#3次元・極座標のラプラシアン導出 10 ▶文献3続 また 2次元平面での∆の #極座標 表示の発展形として 3次元極座標の設定方法を p143の例9で図示しており， 「#直交座標系 の微分」から 「#極座標系 の微分」への変換方法を #行列 表示する事によって 3次元極座標での ∆f を計算している。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 9 ▶文献3続 その 「∂/∂x と ∂/∂y を #極座標 の #偏微分 で表す方法」 を使って， 2次元平面上での #ラプラシアン ∆f ＝ f_xx ＋ f_yy ＝ g_rr ＋ (1/r) g_r ＋ (1/r^2) g_θθ を得ており， 計算の注意点も併記されている。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 8 ▶(文献3) 杉浦「解析入門Ⅰ」: 第Ⅱ章「微分法」 §6「多変数ベクトル値函数の微分法」 p136～137 2次元平面で #極座標 を定義 ↓ ∂/∂rと∂/∂θを #直交座標 の #偏微分 で表す方法を導く ↓ ∂/∂x と ∂/∂y を 極座標の偏微分で表す方法を導く

#3次元・極座標のラプラシアン導出 6 ▶(文献2) 講談社サイエンティフィク 「単位が取れる量子化学ノート」(福間): 講義06「回転運動と #角運動量」の 「∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z を 極座標パラメータ r, θ, φ で表す」 という計算説明が丁寧。 ただし2乗和をとる部分は書いていない。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 5 ▶文献1続 その∂/∂x，∂/∂y，∂/∂zを2乗し足し合わせ (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 =∇^2=∆の極座標表示を得る. それを活用し 6章「#水素原子」 §6.1「エネルギー固有値と固有関数」で #シュレディンガー方程式 を #変数分離 で解いている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 4 ▶(文献1・続) 手順… 極座標の位置変数の関数 r^2 tan^2 θ tan φ をそれぞれ直交座標パラメータ x，y，zで表し 任意の関数 f( r, θ, φ ) の #全微分 形を x，y，zで #偏微分 する事を考え ∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z を 極座標パラメータ r，θ，φで表す.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 3 様々な書籍で 極座標の∆をどう求めているか 概観してみよう。 ▶(文献1) 裳華房・基礎化学選書12「量子化学」(原田): 5章「#角運動量」 5.2「極座標による表示」 #角運動量演算子 の極座標表示のついでに #ラプラシアン の極座標表示も求めている。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 2 3次元空間の #ラプラシアン∆を (x，y，z) の #直交座標系 ではなく (r，θ，φ) の #極座標系(球面座標系)で 書き直す必要があるのはなぜか。 一例として， 水素原子の電子が満たす 時間非依存の #シュレディンガー方程式 を解く という目標がある。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 1 ↑ このタグでは， #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ＝ (∂/∂r)^2 +(1 / r^2) (∂/∂θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂/∂φ)^2 +(2 / r) (∂/∂r) +(cosθ / r^2 sinθ) (∂/∂θ) を導出します。

#シュレディンガー方程式の導出 45 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 ＝ (∂/∂r)^2＋(1 / r^2)(∂/∂θ)^2＋(1 / r^2 sin^2 θ)(∂/∂φ)^2＋(2 / r)(∂/∂r)＋(cosθ / r^2 sinθ)(∂/∂θ) の導出方法は， #3次元・極座標のラプラシアン導出 というタグで学ぼう！

このアカウントで使用する ハッシュタグの一覧 ▶量子化学のレクチャー: ①#シュレディンガー方程式の導出 ②#3次元・極座標のラプラシアン導出 ③#3次元・極座標ラプラシアン記憶法 ▶参考資料を紹介: ･#量子論をWebで独学・おすすめコンテンツ ･#量子論の参考書

#3次元・極座標ラプラシアン記憶法 1 このタグでは， #3次元・極座標のラプラシアン導出 で導出した数式を #語呂合わせ で暗記してみましょう。 憶えたいのは下記の式です。 ∆= (∂_r)^2 +(1 / r^2) (∂_θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂_φ)^2 +(2 / r) ∂_r +(cosθ / r^2 sinθ) ∂_θ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 98 #div と #grad を使って 工夫して求める方法もある。 「#ラプラシアン (#極座標･#円筒座標)の計算は #ヤコビアン を使うと簡単」 mynote-jp.com/entry/Laplacia… いろんな参考文献をあたってみて， それぞれの本でどう導出しているか 見比べてみよう！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 97 計算の課程は 下記URLなどでも閲覧できる. 【微分】#ラプラシアン Δの #極座標 表示を導く計算 batapara.com/archives/lapla… 二乗和の計算の手間を減らすため， 少し工夫する方法もある. 【微積分】ラプラシアンの極座標表示 pictblog.com/laprtp#toc2 .

