#群論の知識 #自由群 (free group) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA… #公理 から来る自明なもの以外に， 元の間の等式がない #群 のこと.

#巡回群とは 59 Q. #群 Gの部分集合M={a_1,…,a_m} の #べき積 の全体は 群をなす事を示せ A. べき積同士の積はべき積で #二項演算 が #閉じている. どのべき積もGの元ゆえ #結合法則 OK. #単位元 は(a_1)^0=e. 積の逆元の計算より べき積zの #逆元 z^{-1}もべき積. ∴群の #公理 を満たす

＜#代数学の参考書＞ 「環と加群」(岩波書店1990山﨑) 「刊行にあたって」から引用: 『現代の #数学 は #形式主義 の影響を強く受けていて ･#定義 ･#公理 ･#定理 ･#証明 を #羅列 した形式で 書かれたものが多い. これは数学の最も #本質的 なものを 見落としているのではなかろうか?』

#巡回群とは 33 x∈#群 Gの時 Gの情報が芋づる式にわかる！ ▶群の #公理 より ①xの #逆元 x^{-1}もGに属する ②#二項演算 が #閉じている ので xの正の #べき x^2, x^3, …と xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する ▶#巡回部分群 の性質より ③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

flute23432「定義と定理１」（2016/09/03 09:21AM） x.com/flute23432/sta… #掛算 #超算数 #数学 #数学教育 #定理 #定義 #公理

#代数系の初歩 11 Q. #半群，#モノイド とは. A. #群 の #公理 のうち #結合法則 を満たすものが半群. #単位元 や #逆元 の存在は要請しない. 群の公理のうち 結合法則と， 単位元の存在を満たすものがモノイド. 逆元の存在は要請しない.

#代数系の初歩 10 #マグマ (数学) 英:magma ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E… ・ #亜群(あぐん, groupoid)とも呼ばれる. ただしこれとは別に， #圏論 に「亜群」という用語があるので 混同してはならない. ・ #二項演算 が #閉じている ことを要求し それ以外の何らの #公理 も課さない.

#代数系の初歩 2 Q. #代数的構造 と #代数系 の違い および2者の関係は A. 代数的構造: 演算や算法で決まる 集合の「構造」のこと. 代数系: 代数的構造を持つ「集合」のこと. 様々な代数系から それらが共通してもつ原理的な性質を抽出し 抽象化・ #公理 化したものが 代数的構造.

#群論の初歩 90 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群) 全部思い出せますかな

#群論の知識 #自由群 (free group) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA… #公理 から来る自明なもの以外に， 元の間の等式がない #群 のこと.

#群論の初歩 85 英語名称のおさらい #群 group #公理 axiom #単位元 identity element #逆元 inverse element #結合法則 associative law #結合律 associative property, associativity #アーベル群 abelian group #可換群 commutative group

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970) p21より: 『#群 の #公理的 定義は 1人の数学者から 生まれたのではない. 群の基礎となる 形式的 #公理 が はっきり述べられたのは ほぼ #1世紀 にわたる #群論 研究のあと. #最初 の重要な定理は #1771年 に #ラグランジュ が 述べて証明した.』

#公理 #数学 #幾何学 #オッカムの剃刀 要は法学の作文と同じで漏れや誤解があってはいけないから...(ガクブル) x.com/cryalph/status…

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970) p21より: 『#群 の #公理的 定義は 1人の数学者から 生まれたのではない. 群の基礎となる 形式的 #公理 が はっきり述べられたのは ほぼ #1世紀 にわたる #群論 研究のあと. #最初 の重要な定理は #1771年 に #ラグランジュ が 述べて証明した.』

#群論の初歩 3 Q. #群 の定義の3条件(群の #公理)を述べよ A. 演算の定義された集合において 1. #結合法則 2. #単位元 の存在 3. #逆元 の存在 が満たされていること. ※「構造内部で #二項演算 が #閉じている こと」は 群の3公理に含めない. それは群以前に #マグマ の性質なので.

#群論の初歩 1 ↑ このタグでは #群論 に独学で入門するため 下記を学びますぞ！ ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群)

#解析力学_Hamilton形式編 59 ①#歪対称性 ②#分配則(#ライプニッツ則) ③#ヤコビの恒等式 上記3つの性質を #公理 に持つ #代数系 は #ポアソン括弧 以外にも作れる. 例えば #軌道角運動量 ベクトルが満たす 「#角運動量 の代数」が挙げられ， #リー代数 の最も簡単な例となっている.

