#線形代数入門 60 #行列 の… ･#固有値 と #固有ベクトル による #対角化 ･#ジョルダン分解，#ジョルダン標準形 ↑ これらの背景にある理論は 「#単因子論」である。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… ・行列の #単因子(invariant factor)とは， 行列の #標準形 を定める #不変量 のこと。

#線形代数入門 56 #行列 を #対角化 すれば n乗しやすくなるのと同じように， 行列を #ジョルダン分解 すれば n乗しやすくなる。 ∵ A = P J P^{-1} のとき A^n = (P J P^{-1}) … (P J P^{-1}) = P (J^n) P^{-1} ここで #ジョルダン標準形 J のn乗 J^n は求まるので A^n も求まる。

#線形代数入門 54 ①#対角行列 はn乗しやすい ↓ 任意の #行列 は #対角化 すればn乗しやすくなる。 ②#ジョルダン行列 はn乗しやすい。 ③「#ジョルダン細胞 を並べて #ブロック対角化 された #行列」 もn乗しやすい。 ↓ 任意の行列は #ジョルダン標準形 にすれば n乗しやすくなる！

#線形代数入門 43 #行列 を #対角化 できない場合， かわりに #ジョルダン標準形 を求めればよい という定石がある。 ジョルダン標準形とは #対角成分 として #ジョルダン細胞 をもち ほかの値が0であるような行列のこと。 #対角行列 と同じく 「n乗を求めやすい」という性質がある。

#線形代数入門 37 「#対角化可能 であるための #必要十分条件」 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… ･#行列 Aの #固有ベクトル だけで n次元 #ベクトル空間 の #基底 が構成できるなら #対角化 可能。 ･行列Aの #最小多項式 が #重根 をもたないことも 対角化可能であるための必要十分条件。

#線形代数入門 35 M_1 = { {1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3} } M_2 = { {0,4,5}, {-2,3,2}, {0,2,4} } M_1 は #対角行列 J により M_1 = S J S^{-1} の形に #対角化 できる。 M_2 はそれができない。 この差は，各行列の #固有多項式(#特性多項式) #最小多項式 を見るとわかる。

#線形代数入門 34 #行列 M = { {0,4,5}, {-2,3,2}, {0,2,4} } のn乗を求めたいが このMを #対角化 できないことを確かめよう。 「{ { 0, 4, 5 }, { -2, 3, 2 }, { 0, 2, 4 } }を対角化」 ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 「対角化不可能」と出力される。

#線形代数入門 33 「#行列 のn乗」の演習問題: a(n+1) = 4 b(n) + 5 c(n) b(n+1) = - 2 a(n) + 3 b(n) + 2 c(n) c(n+1) = 2 b(n) + 4 c(n) 行列M = { {0,4,5}, {-2,3,2}, {0,2,4} } のn乗を使って， これら3つの数列の一般項を求めよ。 ただしMは #対角化 できない。 どうする？

#線形代数入門 32 前ツイまでで， 3変数の #数列 の #連立漸化式 を #行列 の #対角化 によって解いた。 次に，それと似た問題設定だが 同じ方法が使えないパターンを見てみよう。 「行列を対角化できない場合は， どうやって行列のn乗を求めるのか？」 というものである。

#線形代数入門 31 #固有値 が1,2,3であるような #対角化可能 な #行列 Mの数値例として 下記出典のものを使用した。 共立出版「詳解 線形代数演習」 5章「固有値と固有ベクトル」問題[4](2)より。 なおここでは， #対角化 に用いる #変換行列 Sは #直交行列 にする旨の指定はない。

#線形代数入門 30 ↑x(n)={ a(n), b(n), c(n) } M={ {1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3} } とおくと， #数列 の #連立漸化式 を ↑x(i+1) = M ↑x(i) と書けて ↑x(n) = M^n ↑x(0) ここで #行列 Mの #対角化 を使えば M^n は求まるので， 数列の一般項 ↑x(n) も求まったことになる。

#線形代数入門 29 #行列 Mに対し， ① M^n ② Mの #対角化 M = S J S^{-1} による形式 (M^n =) S J^n S^{-1} ↑ この２つが一致する事の検算。 ①－②を計算してみると… ja.wolframalpha.com/input?i=%7B%7B… 出力は #零行列 になる。

