#3次元・極座標のラプラシアン導出 42 ① x = r sinθ cosφ ② y = r sinθ sinφ ③ z = r cosθ ↑ このうち最も簡単な式は③なので ③の逆を考えてみよう。 z = r cosθ ↓ cosθ = z / r ここで r = √(x^2＋y^2＋z^2) より cosθ = z / √(x^2＋y^2＋z^2) これでrとθを x，y，zで表せた！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 41 #3次元 の #極座標 x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ ↑ これらの式は r，θ，φ だけを使って x，y，z をそれぞれ個別に表わす というもの. 逆は可能だろうか？ つまり x，y，z だけを使って r，θ，φ をそれぞれ個別に表わす という式は？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 40 3次元 #極座標 (r，θ，φ) を設定した時 地球上で #緯度･#経度 はどうなる？ 地球を球とすれば… ・rは一定 ・z軸は球の中心から #北極 へ正の向き。 ・z軸から角度θ=90°の地点の集合が #赤道(緯度=0°) ・ロンドンを通るグリニッジ子午線がφ(経度)=0°

#3次元・極座標のラプラシアン導出 39 #3次元 極座標系の中に #2次元 極座標系が ごく自然に内包されるように. またθやφは 位置ベクトルと座標軸の #内積 をとるだけで簡単に求まるように. この上記の方針だけで x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ が 自動的に決まるのである.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 38 3次元 #極座標 の θ(#天頂角)の取り方の根拠: ▶「↑Pとz軸のなす角」をθとおき z ＝ r cosθ とすれば ↑Pとz軸との #内積 をとるだけで 簡単にθが求まる。 ▶「↑Pとxy平面のなす角」を θ ' とおき z ＝ r sin θ ' だと， θ ' を求める計算が面倒！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 37 1つ疑問。 ↑P＝( x，y，z ) を xy平面上に #射影 し ↑P '＝(x，y) を作る時， どうしてあえて 「↑Pとz軸のなす角」を θ とおき z ＝ r cosθ としたのか？ かわりに 「↑Pとxy平面のなす角」を θ ' とおき z ＝ r sin θ ' とするのはダメなのか？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 36 z ＝ r cosθ x ＝ r sinθ cosφ y ＝ r sinθ sinφ このように #3次元 の #極座標 を 非常に簡単に導けた. ポイントは 【z座標を最初に考える】こと！ そうすればz座標をわきに置いて xy平面上の見慣れた #2次元 極座標の話に 還元しやすくなるから.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 35 ↑P＝(x，y，z) と その #射影 ↑P '＝ (x，y) の関係は r sinθ ＝ r ' ① r cosθ ＝ z ② xy平面上で ↑P ' を表わす極座標は r ' cosφ ＝ x ③ r ' sinφ ＝ y ④ ①を③④に代入すれば r sinθ cosφ ＝ x r sinθ sinφ ＝ y これと②で極座標完成！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 34 ↑P＝(x，y，z) をxy平面上に #射影(投影)した ↑P ' について… その大きさ r ' は r '＝√(x^2＋y^2) であり， xy平面上でx軸からの角度を φ(ファイ)とおけば r ' cos φ ＝ x r ' sin φ ＝ y が成り立つ. ↑ これは見慣れた #2次元 の #極座標！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 33 ベクトル ↑P＝(x，y，z) の大きさを | ↑P |＝r＝√(x^2＋y^2＋z^2) ↑P がz軸となす角をθとおけば ↑P がxy平面上になす #射影 ↑P ' の大きさは | ↑P ' |＝r '＝√(x^2＋y^2) θの定義より r sinθ＝r ' r cosθ＝z xy平面上の世界に持ち込めた！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 32 空間内の位置ベクトル ↑P ＝ ( x，y，z ) は #3次元 の量だが… これをxy平面に #射影 した #2次元 のベクトル ↑P ' ＝ ( x，y ) については 見慣れた「2次元の #極座標 変換」が 成立してほしい。 以上の要件を満たす 座標軸の取り方を考えよう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 31 「3次元の #極座標 を恐れる必要はない！ 単に，2次元の極座標の 自然な拡張に過ぎない！」 ↑ この発言が可能であるようにしたい。 そのために， 【3次元の極座標系の中に 2次元の極座標系が 自然に内包される】 ように変数をセッティングしたい。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 30 #直交座標 として #右手系 をとり， 親指・人差し指・中指の順に x，y，z軸を並べる。 この時 「x軸からy軸の方向に #右ねじ を回すと， ねじがz軸の方向に進む」。 各方向を向く #単位ベクトル に対し #外積 が ↑e_x × ↑e_y ＝ ↑e_z となる。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 29 2次元平面で (x，y) ⇔ (r，θ) の相互書き換えは これで大丈夫。 つぎは3次元空間だが #極座標 の前に まず #直交座標 の軸の取り方を押さえよう。 3次元でx軸，y軸，z軸の並び方を どう記憶しているか？ ↑ これがあやふやだと 極座標も作れない。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 28 x,y座標からθを復元する式 θ＝arctan( y / x ) の代替案として 下記の2つを知っておこう。 ① θ＝atan2( y, x ) 用例: atan2 ja.wikipedia.org/wiki/Atan2 ② θ＝sgn(y)・arccos( x / √(x2＋y^2) ) 用例: #極座標系/#円座標 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5… .

