算している。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 9 ▶文献3続 その 「∂/∂x と ∂/∂y を #極座標 の #偏微分 で表す方法」 を使って， 2次元平面上での #ラプラシアン ∆f ＝ f_xx ＋ f_yy ＝ g_rr ＋ (1/r) g_r ＋ (1/r^2) g_θθ を得ており， 計算の注意点も併記されている。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 8 ▶(文献3) 杉浦「解析入門Ⅰ」: 第Ⅱ章「微分法」 §6「多変数ベクトル値函数の微分法」 p136～137 2次元平面で #極座標 を定義 ↓ ∂/∂rと∂/∂θを #直交座標 の #偏微分 で表す方法を導く ↓ ∂/∂x と ∂/∂y を 極座標の偏微分で表す方法を導く

#3次元・極座標のラプラシアン導出 7 ▶文献2・続 この本では #偏微分 計算のステップが丁寧に書き下され 解析学・数学が苦手な化学系の人におすすめできる。 二乗和の計算をあえて省いたのも， 数学が苦手な読者に配慮しているのだろう。 続くページには #ルジャンドリアン Λが出てくる。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 6 ▶(文献2) 講談社サイエンティフィク 「単位が取れる量子化学ノート」(福間): 講義06「回転運動と #角運動量」の 「∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z を 極座標パラメータ r, θ, φ で表す」 という計算説明が丁寧。 ただし2乗和をとる部分は書いていない。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 5 ▶文献1続 その∂/∂x，∂/∂y，∂/∂zを2乗し足し合わせ (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 =∇^2=∆の極座標表示を得る. それを活用し 6章「#水素原子」 §6.1「エネルギー固有値と固有関数」で #シュレディンガー方程式 を #変数分離 で解いている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 4 ▶(文献1・続) 手順… 極座標の位置変数の関数 r^2 tan^2 θ tan φ をそれぞれ直交座標パラメータ x，y，zで表し 任意の関数 f( r, θ, φ ) の #全微分 形を x，y，zで #偏微分 する事を考え ∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z を 極座標パラメータ r，θ，φで表す.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 3 様々な書籍で 極座標の∆をどう求めているか 概観してみよう。 ▶(文献1) 裳華房・基礎化学選書12「量子化学」(原田): 5章「#角運動量」 5.2「極座標による表示」 #角運動量演算子 の極座標表示のついでに #ラプラシアン の極座標表示も求めている。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 2 3次元空間の #ラプラシアン∆を (x，y，z) の #直交座標系 ではなく (r，θ，φ) の #極座標系(球面座標系)で 書き直す必要があるのはなぜか。 一例として， 水素原子の電子が満たす 時間非依存の #シュレディンガー方程式 を解く という目標がある。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 1 ↑ このタグでは， #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ＝ (∂/∂r)^2 +(1 / r^2) (∂/∂θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂/∂φ)^2 +(2 / r) (∂/∂r) +(cosθ / r^2 sinθ) (∂/∂θ) を導出します。

#シュレディンガー方程式の導出 45 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ＝ (∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) の導出方法は， #3次元・極座標のラプラシアン導出 というタグで学ぼう！

このアカウントで使用する ハッシュタグの一覧 ▶量子化学のレクチャー: ①#シュレディンガー方程式の導出 ②#3次元・極座標のラプラシアン導出 ③#3次元・極座標ラプラシアン記憶法 ▶参考資料を紹介: ･#量子論をWebで独学・おすすめコンテンツ ･#量子論の参考書

#3次元・極座標ラプラシアン記憶法 1 このタグでは， #3次元・極座標のラプラシアン導出 で導出した数式を #語呂合わせ で暗記してみましょう。 憶えたいのは下記の式です。 ∆= (∂_r)^2 +(1 / r^2) (∂_θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂_φ)^2 +(2 / r) ∂_r +(cosθ / r^2 sinθ) ∂_θ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 98 #div と #grad を使って 工夫して求める方法もある。 「#ラプラシアン (#極座標･#円筒座標)の計算は #ヤコビアン を使うと簡単」 mtlnk.net/j_s%253A%252F%… いろんな参考文献をあたってみて， それぞれの本でどう導出しているか 見比べてみよう！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 97 計算の課程は 下記URLなどでも閲覧できる. 【微分】#ラプラシアン Δの #極座標 表示を導く計算 mtlnk.net/j_s%253A%252F%… 二乗和の計算の手間を減らすため， 少し工夫する方法もある. 【微積分】ラプラシアンの極座標表示 mtlnk.net/j_s%253A%252F%… .