#3次元・極座標のラプラシアン導出 96 #極座標 の #ラプラシアン の計算で 感想として 「めっちゃ楽しかった！」 「こういう計算を一日中，ずっとしていたい！」 「２４時間やっていられる！」 と思う人が もしいたら…， その人は，#微分幾何学 が向いている。 才能があるのだろう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 95 まさに「計算地獄」だったのでは？ ひらめき無しに 正攻法だとこうなる. それを一度，自分の手で じかに味わうことも大切. そうすれば，計算の工夫や 簡単化の方法を探そう， よりシンプルな方法を見つけよう というモチベーションが生まれるから.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 94 以上で，#ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 の #3次元 での #極座標 表示 ＝ (∂/∂r)^2 +(1 / r^2) (∂/∂θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂/∂φ)^2 +(2 / r) (∂/∂r) +(cosθ / r^2 sinθ) (∂/∂θ) を導出した. 何という手間だ…

#3次元・極座標のラプラシアン導出 93 (∂/∂x)^2 (∂/∂y)^2 (∂/∂z)^2 のそれぞれを #極座標 化できたので…， この3つを足し合わせれば ∆＝(∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 の極座標表示が求まる。 この計算過程も 下記，画像パート13にまとめた。 . pic.twitter.com/4pDZt75rAK

#3次元・極座標のラプラシアン導出 92 (∂/∂x)^2 や (∂/∂y)^2 の計算と同じく…， (∂/∂z)^2 の #極座標 化を求める計算過程も 画像にまとめた。 画像パート11: (∂_z)^2 を計算するための「#積の微分」準備 画像パート12: (∂_z)^2 を計算 . pic.twitter.com/lLwaXHi1mT

#3次元・極座標のラプラシアン導出 91 (∂/∂x)^2 の計算と同じく (∂/∂y)^2 の #極座標 化を求める計算過程も 画像にまとめた。 (長すぎてテキストでつぶやけない) 画像パート9: (∂_y)^2 を計算するための「#積の微分」準備 画像パート10: (∂_y)^2 を計算 . pic.twitter.com/F8PWjt0zNW

#3次元・極座標のラプラシアン導出 90 (∂/∂x) の #極座標 表示を2乗し， #積の微分 を駆使しながら (∂/∂x)^2 を求める…という計算過程を 画像にまとめた. なお，計算結果は余りに長すぎて 文字としてつぶやく事ができない. 画像パート8：(∂_x)^2 を計算 . pic.twitter.com/QSai2FWY6w

#3次元・極座標のラプラシアン導出 89 (∂/∂x)^2 を求める際に， 計算過程の中で必要になる #積の微分 について， すべて画像にまとめておいた。 画像パート7： (∂_x)^2 を計算するための 「積の微分」に関する前準備をまとめ . pic.twitter.com/VOO4LSHVD8

#3次元・極座標のラプラシアン導出 88 (∂/∂x)^2で使う #積の微分 続 ∂_θ (1/sinθ)∂_φ=-(cosθ/sin^2 θ)∂_φ+(1/sinθ)∂_θ ∂_φ ∂_φ cosφ ∂_r=-sinφ ∂_r+cosφ ∂_φ ∂_r ∂_φ cosφ ∂_θ=-sinφ ∂_θ+cosφ ∂_φ ∂_θ ∂_φ sinφ ∂_φ=cosφ ∂_φ+sinφ (∂_φ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 87 (∂/∂x)^2 の計算に必要な #積の微分: ∂_r (1/r) ∂_θ=－(1/r^2) ∂_θ＋(1/r) ∂_r ∂_θ ∂_r (1/r) ∂_φ=－(1/r^2) ∂_φ＋(1/r) ∂_r ∂_φ ∂_θ sinθ ∂_r=cosθ ∂_r＋sinθ ∂_θ ∂_r ∂_θ cosθ ∂_θ=－sinθ ∂_θ＋cosθ (∂_θ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 86 #ラプラシアン の計算ミスが頻出である事は 杉浦「解析入門Ⅰ」の 第Ⅱ章「微分法」§6「多変数ベクトル値函数の微分法」p137にも こう注記されている。 引用: 『二階偏導函数の計算では，#積の微分 法によって係数を微分することを忘れてはならない』

#3次元・極座標のラプラシアン導出 85 微分対象の関数 f を略さず明記した場合: (∂/∂r){ (1/r)･(∂/∂θ) f(r,θ,φ) } = (－1/r^2)(∂/∂θ)f + (1/r)(∂/∂r)(∂/∂θ)f 微分対象の関数 f を略し，省いた場合: (∂/∂r){ (1/r)･(∂/∂θ) } = (－1/r^2)(∂/∂θ) + (1/r)(∂/∂r)(∂/∂θ)