#3次元・極座標のラプラシアン導出 27 x=rcosθ y=rsinθ の逆変換を r=√(x^2+y^2) θ=arctan(y/x) と書いてしまうと… x=0の時 分数y/xが計算できず θ=±π/2 を復元不能. なので プログラミングで数値計算する際などは #atan2 関数を使い θ=atan2( y, x )とし y/xの計算を回避するのが通例.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 26 ▶2次元平面で #極座標 の取り方 (x，y) ⇔ (r，θ) x ＝ r cosθ y ＝ r sinθ この変換は，高校数学で さんざんやりましたね。 その逆変換は r ＝ √(x^2＋y^2) θ ＝ arctan(y/x) と書かれることが多いけど… でも，実用上はこれではダメ。 なぜか？

#3次元・極座標のラプラシアン導出 25 #極座標 の #ラプラシアン は 導出が大変で #座標変換 の知識が必要。 なので，まず 下記がスラスラできるようにしよう. 2次元平面での極座標の取り方 (x，y) ⇔ (r，θ) 3次元空間での極座標の取り方 (x，y，z) ⇔ (r，θ，φ) ※パッと出てきますか?

#3次元・極座標のラプラシアン導出 24 ここまでで #極座標 の #ラプラシアン について… ・各種の物理，化学，数学の参考書で どう導出しているか概観した. ・その導出は 解析学や #座標変換 の前提知識が いろいろ必要だという事を確認した. ・Wolfram Alphaで検算する方法を 確認した.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 23 #微分演算子 だけを 単独で表示させ #演算子 同士で「二乗」など計算する… という操作は Wolfram無料版ではできない模様. 例えば「∂/∂x」という 微分演算子を単独では扱えず， かわりに「∂f/∂x」のような 何かの関数 f に作用させた形は扱える.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 22 Laplacian[ f( r, theta, phi ) ] wolframalpha.com/input?i=Laplac… Δf(r,θ,ϕ) = ( r^2 (d^2 f / dr^2) +(d^2 f / dθ^2) +csc^2 θ (d^2 f / dϕ^2) +2 r (df/dr) +cotθ (df/dθ) ) / r^2 #ラプラシアン の #極座標 表示を得た. ※ cscθ=1/sinθ cotθ=1/tanθ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 21 Wolfram Alphaで Laplacian[ f( r, θ, φ ) ] と入力すると 「φ」が認識されない. かわりにTeX記法を使い Laplacian[ f( r, theta, phi ) ] と入力すれば wolframalpha.com/input?i=Laplac… ↓ r:#動径座標 θ:#天頂角 ϕ:#方位角 と認識され，正しく∆が求まる.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 20 Wolfram Alphaで 3次元 #極座標 での #ラプラシアン を表示させるには… Laplacian[ f( r, θ, φ ) ] と入力した場合: wolframalpha.com/input?i=Laplac… →「φ」という文字が 極座標の変数として認識されず 2次元極座標系(r, θ)での∆が計算されてしまう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 19 Wolfram Alphaで 2次元 #極座標 での #ラプラシアン を表示させるには… Laplacian[ f( r, θ ) ] wolframalpha.com/input?i=Laplac… 出力： Δ f(r,θ) = ((d^2 f(r,θ))/(dθ^2))/r^2 + (d^2 f(r,θ))/(dr^2) + ((df(r,θ))/(dr))/r r:#動径座標 θ:#方位角

#3次元・極座標のラプラシアン導出 18 手計算では結構きついので，先に Wolfram Alphaで検算する方法を確かめよう。 まずは「Laplacian」とだけ入力してみると… wolframalpha.com/input?i=Laplac… ↓ #微分幾何学 に基づき， 一般の座標系における #ラプラシアン の抽象的な定義が出力される。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 17 #極座標 の∆の導出について， 凜ちゃんは何と述べているだろうか？ 物理学科に入学した凛ちゃんbot曰く… 「#球座標 に変換した #ラプラシアン の計算？ もう二度とゴメンだにゃ」 そう！この計算はしんどいのである！！ x.com/daigakubakegak…