#3次元・極座標のラプラシアン導出 96 #極座標 の #ラプラシアン の計算で 感想として 「めっちゃ楽しかった！」 「こういう計算を一日中，ずっとしていたい！」 「２４時間やっていられる！」 と思う人が もしいたら…， その人は，#微分幾何学 が向いている。 才能があるのだろう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 95 まさに「計算地獄」だったのでは？ ひらめき無しに 正攻法だとこうなる. それを一度，自分の手で じかに味わうことも大切. そうすれば，計算の工夫や 簡単化の方法を探そう， よりシンプルな方法を見つけよう というモチベーションが生まれるから.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 94 以上で，#ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 の #3次元 での #極座標 表示 ＝ (∂/∂r)^2 +(1 / r^2) (∂/∂θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂/∂φ)^2 +(2 / r) (∂/∂r) +(cosθ / r^2 sinθ) (∂/∂θ) を導出した. 何という手間だ…

#3次元・極座標のラプラシアン導出 93 (∂/∂x)^2 (∂/∂y)^2 (∂/∂z)^2 のそれぞれを #極座標 化できたので…， この3つを足し合わせれば ∆＝(∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 の極座標表示が求まる。 この計算過程も 下記，画像パート13にまとめた。 . pic.x.com/4pdzt75rak

#3次元・極座標のラプラシアン導出 92 (∂/∂x)^2 や (∂/∂y)^2 の計算と同じく…， (∂/∂z)^2 の #極座標 化を求める計算過程も 画像にまとめた。 画像パート11: (∂_z)^2 を計算するための「#積の微分」準備 画像パート12: (∂_z)^2 を計算 . pic.x.com/llwaxhi1mt

#3次元・極座標のラプラシアン導出 91 (∂/∂x)^2 の計算と同じく (∂/∂y)^2 の #極座標 化を求める計算過程も 画像にまとめた。 (長すぎてテキストでつぶやけない) 画像パート9: (∂_y)^2 を計算するための「#積の微分」準備 画像パート10: (∂_y)^2 を計算 . pic.x.com/f8pwjt0znw

#3次元・極座標のラプラシアン導出 90 (∂/∂x) の #極座標 表示を2乗し， #積の微分 を駆使しながら (∂/∂x)^2 を求める…という計算過程を 画像にまとめた. なお，計算結果は余りに長すぎて 文字としてつぶやく事ができない. 画像パート8：(∂_x)^2 を計算 . pic.x.com/qsai2fwy6w

#3次元・極座標のラプラシアン導出 89 (∂/∂x)^2 を求める際に， 計算過程の中で必要になる #積の微分 について， すべて画像にまとめておいた。 画像パート7： (∂_x)^2 を計算するための 「積の微分」に関する前準備をまとめ . pic.x.com/voo4lshvd8

#3次元・極座標のラプラシアン導出 88 (∂/∂x)^2で使う #積の微分 続 ∂_θ (1/sinθ)∂_φ=-(cosθ/sin^2 θ)∂_φ+(1/sinθ)∂_θ ∂_φ ∂_φ cosφ ∂_r=-sinφ ∂_r+cosφ ∂_φ ∂_r ∂_φ cosφ ∂_θ=-sinφ ∂_θ+cosφ ∂_φ ∂_θ ∂_φ sinφ ∂_φ=cosφ ∂_φ+sinφ (∂_φ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 87 (∂/∂x)^2 の計算に必要な #積の微分: ∂_r (1/r) ∂_θ=－(1/r^2) ∂_θ＋(1/r) ∂_r ∂_θ ∂_r (1/r) ∂_φ=－(1/r^2) ∂_φ＋(1/r) ∂_r ∂_φ ∂_θ sinθ ∂_r=cosθ ∂_r＋sinθ ∂_θ ∂_r ∂_θ cosθ ∂_θ=－sinθ ∂_θ＋cosθ (∂_θ)^2