#3次元・極座標のラプラシアン導出 84 微分対象の関数 f(r,θ,φ) を明記し #積の微分 を使うと… (∂/∂r) { (1/r)･(∂/∂θ) f(r,θ,φ) } = { (∂/∂r)(1/r) }･(∂f/∂θ) + (1/r)･(∂/∂r)(∂f/∂θ)←この項が現れる = (－1/r^2)(∂/∂θ)f + (1/r)(∂/∂r)(∂/∂θ)f これが正しい計算！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 83 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } = { (∂/∂r) (1/r) }・(∂/∂θ) ↑ この計算は誤り. 微分対象の関数 f(r,θ,φ) を 略さず書けば… (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) f(r,θ,φ) } つまり (1/r) と (∂/∂θ) f(r,θ,φ) との積を #積の微分 で扱う必要がある.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 82 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } 【心の声】 r で #偏微分 か…。 (1/r) は r に依存する項だけど (∂/∂θ) には r という文字が使われてないから， (∂/∂θ) の部分は影響を受けず { (∂/∂r) (1/r) }・(∂/∂θ) とできるんじゃないか？※間違いです

#3次元・極座標のラプラシアン導出 81 ∂/∂x の #極座標 表示を2乗し (∂/∂x)^2 を求める際， 計算をミスりやすいポイント… それは「#積の微分」！ ここでよく間違える。 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } ＝ { (∂/∂r) (1/r) } (∂/∂θ) ＝ －(1/r^2) (∂/∂θ) この計算は間違いである！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 80 (∂/∂x)^2 = { (sinθ cosφ)(∂/∂r) +(cosθ cosφ / r)(∂/∂θ) －(sinφ / r sinθ)(∂/∂φ) }^2 ↑ 展開すると3×3=9項。 さらに各項で #積の微分 により 項数が倍に増え18項になる. それが x，y，zの3変数ぶんあるので…， 合計で18×3＝54項！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 79 ∂/∂x = (sinθ cosφ)(∂/∂r) +(cosθ cosφ / r)(∂/∂θ) －(sinφ / r sinθ)(∂/∂φ) ↑ を二乗すれば， (∂/∂x)^2 が求まる。 同じように (∂/∂y)^2　も (∂/∂z)^2　も 求めればよい。 …が，ここからの計算はしんどく かなりミスりやすい…！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 78 #直交座標 での #偏微分 ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z の３つをそれぞれ #極座標 パラメータ r，θ，φ だけで表す事ができた。 次は，これらの二乗和をとればよい。 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2 ＋ (∂/∂y)^2 ＋ (∂/∂z)^2 の極座標表示まであと少し！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 77 ここまでの計算式を画像にまとめた。 パート5：x,y,zによる1階微分の #極座標 化が完了 パート6：#行列 形式で整理する . pic.twitter.com/r2MP9RyI9Q

#3次元・極座標のラプラシアン導出 76 #行列 形の #座標変換 と 係数行列の #直交性 は 杉浦「解析入門Ⅰ」第Ⅱ章「微分法」 §6「多変数ベクトル値函数の微分法」 p143にも掲載されている. 下記URLの #ヤコビ行列 の3行列への分解も参照. #球面座標系/座標変換 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83… .

#3次元・極座標のラプラシアン導出 75 #極座標 から #直交座標 への #座標変換 の係数 #行列: A = { { sinθ cosφ，cosθ cosφ，sinφ }， { sinθ sinφ， cosθ sinφ， cosφ }， { cosθ，　　－sinθ，　　0　　} } #直交行列 で (A^t) A = E ゆえ #逆行列 は #転置 で求まる. A^(-1) = A^t

#3次元・極座標のラプラシアン導出 74 さらにシンプルな行列として 整理して書く方法 (∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z)^T = { { sinθcosφ，cosθcosφ，sinφ }， { sinθsinφ， cosθsinφ， cosφ }， { cosθ，　　－sinθ，　 0 } }( ∂/∂r，(1/r) ∂/∂θ，(1/rsinθ) ∂/∂φ )^T

#3次元・極座標のラプラシアン導出 73 縦ベクトル同士を結ぶ変換行列として整理 (∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z)^T = { { sinθcosφ，cosθcosφ / r，sinφ / rsinθ }， { sinθsinφ， cosθsinφ / r，cosφ / rsinθ }， { cosθ，　　　 －sinθ / r，0 } }(∂/∂r，∂/∂θ，∂/∂φ)^T

#3次元・極座標のラプラシアン導出 72 1階微分が完成 ∂/∂x = (sinθcosφ)(∂/∂r) +(cosθcosφ/r)(∂/∂θ) -(sinφ/rsinθ)(∂/∂φ) ∂/∂y = (sinθsinφ)(∂/∂r) +(cosθsinφ/r)(∂/∂θ) +(cosφ/rsinθ)(∂/∂φ) ∂/∂z = (cosθ)(∂/∂r) -(sinθ/r)(∂/∂θ) +0(∂/∂φ)