#3次元・極座標のラプラシアン導出 16 とくに，#角運動量 については 前もって #古典力学 の勉強時に しっかりイメージと計算法を 熟知しておかないと， いきなり #量子論 や #量子化学 で 「角運動量を #演算子 化しろ！」 と言われても，何の事か全くわからず そこでつまずくだろう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 15 前ツイまでの参考文献リストを概観し 分かることがある。 それは… ･3次元 #極座標 の，座標設定の基礎 ･#全微分 と #偏微分 ･#一般力学 における #回転運動 と #角運動量 の扱い などについて 前もって前提事項として理解が必要！ ということ。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 14 ▶(文献7) マセマ「演習・電磁気学」: 講義2「静電場」p66 「3次元のラプラシアン∇^2の球座標表示」では， 長い計算の途中で項が打ち消し合う様子などを4ページもかけ丁寧に掲載。 この手の計算は，#電磁気学 の本をあたったほうが良いのかも。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 13 ▶(文献6) 丸善・物理学基礎コース「電磁気学Ⅰ」(太田浩一): 3章「ポテンシャル関数：電位」 3.15「微分演算子を曲線座標で表す」p93では， #微分形式 の #双対変換 や #ウェッジ積，#外微分 の知識を使い 球座標のラプラス演算子を導出している。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 12 ▶(文献5) 岩波書店「キーポイント量子力学」: 6章「#軌道角運動量 の計算」p98 前ツイの培風館「量子論入門講義」と同じく #角運動量演算子 の2乗の式から ↑L^2 / ℏ^2 =－r^2 ∆＋(↑r・↑∇)^2＋(↑r・↑∇) を変形し ∆ の極座標表示を得ている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 11 ▶(文献4) 培風館「量子論入門講義」(米谷): 5章「#角運動量 と #水素原子 のスペクトル」 §5.2p100 #角運動量演算子 の2乗和Lを求める際， 3次元極座標 #ラプラシアン をLで表した ∆ =∇^2 =L^2 / ℏ^2 r^2＋∂^2 / ∂r^2＋(2/r)∂/∂r を得ている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 10 ▶文献3続 また 2次元平面での∆の #極座標 表示の発展形として 3次元極座標の設定方法を p143の例9で図示しており， 「#直交座標系 の微分」から 「#極座標系 の微分」への変換方法を #行列 表示する事によって 3次元極座標での ∆f を計算している。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 9 ▶文献3続 その 「∂/∂x と ∂/∂y を #極座標 の #偏微分 で表す方法」 を使って， 2次元平面上での #ラプラシアン ∆f ＝ f_xx ＋ f_yy ＝ g_rr ＋ (1/r) g_r ＋ (1/r^2) g_θθ を得ており， 計算の注意点も併記されている。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 8 ▶(文献3) 杉浦「解析入門Ⅰ」: 第Ⅱ章「微分法」 §6「多変数ベクトル値函数の微分法」 p136～137 2次元平面で #極座標 を定義 ↓ ∂/∂rと∂/∂θを #直交座標 の #偏微分 で表す方法を導く ↓ ∂/∂x と ∂/∂y を 極座標の偏微分で表す方法を導く

#3次元・極座標のラプラシアン導出 7 ▶文献2・続 この本では #偏微分 計算のステップが丁寧に書き下され 解析学・数学が苦手な化学系の人におすすめできる。 二乗和の計算をあえて省いたのも， 数学が苦手な読者に配慮しているのだろう。 続くページには #ルジャンドリアン Λが出てくる。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 6 ▶(文献2) 講談社サイエンティフィク 「単位が取れる量子化学ノート」(福間): 講義06「回転運動と #角運動量」の 「∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z を 極座標パラメータ r, θ, φ で表す」 という計算説明が丁寧。 ただし2乗和をとる部分は書いていない。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 5 ▶文献1続 その∂/∂x，∂/∂y，∂/∂zを2乗し足し合わせ (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 =∇^2=∆の極座標表示を得る. それを活用し 6章「#水素原子」 §6.1「エネルギー固有値と固有関数」で #シュレディンガー方程式 を #変数分離 で解いている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 4 ▶(文献1・続) 手順… 極座標の位置変数の関数 r^2 tan^2 θ tan φ をそれぞれ直交座標パラメータ x，y，zで表し 任意の関数 f( r, θ, φ ) の #全微分 形を x，y，zで #偏微分 する事を考え ∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z を 極座標パラメータ r，θ，φで表す.