#巡回群とは 50 Q. #群 Gの部分集合 M＝{ a_1, a_2, …, a_m } がある時， Mの元の #べき積 とは A. z＝(a_{x_1})^{n_1}･(a_{x_2})^{n_2}･…･(a_{x_r})^{n_r} x_1, x_2, …, x_r ∈ { 1, 2, …, r } (※重複可) n_1, n_2, …, n_r ∈ℤ(※0や負の指数も可) の形で書けるGの元 z のこと.

#巡回群とは 49 Q. ここまでで #群 Gの「1つの元」aから #生成 される #巡回群 ‹a› を考えてきた. では 群Gの「複数の元」から生成されるのは? A. 群Gの部分集合 M＝{ a_1, a_2, …, a_m } に対し， これらの要素の #べき を 組み合わせた積(#べき積)の全体がなす群を考える.

#巡回群とは 48 以前 「#真部分群(自明でない #部分群)を持たない #群 は #単位群{e}と自分以外に部分群を持たない. これは素数★に似ている(1と自分でしか割り切れない)」との例えを使った. 前ツイによると 「真部分群を持たない群は 素数★ #位数 の #巡回群 のみ」. 素数つながりである.

#巡回群とは 47 前ツイの解説: #群 G内に #単位元 eではない元aがあれば， その元a(≠e)を使って 必ず #巡回部分群 ‹a› (≤ G) を作れる. これはGの部分群であり， e, a ∈ ‹a› より ‹a› の位数は2以上. つまり Gの #位数 が2以上なら， Gは「位数が2以上の巡回部分群」を必ず持つ.

#巡回群とは 46 Q. #群 Gが |G|≧2で #真部分群 を持たなければ Gは素数 #位数 の #巡回群 である事を示せ. A. #単位元 ではない元a∈Gに対し‹a›≤Gだが 題意より‹a›は真部分群でないので‹a›＝G. 前ツイより |G|が合成数nなら nの約数mにより位数n/mの部分群があるので |G|は素数.

#巡回群とは 45 ここで得られた結果は 「#巡回群 Gには， |G|の任意の約数mに対し #位数 がmであるような Gの #巡回部分群 がただ1つ存在」 というもの. 群論の勉強を進めると，この先 「#群 Gの任意の #部分群 の位数は |G|の約数」 (#ラグランジュの定理) というのを学ぶのでお楽しみに.

#巡回群とは 44 前ツイの解説: 「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは aのある #べき で生成される巡回群」 を既に示してある. ここで 「Hの #位数 mを固定すると Hの #生成元 a^i＝a^sも そこから一意に特定できる」 という事を言えれば， 特定の位数mの部分群Hが 一意だと示せる.

#巡回群とは 43 Q. #位数 n の #巡回群 ‹a›と nの約数mに対し 位数mの #部分群 が ただ1つ存在する事を示せ A. 位数mの任意の部分群をHとし a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおけば 前ツイまでよりH=‹a^s›. 巡回群の位数の性質より (a^s)^m＝e＝a^n ∴s＝n/m Hの #生成元 は唯一a^(n/m).

#巡回群とは 42 前ツイの解説: 「aで #生成 される #巡回群 Gの #部分群 Hは必ず巡回群.」 を示すには… 「Hの全ての元が ある元a^sの #べき として書ける」 つまりHに #生成元 がある事を示せばよい. 割り算の商と余りの議論で 余り=0を示し どの元も生成元a^sのべき乗である事を導く.

