＜#代数学の参考書＞ 「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988) p6より引用: 『#加法群(additive group)と #加群(module)は， #欧語 では対応する語の ニュアンスが少し違っている。 加群という言葉は， 他の #代数系 と組み合わされ #G加群 とか #D加群 という形で もっぱら使用される。』

#群論の初歩 44 Q. 朝倉書店, 1988 堀田 「加群十話 ― 代数学入門(すうがくぶっくす)」 amazon.co.jp/dp/425411463X ↑ タイトルに「加群」とあるが #加法群(additive group)の事なのか？ A. その本は， 「#代数学 の中心は #環論 で， とくに "環上の #加群(module)" が重要」 という内容.

#群論の初歩 43 Q. 「#加群」という語は何に使われるか A. 加群(module) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0… ・環上の加群(R-module) 　・アーベル群(abelian group) ・リー環上の加群(g-module) ・群上の加群(G-module) ・D加群 ・微分加群 #加法群(additive group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0… .

#群論の初歩 42 Q. 「#加法群」を 「#加群」と呼んでいるケースはあるのか？ A. 下記の古い書籍では 加法群を「加群」と表記している。 1967年・朝倉書店「群論の基礎」 amazon.co.jp/dp/B000JA9AGG/ あまりよくない例であって， 加群とは呼ばず 加法群としたほうがよい。

＜#代数学の参考書＞ 「線形代数の世界 抽象数学の入り口」 (東大出版2007斎藤毅) 前書きより 『#数学 のどの分野にも #線形代数 的な物が現れる. ･#代数 では #加群 や #表現 ･#幾何 では #接空間 や #微分形式 ･#解析 では #線形微分方程式 や #関数空間 数え上げていけばきりがない』

#群論の初歩 39 Q. #加法群 とは. A. 「#アーベル群 の演算を 加法(＋)の形で表記したもの」を 一般に加法群と呼ぶ. 加法群の #単位元 を #零元 と呼び， 通常は 0 と書く. 加法群の元 a の #逆元 を -a と書く. a＋(-b) を a-b と書く. ※ "#加群" とは別物なので区別すること.

＜#代数学の参考書＞ 「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988) asakura.co.jp/books/isbn/978… 前書きより: 『#代数学 とは #加群(module)を調べる事だ と言ってしまった方が早い. これには注釈を要する. 普通，#環 の研究は， #環上の加群，すなわち 環が働く #加群 の研究に 帰着されている.』

＜#代数学の参考書＞ 「加群十話 ― 代数学入門」(朝倉書店1988) asakura.co.jp/books/isbn/978… 前書きより: 『#代数学 とは #加群(module)を調べる事だ と言ってしまった方が早い. これには注釈を要する. 普通，#環 の研究は， #環上の加群，すなわち 環が働く #加群 の研究に 帰着されている.』

＜#代数学の参考書＞ 「線形代数の世界 抽象数学の入り口」 (東大出版2007斎藤毅) 前書きより 『#数学 のどの分野にも #線形代数 的な物が現れる. ･#代数 では #加群 や #表現 ･#幾何 では #接空間 や #微分形式 ･#解析 では #線形微分方程式 や #関数空間 数え上げていけばきりがない』

#加群の知識 #加群 の #根基 (radical of a module) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0… R を #環， M を左 R-加群とし M のすべての #極大部分加群 の共通部分を 加群 M の根基 と呼び rad(M) で表記する。

#加群の知識 #群 上の #加群 (G-module) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… 「#アーベル群 M であって Mの群構造と #両立 するGの #作用 を持つもの」 の事を， 群G上の加群 (module over G) または G-加群 (G-module) という.

#加群の知識 #ネーター加群 (Noetherian module) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D… ・ #部分加群 について #昇鎖条件 を満たす #加群 のこと.

#加群の知識 #アルティン加群 (Artinian module) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2… ・ #部分加群 について #降鎖条件 を満たす #加群 のこと.

#加群の知識 #加群 の #長さ (length of a module) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0… ・ #部分加群 の最長の鎖の長さ. ・加群の「大きさ」の尺度であり #ベクトル空間 の #次元 の概念の一般化でもある. ・加群の長さが有限 ⇔#アルティン加群 かつ #ネーター加群

#加群の知識 #クルル・シュミットの定理 (Krull-Schmidt theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF… ・ #群 Gに #主組成列 が存在すれば Gは有限個の #直既約 群の #直積 に分解され その直既約分解は 順序と #同型 を除いて一意的. ・ #加群 の直既約分解も同様に 順序と同型を除いて一意的.

#加群の知識 直既約加群 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4… #加群 が #直既約(ちょくきやく,indecomposable) であるとは ・その加群が0でなく ・2つの0でない #部分加群 の #直和 として書けない ということ. 直既約でない加群は #直可約(ちょくかやく,decomposable).

#加群の知識 半単純加群 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A… 乗法の #単位元 をもつ #環 (#可換環 とは限らない)上の #加群 が 単純(既約)部分加群の #直和 であるとき， #半単純(semisimple)あるいは #完全可約(completely reducible)という.

#加群の知識 #単純加群(simple module) または #既約加群(irreducible module) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… #環 R 上の左 #加群 S ≠ {0} で 非自明な部分 R-加群を もたないようなものを指す.

#加群の知識 #ねじれ(#捩れ，torsion) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A9… ①#群 の #ねじれ元(torsion element): 有限 #位数 の元. ②#環 R上の #加群 Mのねじれ元: 環のある #正則 元(#非零因子)によって 零化される加群の元. r m＝0(#零元)となる正則元r∈Rが存在すれば m∈Mはねじれ元.

＜#代数学の参考書＞ 「代数学Ⅱ 環上の加群」(東大出版2007桂) 前書きより引用: 『第3章では #有限群 の #表現論 を扱った. 有限群の #表現 は #群環 上の #加群 の #理論 と みることができることを #強調 しつつ， #指標 とその #直交関係 など #基本的 な #性質 は おおよそ解説した.』

#群論の知識 群のコホモロジー (group cohomology) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… #代数トポロジー に由来する技法である #コホモロジー 論を使って #群 を研究する. 群 G の G #加群 への #作用 をみることで その群の性質を明らかにする.

＜#代数学の参考書＞ 「環上の加群」(東大出版2007桂) 前書きより: 『#ベクトル空間 とは #加法群 に #体 の #作用 が与えられた物. 体のかわりに #環 を考え 環の作用が与えられた加法群を #環上の加群 という. ベクトル空間の #一般化 である この環上の #加群 を取り上げ，理論を解説.』

＜#代数学の参考書＞ 「環と加群」(岩波書店1990山﨑) ne.jp/asahi/music/ma… 前書きより 『#非可換環 については #半単純環 の構造論を第一の頂点とし #群の表現 を #加群 そのものとしてとらえる。 さらに，#テンソル積 を武器として 魅惑的な #単純環 の理論への 入門を果たしたい。』

＜#代数学の参考書＞ 「環と加群」(1990山﨑) 前書きより: 『#環 とは #スカラー の概念を #加群 とは #ベクトル の概念を 各々の機能性を保ちつつ 最大限に #一般化 し 集団として把握したもの. この意味で 環と加群の理論は #線型代数 の一般化だが， 同時に #集約化 という面も現れる.』

#群論の知識 「#群 の #表現論 といっても #ジョルダン標準形 の話と ある意味で同じである。 本書第3章の趣旨は， ジョルダン標準形の理論は K[T] #加群 の分類に等しい という事であった。 すなわちそれは， #モノイド N_0 の表現論なのである。」 (朝倉書店「加群十話」より)