#巡回群とは 1 ↑ このタグでは #群論の初歩 の内容を前提に 下記を学びますぞ！ ▶#巡回群 ･#べき ･#生成元 の位数 ･巡回群の #位数 ･例: #原始n乗根 ･巡回群の #部分群 ▶#群 の1つの元… ･…が #生成 する #巡回部分群 ･…の位数 ▶部分集合が #生成系 となる部分群 ･#べき積

#群論の初歩 90 ↑ このハッシュタグの復習： ▶#群 の定義(#公理) ･#結合法則，#単位元，#逆元 ･#簡約法則 ▶#アーベル群(#可換群) ･#交換法則 ▶#加法群 ･#零元 ▶#部分群 ･#真部分群 ･#行列群(#古典群。#一般線形群 とその部分群) 全部思い出せますかな

#群論の初歩 89 (前ツイから続き) 下記の記号をスマホに単語登録し 代数学関連の数式を 入力・変換しやすくしておこう！ | |　いすう ℤ　せいすう ℚ　ゆうりすう ℝ　じっすう ℂ　ふくそすう ℕ　しぜんすう ^*　ずいはん ^T　てんち ^t　てんち ̅　　きょうやく ≠　ことなる

#群論の初歩 88 下記の記号をスマホに単語登録し 数式を入力・変換しやすくしておこう！ ^{-1}　ぎゃく ⁻¹　ぎゃく 元として属するか ∈　∋　ぞくする ∉　∌　ぞくさない ぶぶん (部分群や部分集合として含むか) ≤　<　⊂ ≰　≮　⊄ ≥　>　⊃ ≱　≯　⊅ 次ツイに続く

#群論の初歩 87 英語名称の復習・続 GL #一般線形群 general linear group SL #特殊線形群 special linear group O #直交群 orthogonal group SO #特殊直交群 special orthogonal group #回転群 rotation group U #ユニタリ群 unitary group SU #特殊ユニタリ群 special unitary group

#群論の初歩 85 英語名称のおさらい #群 group #公理 axiom #単位元 identity element #逆元 inverse element #結合法則 associative law #結合律 associative property, associativity #アーベル群 abelian group #可換群 commutative group

#群論の初歩 84 SL, SO, SU などは #行列群 の中でも特に #古典群 と呼ばれる. ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C… ・行列群(matrix group): #正則行列 からなる. ・線型群(linear group): 体K上の #行列 群に同型な抽象群. 古典群(The classical groups)の一覧表 en.wikipedia.org/wiki/Classical… .

#群論の初歩 83 #行列 の積に関する #群 一覧： (2) 複素数成分の場合 ▶U(n) #ユニタリ群 #ユニタリ行列 (#逆行列 が #随伴行列) ▶SU(n) #特殊ユニタリ群 ユニタリかつ #行列式=1 ※参考: ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9… 特殊ユニタリ群は #素粒子物理学 で頻出.

#群論の初歩 82 #行列 の積に関する #群 一覧： (1) おもに実数成分の場合 ▶GL(n) #一般線形群 #正則行列 ▶SL(n) #特殊線形群 #行列式=1 ▶O(n) #直交群 実 #直交行列(#逆行列 が #転置行列) (行列式=±1) ▶SO(n) #特殊直交群(#回転群) 直交行列かつ行列式=1

#群論の初歩 81 Q. SL(n,C) や U(n) が GL(n,C) の #部分群 となぜ言えるか A. n 次 #正方行列 のうち GL(n,C): #正則行列 全体 SL(n,C): 正則で #行列式 が1な行列全体 U(n): #ユニタリ行列 全体 いずれも #行列 の積の演算について閉じた #群 で SLはGLの部分集合 UはGLの部分集合.

#群論の初歩 80 Q. #代数学 において SU(n) は何を表すか. A. n 次の #特殊ユニタリ群 (special unitary group) を表す. すなわち #行列式 が 1 であるような n 次 #ユニタリ行列 の成す群. SU(n)＝{ A ∈ GL(n,ℂ) | AA^*＝E, det A＝1 }

#群論の初歩 79 ユニタリ行列 (unitary matrix) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6… U^* U = U U^* = E を満たす複素 #正方行列 U は #ユニタリ行列. ※U^* は U の #随伴行列 (U^* = (U̅)^T) ・ #直交行列 を 複素数体へ拡張したものがユニタリ行列. 実ユニタリ行列は直交行列に等しい.

#群論の初歩 78 ユニタリ群 (unitary group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6… ・ n 次の #ユニタリ群 U(n) とは n 次 #ユニタリ行列 のなす #群 のこと. ・ユニタリ群 U(n) は #一般線形群 GL_n の #部分群.

