#線形代数入門 60 #行列 の… ･#固有値 と #固有ベクトル による #対角化 ･#ジョルダン分解，#ジョルダン標準形 ↑ これらの背景にある理論は 「#単因子論」である。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… ・行列の #単因子(invariant factor)とは， 行列の #標準形 を定める #不変量 のこと。

#線形代数入門 59 前ツイまでで取りあげた 「#連立漸化式 を #ジョルダン標準形 で解く」 というのは， 東大工学系研究科(平成14年度) の #院試 過去問に 丁寧な誘導を付けて改題したものである。 twitter.com/mathematics_ta…

#線形代数入門 58 #WolframAlpha で… ▶#行列 の #ジョルダン分解 (#ジョルダン標準形)を求める方法: 行列を入力するだけ。 {{0,4,5},{-2,3,2},{0,2,4}} wolframalpha.com/input?i=%7B%7B… M=S J S^(-1) S= (1|3/2|2 -2|1|-1 2|0|2) J= (2|1|0 0|2|0 0|0|3)

#線形代数入門 56 #行列 を #対角化 すれば n乗しやすくなるのと同じように， 行列を #ジョルダン分解 すれば n乗しやすくなる。 ∵ A = P J P^{-1} のとき A^n = (P J P^{-1}) … (P J P^{-1}) = P (J^n) P^{-1} ここで #ジョルダン標準形 J のn乗 J^n は求まるので A^n も求まる。

#線形代数入門 55 任意の #正方行列 Aは， 適当な #正則行列 Pにより， 「#ジョルダン細胞 によって #ブロック対角化 された #行列」J: J = P^{-1} AP とできる。 この J を #ジョルダン標準形 という。 変形すると A = P J P^{-1} で，この形を A の #ジョルダン分解 という。

#線形代数入門 54 ①#対角行列 はn乗しやすい ↓ 任意の #行列 は #対角化 すればn乗しやすくなる。 ②#ジョルダン行列 はn乗しやすい。 ③「#ジョルダン細胞 を並べて #ブロック対角化 された #行列」 もn乗しやすい。 ↓ 任意の行列は #ジョルダン標準形 にすれば n乗しやすくなる！

#線形代数入門 45 Jordan normal form(#ジョルダン標準形) en.wikipedia.org/wiki/Jordan_no… a square complex matrix A is similar to a block diagonal matrix. 一般的に複素 #正方行列 は ブロック対角行列と #相似。 So there exists an invertible matrix P such that P^{−1}AP = J.

#線形代数入門 44 #ジョルダン標準形 (Jordan normal form) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8… 任意の #正方行列 Aは本質的に ただ1つのジョルダン標準形Jと #相似。 #ジョルダン細胞 によって #ブロック対角化 された #行列 J を考えると， 適当な #正則行列 Pにより J＝P^{-1} AP とできる。

#線形代数入門 43 #行列 を #対角化 できない場合， かわりに #ジョルダン標準形 を求めればよい という定石がある。 ジョルダン標準形とは #対角成分 として #ジョルダン細胞 をもち ほかの値が0であるような行列のこと。 #対角行列 と同じく 「n乗を求めやすい」という性質がある。

線型代数の像Imと核Kerの意味・イメージ study-guide.hatenablog.jp/entry/20150307… 核と像がわかれば 「#線形写像 の大まかな性質」を把握できる。 そうすれば #固有値問題 を理解しやすくなり， #ジョルダン標準形 の仕組みもわかる。 なのでぜひ Ker と Im の苦手意識を克服しよう。

大学1年・前期の #線形代数 の目的 study-guide.hatenablog.jp/entry/20150404… ・「#逆行列」を求めること (＝連立一次方程式系を解くこと) ・「#固有値問題」を解くこと (応用が一番多い) ・「#対角化」により関係をシンプルに整理すること(#ジョルダン標準形 を含む)