#巡回群とは 41 Q. #巡回群 G＝‹a›の #部分群 Hは 巡回群である事を示せ A. G,Hの元はa^iの形. a^i∈Hなる最小の自然数iをsとおく① Hの元a^jでj=qs+r(0≦r≦s-1)②とおく. a^j={(a^s)^q}a^r →{(a^(-s))^(-q)}(a^j)=a^r 左辺a^s,a^(-s),a^j∈Hより右辺a^r∈H ①②よりr=0. ∴H=‹a^s›

#巡回群とは 40 Q. #群 Gの元aの #位数 がnの時 a^m(m∈ℕ)の位数は? A. mとnの最大公約数がGCD(m,n)=d M,Nは互いに素な自然数で m=Md n=Ndの時 a^n=a^(Nd)=e ここで a^m=a^(Md)をN乗すれば { a^(Md) }^N =a^(MdN) ={a^(Nd)}^M =e より |a^m|=N=n/d=n/GCD(m,n). ※最小性に追加証明が必要.

#巡回群とは 39 Q. #群 G の元 a の #位数 が n で m は n の約数とする. このとき n/m ＝ d は整数である. a^d の位数は? A. 「その元を何乗すると #単位元 になるか」 という最小の値が位数である点に注意. a^n＝e のとき { a^(n/m) }^m ＝ a^n ＝ e なので ∴ | a^(n/m) | ＝ m.

#巡回群とは 38 Q. #群 Gの元aの #位数 がnで mはnの約数とする. a^mの位数は? A. a^i=e(#単位元)となる自然数iのうち 最小のものがnであり a^n=e. n=md (m,dは自然数)とおくと a^(md)=e. ここで md=knとなる最小の自然数kはk＝1より (a^m)^d=a^n=eとなる自然数dは d=n/m ∴|a^m|＝n/m

#巡回群とは 37 Q. ここまで出てきた「#位数」の定義を整理 ①#有限群 Gの位数 ②#巡回群 ‹a› の元 x の位数 ③巡回群とは限らない一般の #群 Gの元aの位数 A. ① 群Gに属する異なる元の個数. ② x^n=eとなる最小の自然数n. ③ aが #生成 する #巡回部分群 ‹a› の位数 |‹a›|.

#巡回群とは 36 Q. 「#巡回群 の元の #位数」は定義済. では 巡回群とは限らない一般の #群 Gの 元aの位数とは. A. aが #生成 する #巡回部分群 ‹a›={…, a^{-2}, a^{-1}, a^0=e, a, a^2, …} が位数nの #有限群 なら 元aの位数はnとする. →巡回群でない一般の群も 元の位数を定義可能

#巡回群とは 35 ①#巡回群‹a›の #生成元 aに対し a^i=eとなる最小の自然数iを 生成元aの #位数 と呼ぶ. ②任意の #群 Gの 任意の元xは， xを生成元とする #巡回部分群‹x›を生み出せて， ①より‹x›は位数をもつ. ↓ 任意の群Gの 任意の元xは それぞれ位数の情報を持てるのではないか?

#巡回群とは 34 Q. #加法群 G の ある1つの元 a について a が #生成 する #巡回部分群 は. A. 加法群の場合，演算の #べき は a^1＝a a^2＝a＋a ＝ 2a a^m＝a＋a＋…＋a ＝ ma a^{-m}＝ －ma と表せて H ＝ ‹ a › ＝ { ma | m∈ℤ } Hは (一般に)#無限群 かつ #巡回群 かつ Gの #部分群.

#巡回群とは 33 x∈#群 Gの時 Gの情報が芋づる式にわかる！ ▶群の #公理 より ①xの #逆元 x^{-1}もGに属する ②#二項演算 が #閉じている ので xの正の #べき x^2, x^3, …と xの負のべき x^{-2}, x^{-3}, …もGに属する ▶#巡回部分群 の性質より ③xが #生成 する ‹x› はGの #部分群

#巡回群とは 32 #群 G が 「#元 x を持つ」ならば 「#部分群 ‹ x › を持つ」. x ∈ G ならば ‹ x › ⊂ G 属する元(要素)の存在を たった1個言うだけで， ただちに 部分群(＝構造をもった集合)の存在を 導けるのである. 単なる集合の元xではこうはいかない. 群の元xは特別である.