#群論の初歩 77 Q. #代数学 において U(n) は何を表すか. A. n 次の #ユニタリ群(unitary group)を表す. n 次 #ユニタリ行列 の成す群. U(n) ＝ { A ∈ GL( n, ℂ ) | A A^* ＝ E } なお Aの #随伴行列(エルミート共役) A^* を， 複素共役を取って転置したものと定める. A^* ＝ A̅^t

#群論の初歩 75 #回転群(rotation group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E… #特殊直交群(Special Orthogonal group). SO(n) n×nの #直交行列 で #行列式 が+1のもの全体が 乗法に関しなす #群. 物理学では SO(3)＝空間回転のつくる群 の #表現論 が 原子・分子，原子核，素粒子，分光学で重要

#群論の初歩 74 直交群 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4… ・ #直交群 とは 元がn×nの実 #直交行列 で 群の積が行列の積によって与えられるもの. ・直交行列の #行列式 は ±1 ・O(n) の重要な #部分群 である #特殊直交群 SO(n) は 行列式が+1である直交行列からなり #回転群 とも呼ばれる.

#群論の初歩 73 Q. O(n)上で 行列の積という #二項演算 が #閉じている ことを示せ A. #直交行列 の積が 直交行列であることを示す. 直交行列A,Bについて #転置 の性質より (AB)^t ＝ B^t A^t (AB)(AB)^t =A(B B^t) A^t =A E A^t =A A^t =E 同様に (AB)^t (AB)＝E ∴ABは直交行列

#群論の初歩 72 Q. #代数学 において O(n) は何を表すか A. n 次の #直交群 (Orthogonal group)を表す. 実 #直交行列 の全体である. O(n) ＝ { A∈GL(n, R) | A A^t ＝E } なお直交行列とは， #逆行列 が #転置行列 A^{-1} ＝ A^t で与えられるような #行列 を指す.

#群論の初歩 71 特殊線型群 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9… ・ #特殊線形群 の元は「特殊」で， ある多項式detが定める #一般線形群 GLの部分代数多様体. ・特殊線型群 SL(n, R) は R_nにおける「体積を保つ #線型変換」のなす #群. 線型変換の #行列式 が 体積の変化を測ると解釈できる.

#群論の初歩 70 Q. SL( n, V ) とは A. #特殊線形群(Special Linear group)を表す. #行列式 が1であるような #正則 な n 次元正方行列全体の集合である. SL( n, V ) ＝ { A ∈ GL( n, V ) | det A＝1}

#群論の初歩 69 Q. X－{0} は Xから0という要素を除いた集合を表す. ① ℤ－{0} ② ℚ－{0} ③ ℝ－{0} ④ ℂ－{0} この4つの集合について #部分群 の関係を作れるか？ A. #二項演算 として #積 を考えると ②③④は #アーベル群. ①は #逆元 が無く #群 になれない. ∴ ②⊂③⊂④

#群論の初歩 68 Q. ℤ 整数全体の集合 ℚ 有理数全体の集合 ℝ 実数全体の集合 ℂ 複素数全体の集合 この4つの集合について #部分群 の関係を作れ. A. #二項演算 として和を考えると これら4つはいずれも #アーベル群 となる. 部分群の関係を G⊃H のように表記すると ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ

#群論の初歩 67 Q. 「#真部分群」とは どんなイメージ？ A. 分かりやすい例えでいうと， 自然数の 「1と自分自身を除く約数」に似ている. 素数pは 1と自分自身pでしか割り切れない. 真部分群をもつ群Gは 合成数のようなもので， #単位群{e}と自分自身G以外に (自明でない)部分群を持つ.

#群論の初歩 66 Q. 「自明でない #部分群 を持たない」とは どんなイメージ？ A. 分かりやすい例えでいうと 素数に似ている. 素数pは 1と 自分自身pでしか割り切れない。 (自明な約数しか持たない) 群Gも， #単位群{e}と 自分自身Gという 自明な部分群しか持たない場合がある.

#群論の初歩 65 部分群 ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8… ・部分群と拡大群: H が G の #部分群 である時， G は H の #拡大群 である と表現する場合がある. ・記号の表記法: H ≤ G "H is a subgroup of G". ・G の #真部分群 とは 部分群 H が G の 真部分集合(H≠G）であることを指す.

#群論の初歩 64 Q. #真部分群 とは A. #自明な部分群 を除いた #部分群 を 真部分群(proper subgroup)と呼ぶ. #群 Gの部分群としては Gそのものと{e}を含むが， 群Gの真部分群には Gそのものを含まない. ※ {e}は，定義によって 群Gの真部分群に含めない場合も 含める場合もある.

