#群論入門_置換群編 41 Q. ① #代数的構造 の #二項演算 の #結合法則. ② #写像 の #合成 の結合法則. この2つを混同・混乱してしまう理由は何だろうか A. ①②で， 全く異なる対象の 異なる数式に対し 同じ「結合法則」という名前で呼んでいるのが 混乱のもと. 区別すべし.

#群論入門_置換群編 40 Q. ① #代数的構造 の #二項演算 の #結合法則 ② #写像 の #合成 の結合法則 ①は一般に成り立たないが， ②は常に成り立つ. この違いの生まれる理由わかった? A. ①は，2変数関数の引数どうしに成り立つ特別な関係. ②は，1変数関数の引数の 単なる入れ子.

#群論入門_置換群編 39 Q. ① #代数的構造 の #二項演算 の #結合法則 ② #写像 の #合成 の結合法則 ①と②の 数式での表現を比較せよ. A. ① (a(bc)) ＝ ((ab)c) f( a, f(b,c) ) ＝ f( f(a,b), c ) fは2変数関数. ② (h∘g)∘f ＝ h∘(g∘f) ＝ h(g(f(X))) f,g,hは1変数関数.

#群論入門_置換群編 38 Q. #代数的構造 Sの 3元a,b,cに対し， #二項演算 の #結合法則 (a(bc))＝((ab)c) が成り立つとはどういう事か， Sの2元を引数に取る2変数関数 f( x, y ) を使って書き直せ. A. 結合法則 (a(bc))＝((ab)c) は f( a, f( b, c ) ) ＝ f( f( a, b ), c ) と書ける.

#群論入門_置換群編 37 #群 ではない一般の #二項演算 では #結合法則 を仮定できない. (a(bc)) ≠ ((ab)c) ※そのような #代数的構造 の例 ・ #マグマ ・ #準群 ・ #擬群 一方，#写像 の #合成 では 常に結合法則が成り立ち便利. (f(gh)＝((fg)h) なぜ，このような違いが生まれるのか?

#群論の知識 #群環(group ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… ・ #有限群 の #表現論 で 重要な役割を果たす #代数的構造. ・与えられた #群 と #環 の構造を 自然に用いて構成される. #位相群 の群環 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… ・無限群の群環はしばしば #位相 を加味した議論が必要.

#群論の知識 #表現論 (representation theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%A8… 「#ベクトル空間 の線形変換」として #代数的構造 を #表現 することで， 代数構造上の #加群 を研究する分野. 抽象的な代数的構造の元と演算を #行列 と行列の和や行列の積で記述し， より具体的にする.

#群論入門_正規部分群編 28 #組成列 composition series ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84… ・ #群 などの #代数的構造 を より単純な構造の #単純群 に分解する. ・組成列は 「長さが有限で，その長さが極大である #正規列」. 極大とは 「組成列にはもはや挿入できる #部分群 がない」 という意.

＜#幾何学の参考書＞ 「ベクトル解析30講」(1989志賀) 前書きより引用: 「#微分形式 の理論は #外積代数， または #グラスマン代数 とよばれている #代数的構造 の上に 構成されている. この外積代数の理論も， またその過程で導入される #テンソル代数 も #ベクトル解析 の一部と考え…」

#代数系の初歩 29 このハッシュタグの復習: ・ #代数的構造 と #代数系 ・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法) ・ #群 と他の代数構造を比較: #マグマ，#半群，#モノイド #準群，ループ(#擬群) 全部思い出せますかな

#代数系の初歩 28 英語名称の復習 #代数的構造 algebraic structure #代数系 algebraic system #二項演算 binary operation #簡約法則(簡約律) cancellation property #マグマ magma #亜群 groupoid #半群 semigroup #モノイド monoid #準群 quasigroup, quasi-group #擬群，ループ loop

#代数系の初歩 14 #モノイド(monoid) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2… ・単系(たんけい)とも呼ぶ. ・1つの #二項演算 と #単位元 をもつ #代数的構造 であり， #結合法則 を満たす. ・モノイドは 「単位元をもつ #半群」(＝「単位的半群」) なので，#半群論 の研究対象.

#代数系の初歩 5 Q. ある #代数的構造 G が ある #二項演算 について #閉じている とはどういう意味か A. G内の任意の2つの元 x, y を引数にとって 二項演算を実行した際 演算の結果である xy も必ずGに属している ということ. 要は，演算の結果が 集合からはみ出ないということ.

#代数系の初歩 3 代数的構造 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3… ・ #代数的構造(algebraic structure) #ブルバキ が導入した概念. ・代数的構造の具体例は #群 #環 #体 など. ・代数的構造を持つ集合は #代数系(algebraic system). ・代数系を研究するのが #代数学.

#代数系の初歩 2 Q. #代数的構造 と #代数系 の違い および2者の関係は A. 代数的構造: 演算や算法で決まる 集合の「構造」のこと. 代数系: 代数的構造を持つ「集合」のこと. 様々な代数系から それらが共通してもつ原理的な性質を抽出し 抽象化・ #公理 化したものが 代数的構造.

#代数系の初歩 1 ↑ このハッシュタグでは #群論 の土台となる抽象 #代数学 の 初歩を俯瞰するため 下記の事項を学びますぞ！ ・ #代数的構造 と #代数系 ・ #二項演算 が #閉じている とは(#内算法) ・ #群 と他の代数構造を比較: #マグマ，#半群，#モノイド #準群，ループ(#擬群)