#巡回群とは 31 Q. #巡回部分群 について学ぶと， ・ #群 Gに属する元 ・群Gの #部分群 の関係について見方が変わる。 つまり， 「群Gがある元xを要素に持つ」という事は 何を意味するかというと… A. 「Gは， その元xが生成する巡回部分群 ‹x› を 部分群に持つ」 という事をも意味する.

#巡回群とは 30 #群 G の元が g_1，g_2，g_3，… だとする時 この1個1個ぜんぶから その元を #生成元 にした #巡回部分群 を作れて H_1 ＝ ‹ g_1 › H_2 ＝ ‹ g_2 › H_3 ＝ ‹ g_3 › … のように Gの #部分群 がざくざく手に入る！ ※ただしこれらの巡回部分群は 互いに等しい場合も.

#巡回群とは 29 Q. よく考えてみると， #巡回部分群 ってスゴく便利なのでは？ A. 一般の #群 Gがある時， Gのどの元からも1コずつ その元が #生成元 となる #巡回群 をつくれて， その巡回群は必ずGの #部分群 になるわけだから. Gの部分群をたくさん得たい時に，超便利！

#巡回群とは 28 Q. H を 元 a によって #生成 される Gの #巡回部分群 とする. H が G の #部分群 である事を示せ. A. 前ツイよりHは #群. また前提より a∈G で 群Gの #二項演算 は #閉じている ので aの任意の #べき はGに属する. ∴Hの全ての元がGに属し HはGの部分集合で HはGの部分群.

#巡回群とは 27 Q. Hを 元aによって #生成 される Gの #巡回部分群(a の #べき の全体)とする. Hが #群 である事を示せ. A. H の任意の2元に対し (a^m)・(a^n)＝a^(m＋n)∈Hで #二項演算 が #閉じている. #単位元 は a^0＝e. 任意の元 a^n に #逆元 a^(-n) が存在. よって H は群である.

#巡回群とは 26 Q. #巡回部分群 とは A. #群 G の1つの元 a について その「正と負の全ての #べき の集合」を考え H ＝{ a^n | n∈ℤ } ＝{ …, a^{-2}, a^{-1}, a^0＝e, a^1＝a, a^2, … } ＝ ‹ a › と書く. H を 「元 a によって #生成 される G の巡回部分群」と呼ぶ.

#巡回群とは 25 「#巡回群」という概念が現れる機会は， 沢山あるのだろうか？ 答えは「めちゃくちゃ沢山ある」。 #群 G の要素が n 個あったら その n 個の要素すべてを それぞれ #生成元 として 巡回群を作ることができ， 何と全て G の #部分群 になるのである. 次ツイから見てみよう.

#巡回群とは 24 Q. 「#原始n乗根」の反例を考える. -1 は「1の4乗根」だが 「1の原始4乗根」ではない事を示せ. A. 1の4乗根は 1, i, -1, -i の4つ. ‹ -1 › ＝ { 1, -1 } で， -1 は 「1の4乗根がつくる(4つの元を含む)#巡回群」の #生成元 になれないので -1 は1の原始4乗根ではない.

#巡回群とは 23 Q. 「#原始n乗根」の例を考える. 虚数単位 i が「1の4乗根」であり なおかつ「1の原始4乗根」でもある事を示せ. A. 1の4乗根は 1, i, -1, -i の4つ. ‹ i › ＝ { i, -1, -i, 1 } で i は 「1の4乗根すべて(4つ)を含む #巡回群」の #生成元 なので， i は1の原始4乗根.

#巡回群とは 22 Q. 1の「#原始n乗根」とは. A. 「1のn乗根がつくる #巡回群」の #生成元 となれる数のこと. 1の原始冪根 ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%A… 1のn乗根のうち「n乗して初めて1になるもの」のこと.