#線形代数入門 28 #行列 M の #対角化 M = S J S^{-1} がもしできた場合， S^{-1} S = E の性質を使えば 行列のn乗は M^n = (S J S^{-1}) … (S J S^{-1}) = S J^n S^{-1} であり， #対角行列 のn乗 J^n は楽に求まるので， M^n も楽に計算できる。

#線形代数入門 27 #行列 M を #対角化 し #対角行列 J により M = S J S^{-1} という形に書けたとする。 このとき S^{-1} S = E (#単位行列) という #逆行列 の性質を使えば M^2 = ( S J S^{-1} ) ( S J S^{-1} ) = S J ( S^{-1} S ) J S^{-1} = S J ( E ) J S^{-1} = S J^2 S^{-1}

#線形代数入門 22 #WolframAlpha で… ▶#行列 を #対角化 する方法: JordanDecomposition[ { {1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3} } ] ja.wolframalpha.com/input?i=Jordan… 出力: M = S J S^(-1) S = { {-1, -2, -1 }, {3, 5, 3}, {0, 2, 2} } J = { {1, 0, 0 }, {0, 2, 0}, {0, 0, 3}}

#線形代数入門 21 前ツイで，#行列 Mのn乗を 容易に #WolframAlpha で計算できた理由は， このMが「#対角化 できる」という 良い性質をもった行列だったから。 Mを対角化するとは， #対角成分 のみ非ゼロの値を持つ行列 (#対角行列)Jにより M = S J S^(-1) の形に分解するということ。

#線形代数入門 19 #数列 の一般項 ↑x(n) = M^n ↑x(0) を求めるには，#行列 M = { { 1, 0, -1 }, { 3, 2, 3 }, { 6, 2, 3 } } のn乗 M^n を求める必要が生じる。 これは行列Mを #対角化 することで 求められる。 そのためには，行列Mの #固有値，#固有ベクトル を求めればよい。

#線形代数入門 16 #対角化 の演習問題: 3つの #数列 がある。 a(n+1) = a(n) - c(n) b(n+1) = 3 a(n) + 2 b(n) + 3 c(n) c(n+1) = 6 a(n) + 2 b(n) + 3 c(n) #行列 のn乗を使って これら3つの数列の一般項を求め #WolframAlpha で検算せよ。 次ツイ以降で解いてみよう！

大学1年・前期の #線形代数 の目的 study-guide.hatenablog.jp/entry/20150404… ・「#逆行列」を求めること (＝連立一次方程式系を解くこと) ・「#固有値問題」を解くこと (応用が一番多い) ・「#対角化」により関係をシンプルに整理すること(#ジョルダン標準形 を含む)

大学の線形代数は，#行列論 の入門から始め ・ #逆行列 ・ #固有値 ・ #対角化･2次形式 などを扱い， 線形空間の議論に進んでゆく. language-and-engineering.hatenablog.jp/entry/20140505… #線形空間 の議論では「抽象線型代数」が扱われ ・ #正規直交基底 ・内積･ノルム などを学ぶ.

#たった10ツイートでわかる線形代数 計算練習の補遺 (4/4) ▶#対角化 で… 二次形式の標準形を求める linky-juku.com/quadratic-form/ 連立漸化式を解く blog.livedoor.jp/ddrerizayoi/ar… 連立微分方程式を解く dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E7… ほか，具体的な3～4次行列でガンガン計算すること！

#たった10ツイートでわかる線形代数 10/10 Q. #固有値問題 や #対角化 の意義とは A. 固有値問題: ・量子論や物理学で頻繁に現れる ・対角化に必要 対角化できれば: ・行列のn乗を楽に計算できる ・連立微分方程式や連立漸化式を解ける ・二次曲線を標準化･把握しやすくなる

#たった10ツイートでわかる線形代数 9/10 Q. 行列Aを #対角化 せよ A. Aの #固有方程式 を解き 相異なる #固有値 λ_1, λ_2, λ_3, … 相異なる #固有ベクトル α_1, α_2, α_3, … を得て 対角成分に固有値を並べた行列Λ 固有ベクトルを並べた行列P Λ＝P^{-1} AP により #対角行列 を得る