#群論の知識 #群環(group ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… ・ #有限群 の #表現論 で 重要な役割を果たす #代数的構造. ・与えられた #群 と #環 の構造を 自然に用いて構成される. #位相群 の群環 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… ・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

#群論の知識 #表現論 (representation theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8… 「#ベクトル空間 の線形変換」として #代数的構造 を #表現 することで， 代数構造上の #加群 を研究する分野. 抽象的な代数的構造の元と演算を #行列 と行列の和や行列の積で記述し， より具体的にする.

#群論入門_正規部分群編 28 #組成列 composition series ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84… ・ #群 などの #代数的構造 を より単純な構造の #単純群 に分解する. ・組成列は 「長さが有限で，その長さが極大である #正規列」. 極大とは 「組成列にはもはや挿入できる #部分群 がない」 という意.

＜#幾何学の参考書＞ 「ベクトル解析30講」(1989志賀) 前書きより引用: 「#微分形式 の理論は #外積代数， または #グラスマン代数 とよばれている #代数的構造 の上に 構成されている. この外積代数の理論も， またその過程で導入される #テンソル代数 も #ベクトル解析 の一部と考え…」

#代数系の初歩 29 このハッシュタグの復習: ・ #代数的構造 と #代数系 ・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法) ・ #群 と他の代数構造を比較: #マグマ，#半群，#モノイド #準群，ループ(#擬群) 全部思い出せますかな

#代数系の初歩 28 英語名称の復習 #代数的構造 algebraic structure #代数系 algebraic system #二項演算 binary operation #簡約法則(簡約律) cancellation property #マグマ magma #亜群 groupoid #半群 semigroup #モノイド monoid #準群 quasigroup, quasi-group #擬群，ループ loop

#代数系の初歩 14 #モノイド(monoid) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2… ・単系(たんけい)とも呼ぶ. ・1つの #二項演算 と #単位元 をもつ #代数的構造 であり， #結合法則 を満たす. ・モノイドは 「単位元をもつ #半群」(＝「単位的半群」) なので，#半群論 の研究対象.

#代数系の初歩 5 Q. ある #代数的構造 G が ある #二項演算 について #閉じている とはどういう意味か A. G内の任意の2つの元 x, y を引数にとって 二項演算を実行した際 演算の結果である xy も必ずGに属している ということ. 要は，演算の結果が 集合からはみ出ないということ.

#代数系の初歩 3 代数的構造 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3… ・ #代数的構造(algebraic structure) #ブルバキ が導入した概念. ・代数的構造の具体例は #群 #環 #体 など. ・代数的構造を持つ集合は #代数系(algebraic system). ・代数系を研究するのが #代数学.

#代数系の初歩 2 Q. #代数的構造 と #代数系 の違い および2者の関係は A. 代数的構造: 演算や算法で決まる 集合の「構造」のこと. 代数系: 代数的構造を持つ「集合」のこと. 様々な代数系から それらが共通してもつ原理的な性質を抽出し 抽象化・ #公理 化したものが 代数的構造.

#代数系の初歩 1 ↑ このハッシュタグでは #群論 の土台となる抽象 #代数学 の 初歩を俯瞰するため 下記の事項を学びますぞ！ ・ #代数的構造 と #代数系 ・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法) ・ #群 と他の代数構造を比較: #マグマ，#半群，#モノイド #準群，ループ(#擬群)

#環論の知識 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%98%87… ①#昇鎖条件 (ascending chain condition, ACC) 半順序集合で，真の上昇列が有限回で止まる. ②#降鎖条件 (descending chain condition, DCC) 半順序集合で，真の下降列が有限回で止まる. どちらも #代数的構造 が満たす有限性に関する性質.

#群論の初歩 5 Q. ある #代数的構造 に #結合法則 が課されていると 何が嬉しいのか A. 演算の「結合順序」を 気にしなくて済むおかげで， 3個以上の元の積を書く時 煩わしい括弧を省略でき楽. (ab)c ＝ a(bc) で どちらも同じ値で区別不要のため 括弧を外し単に abc と書けばよい.

#群論の初歩 2 #群 (英 group) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… ・最も基本的と見なされる #代数的構造 の1つ ・数学や物理学全般で 様々な枠組みを与えるため応用 ・数学的対象 X から X への 「#自己同型 の集まり」の満たす性質を 代数的に抽象化. この集まりは X の #対称性 を表現する