#群論の初歩 63 Q. #自明な部分群 とは A. #群 Gの部分集合のうち 下記の２つを Gの「自明な #部分群」(trivial subgroup)と呼ぶ. (1) 群Gそのもの (2) Gの #単位元 からなる #単位群 {e}

#群論の初歩 62 Q. #群 Gと同じ #二項演算 の部分集合Hが 1)∀a,b∈H⇒ab∈H 2)∀a∈H⇒a^{-1}∈H の時 Hが群である事を示せ. A. 1)よりHの二項演算は #閉じている. Hの元は全て群Gの元より #結合法則 を満たす. 2)と前ツイよりHには #逆元 と #単位元 が存在. ∴Hは群の3公理を満たす

#群論の初歩 61 Q. #群 Gと同じ #二項演算 を持つ Gの部分集合Hが 1) ∀a,b∈H ⇒ ab∈H 2) ∀a∈H ⇒ a^{-1}∈H ならば Hに #単位元 が存在する事を示せ A. Hの元は全てGの元なので aa^{-1} はGの単位元eであり (1)より aa^{-1}＝e はHの元. GとHで二項演算が同じなので eはHの単位元.

#群論の初歩 60 Q. #群 G の部分集合 H が Gの #部分群 となるために H が満たすべき2条件 A. (1) H の任意の2元 a, b に対し ab は H の元. (Gと同じ #二項演算 が 部分群の内部で #閉じている) (2) H の任意の元 a に対し その逆元a^{-1}は H の元. (部分群の内部で #逆元 の存在を保証)

#群論の初歩 59 Q. 整数全体 ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …} 素数全体 ℙ＝{2, 3, 5, 7, 11, …} #二項演算 として和を考えると #部分群 の関係は有るか？ A. ℙの2元 a, b に対し a＋b ∈ℙは常に成立せず 二項演算が閉じていないので ℙは #群 ではない. よってℙはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 58 Q. 整数全体 ℤ＝{…, -2, -1, 0, 1, 2, …} 自然数全体 ℕ＝{1, 2, 3, …} #二項演算 として和を考えると #部分群 の関係は有るか？ A. ℤ上で #単位元 は0. 任意の元に対し #逆元 が存在. ℤは #群. ℕには単位元も逆元も無く群でない. よってℕはℤの部分群ではない.

#群論の初歩 57 Q. 整数全体の集合 ℤ ＝ { …, -2, -1, 0, 1, 2, … } 偶数全体の集合 2ℤ ＝ { …, -4, -2, 0, 2, 4, … } と表記するとき #部分群 の関係を作れ. A. #二項演算 として和を考えると ℤも 2ℤ も各々 #群 である. 2ℤ はℤの部分集合だから， 2ℤ はℤの部分群である.

#群論の初歩 56 Q. #部分群 とは何か説明 A. #群 G の部分集合Hをとり， Gの #二項演算 によって Hが群になるとき， HをGの部分群(subgroup)と呼ぶ. もとの集合の 「部分集合で，演算の同じ群が作れれば部分群」 というわけ. この時，GとHで 単位元や逆元は共通となる.

#群論の初歩 55 Q. n次 #正則行列 全体GL(n)は #行列 の和について #群 か? A. 加法の #単位元 は #零行列 Oで #正則 ではない. GL(n)内に加法の #単位元 が存在しないので 群ではない. またA∈GL(n)の時－A∈GL(n)だが A＋(－A)＝O∉GL(n)ゆえ #二項演算 が閉じていない.

#群論の初歩 54 Q. (1) n 次 #正方行列 全体の集合Mは 加法について #群 をなす. (2) n次 #正則行列 全体の集合GL(n)は 行列の積について群(#一般線形群)をなす. (1)(2)は各々,可換群か? A. (1)の加法は可換ゆえ #アーベル群 および #加法群. (2)の行列の積は可換な演算ではない.

#群論の初歩 53 一般線形群 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80… ・n 次正方行列全体のうち 「#正則行列 全体が 行列の積に関してなす群」を #一般線形群 という. GL_n ( F ) または GL( n, F ) と表す. ・ #行列式 がゼロでない #行列 全体 と言い換えてもよい.

#群論の初歩 52 Q. 3つの集合 GL( n, ℚ ) GL( n, ℝ ) GL( n, ℂ ) について，おのおの #群 を構成せよ A. 各々，#行列 の積について群である. 各々は積演算について閉じており 積演算が #結合法則 を満たす. #単位元 は #単位行列 であり #逆元 は #逆行列 である.

#群論の初歩 51 Q. GL(n,V) 上で 行列の積という #二項演算 が #閉じている ことを示せ A. #正則行列 A, Bの積 AB＝M が #正則 である事を示す. Mに左から M'＝B^{-1} A^{-1} をかけると M'M＝E Mに右から M' をかけると MM'＝E ∴E＝M'M＝MM' で M の逆行列は M' だから M は正則

#群論の初歩 50 Q. #一般線形群 とは A. n次の #正則行列 全体の集合で ・有理数を成分とするもの: GL( n, ℚ ) ・実数を成分とするもの: GL( n, ℝ ) ・複素数を成分とするもの: GL( n, ℂ ) がそれぞれなす集合 この3つをあわせて n次の一般線形群(General Linear group) と呼ぶ.