#巡回群とは 21 Q. 整数全体の集合ℤを #巡回群 とみなす場合 その #生成元 は. A. a＝+1 または a＝-1 を生成元とし， #二項演算 として加法 #単位元 1 元 x の #逆元 として －x を考え， 演算の #べき を a^n＝na (n∈ℤ)と定義し その全体の集合は { na | n∈ℤ } ＝ℤ＝‹1›＝‹-1›

#巡回群とは 20 Q. N乗して1になる複素数を z(N, k)＝cos(2π・k/N)＋i sin(2π・k/N) とおく. 集合 S ＝ { z(N, k) | k＝0,1, …, N－1 } から #巡回群 を作れ. A. S上の #二項演算 として 乗法を導入した #代数系 をGとおくと， G は z(N, 1) を #生成元 とする #位数 Nの有限巡回群.

#巡回群とは 19 Q. 虚数単位 i を #生成元 として #巡回群 G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 } を作る. (1) Gにおける -1 の #位数 は？ (2) Gにおける 1 の位数は？ A. (1) (-1)^n＝e＝1となる最小の自然数nは2なので ord(-1)＝2. (2) 1^n＝e＝1となる最小の自然数nは1なので ord(1)＝1.

#巡回群とは 18 Q. 虚数単位 i を #生成元 として #巡回群 G＝‹i›＝{ i, -1, -i, 1 } を作る. (1)#群 G の #位数 は？ (2) i の位数は？ A. (1) #有限群 で要素数が4なので |G|＝4 (2) iはGの生成元だから ord(i)＝|G|＝4. またi^n＝e＝1となる最小の自然数nは4なので やはりord(i)＝4.

#巡回群とは 17 Q. 次の数を #生成元 として 乗法に基づいた #巡回群 を作り その #位数 を求めよ (1) 虚数単位 i (2) -1 A. (1) ‹ i › ＝ { i, i^2＝-1, i^3＝-i, i^4＝1 } ＝{ i, -1, -i, 1 } 位数は4. (2) ‹ -1 › ＝ { -1, (-1)^2＝1 } ＝{ -1, 1 } 位数は2.

#巡回群とは 16 Q. #巡回群 G＝‹a›において 「nはa^n＝eをみたす最小の自然数」…① とする. a^k=e …② ならば kはnの倍数である事を示せ. A. k=qn＋r (0≦r＜n)…③ とおくと ②より a^k =a^{qn+r} =((a^n)^q)・(a^r) =a^r=e ①より「r＞nまたはr=0」. ③よりr=0. →k＝qn ∴kはnの倍数

#巡回群とは 15 #群 の #位数(order) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… ・群の位数はその濃度，すなわち， その集合に入っている元の個数. ord(G) や |G| で表記. ・群の元 a の位数は a^m = e であるような最小の正の整数m. ord(a) や |a| で表記.

#巡回群とは 14 Q. (1) #群 G の位数 (2) #巡回群 G の #生成元 a の位数 ↑ どちらも #位数 と呼ぶので 紛らわしくないか？ A. 確かに同じ用語であるが， 群 G が巡回群である場合 (1)の「群の位数」と (2)の「元の位数」で 値が一致するため，紛らわしくはない.

#巡回群とは 13 Q. #巡回群 G＝‹a›において nはa^n=eをみたす最小の自然数とする. #群 Gの #位数 がnである事を示せ. A. n個の元 a^i (0≦i＜n)の集合をSとおく. 前ツイの議論より Sの元は全て異なる. m≧nの時 m=qn＋r (0≦r＜n)とおくと a^m =a^{qn+r} =((a^n)^q)・(a^r) =a^r ∈ S

#巡回群とは 12 Q. #巡回群 G＝‹ a ›で a^n＝eをみたす最小の自然数nについて， n個の各元 a^i (n＞i≧0)が 全て異なる事を示せ. A. 前ツイより n＞r≧s≧0 の条件下で 「a^r＝a^s ならば r＝s」. 対偶をとり， 「r≠s ならば a^r≠a^s」. よって n個の元 a^i (n＞i≧0) は全て異なる.