#環論の初歩 16 Q. #可換環 の事を #可換代数 とも呼ぶの? A. 朝倉書店「加群十話」冒頭に 可換環の #公理 を満たす #代数系 を 「文字通り可換代数と呼んでいる」とある. その事に深入りできるのは 数学科上級生で アティマクの名著「可換代数入門」 など読むレベルになってからでしょう.

#環論の初歩 11 Q. #可換環 とは A. #環 の3 #公理 に加え 下記の性質を満たすものをいう. ④ 積の #交換法則 a・b ＝ b・a なお，環は 加法については #アーベル群 なので 加法は常に交換法則を満たす.

#環論の初歩 6 Q. #環 の3 #公理 において 環がもつ2つの演算(和＋と積・)の間の 決定的な差異とは何だろうか. A. 積に「#逆元 の存在を要請しない」こと. また #分配法則 において 和の結合よりも 積の結合のほうが「強く維持される」こと. ※乗法の #単位元 の有無は重要でない.

#環論の初歩 5 Q. 「#環 の #単位元」とは. A. 環に定義された乗法(積演算)に 単位元が存在する場合， 「環の単位元」と呼び 1 という記号で表す. 環の3 #公理 の中で 乗法について #モノイド である事を要請すれば 環は常に「環の単位元」をもつ.

#環論の初歩 3 Q. 「#環 の3 #公理」に 「積演算の #単位元 の存在」を含めるか？ A. 積演算が #結合法則 だけでなく 単位元の存在も満たすなら 「単位元をもつ半群」すなわち 積に関し #モノイド(単位的半群). 一方，積演算に 結合法則のみを要請すれば 積に関しモノイドではなく #半群.

#環論の初歩 2 Q. #環 の #零元 とは. A. 環に定義された「加法の #単位元」0 を指す. 環の #公理 では 加法について #群 なので， 加法の単位元の存在は必須. ※乗法については， 環の公理の中で 乗法について #モノイド である事を要請すれば 乗法の単位元も存在する.

#環論の初歩 1 Q. #環 の3 #公理 A. #代数系 Rが2種類の #二項演算 和＋と積・を持ち ①和について #加法群 ②積について #モノイド で #結合法則 (a・b)・c＝a・(b・c) ※#単位元 を要請しない場合もある. ③和に対する積の #分配法則 (a+b)・c＝a・c+b・c a・(b+c)＝a・b+a・c

＜#代数学の参考書＞ 「線形という構造へ」(2009) 前書きより: 『…#ノイマン により #ヒルベルト空間 という #構造 として #公理 により明確に 規定する空間となった. 以後 #無限次元 の空間の上で ことに #解析学 が自由に 展開していくようになり それは #関数解析学 と呼ばれている.』

#群論入門_作用と軌道編 13 Q. #群 Gが集合Xに #作用 し あるx∈Xに対し { g∈G | gx＝x } ＝ G_xと書く時 G_xがGの #部分群 である事を示せ A. g_1, g_2∈G_xなら g_1 g_2 x＝g_1 x＝xで g_1 g_2∈G_x. 作用の #公理 よりe∈G_x. #結合法則 も成立. gx＝xならg^{-1}をかけ x＝g^{-1}x.

#群論入門_作用と軌道編 9 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… #作用 に関する 外部 #二項演算 の #公理 を満たすような演算が， 集合 X への #群 G の 左群作用(left group action). この時 ・群Gは集合Xに左から作用(act)する. ・Xは左G-集合(left G-set). (左からGが作用できる集合という意味)

#群論入門_作用と軌道編 7 #群 G 集合X G内の #二項演算⊗ GのXに対する #作用⊚ g,g1,g2,e∈G x,x1,x2∈X 作用の #公理: ①#始域 と #終域 作用は #写像 f:G×X→X. 演算が群内で閉じていない f(g,x1)=g⊚x1=x2∈X ②#単位元 の作用 e⊚x=x ③作用の #結合法則 (g2⊗g1)⊚x=g2⊚(g1⊚x)

#群論入門_作用と軌道編 5 Q. #二項演算 と #作用 の違いは. A. #群 の #公理 では 群G内部で #閉じている 二項演算として Gの2元の積を考え， 積の計算結果も群Gの元となる. 一方，「作用」は 群Gが外部の集合Xの1元に働きかけ その結果，集合X内でどんな変化が起きたか という考え方.

おそらくだが、#公理 と言って欲しかったのは、#気体分子運動論 における #分子的混沌 の #仮定 又は、#熱力学 における #エルゴード仮説 のことだったのではないか。#判定待ち ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86…