#群論の初歩 83 #行列 の積に関する #群 一覧： (2) 複素数成分の場合 ▶U(n) #ユニタリ群 #ユニタリ行列 (#逆行列 が #随伴行列) ▶SU(n) #特殊ユニタリ群 ユニタリかつ #行列式=1 ※参考: ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9… 特殊ユニタリ群は #素粒子物理学 で頻出.

#群論の初歩 82 #行列 の積に関する #群 一覧： (1) おもに実数成分の場合 ▶GL(n) #一般線形群 #正則行列 ▶SL(n) #特殊線形群 #行列式=1 ▶O(n) #直交群 実 #直交行列(#逆行列 が #転置行列) (行列式=±1) ▶SO(n) #特殊直交群(#回転群) 直交行列かつ行列式=1

#群論の初歩 81 Q. SL(n,C) や U(n) が GL(n,C) の #部分群 となぜ言えるか A. n 次 #正方行列 のうち GL(n,C): #正則行列 全体 SL(n,C): 正則で #行列式 が1な行列全体 U(n): #ユニタリ行列 全体 いずれも #行列 の積の演算について閉じた #群 で SLはGLの部分集合 UはGLの部分集合.

#群論の初歩 80 Q. #代数学 において SU(n) は何を表すか. A. n 次の #特殊ユニタリ群 (special unitary group) を表す. すなわち #行列式 が 1 であるような n 次 #ユニタリ行列 の成す群. SU(n)＝{ A ∈ GL(n,ℂ) | AA^*＝E, det A＝1 }

#群論の初歩 75 #回転群(rotation group) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E… #特殊直交群(Special Orthogonal group). SO(n) n×nの #直交行列 で #行列式 が+1のもの全体が 乗法に関しなす #群. 物理学では SO(3)＝空間回転のつくる群 の #表現論 が 原子・分子，原子核，素粒子，分光学で重要

#群論の初歩 74 直交群 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4… ・ #直交群 とは 元がn×nの実 #直交行列 で 群の積が行列の積によって与えられるもの. ・直交行列の #行列式 は ±1 ・O(n) の重要な #部分群 である #特殊直交群 SO(n) は 行列式が+1である直交行列からなり #回転群 とも呼ばれる.

#群論の初歩 71 特殊線型群 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9… ・ #特殊線形群 の元は「特殊」で， ある多項式detが定める #一般線形群 GLの部分代数多様体. ・特殊線型群 SL(n, R) は R_nにおける「体積を保つ #線型変換」のなす #群. 線型変換の #行列式 が 体積の変化を測ると解釈できる.

#群論の初歩 70 Q. SL( n, V ) とは A. #特殊線形群(Special Linear group)を表す. #行列式 が1であるような #正則 な n 次元正方行列全体の集合である. SL( n, V ) ＝ { A ∈ GL( n, V ) | det A＝1}

#群論の初歩 53 一般線形群 ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80… ・n 次正方行列全体のうち 「#正則行列 全体が 行列の積に関してなす群」を #一般線形群 という. GL_n ( F ) または GL( n, F ) と表す. ・ #行列式 がゼロでない #行列 全体 と言い換えてもよい.

線型代数の像Imと核Kerの意味 study-guide.hatenablog.jp/entry/20150307… #固有値問題 は (A－λE)x＝0 と書けるから， A－λE の #カーネル を求める作業である. カーネルに0以外の要素が含まれる ＝写像が #単射 でない ＝ #行列式 が0 だから固有値問題を解く時は A－λEの行列式＝0 とおく.

線型代数の像Imと核Kerの意味 study-guide.hatenablog.jp/entry/20150307… #カーネル の広さを調べれば… ・ #単射 か? ・ランク落ちが発生するか? ・ #行列式 は0か? といった情報がわかる。 カーネルが広いほど，その写像は 単射から外れてゆく。 カーネルは「単射からのずれ具合」と言える。

＜#代数学の参考書＞ 「線形という構造へ」(2009) 前書きより #集合 に線形演算で 閉じる構造を課すと #線形写像 が働く #代数構造 に ↓ 線形写像を #数 で #表現 すると #行列 ↓ 行列の性質は 行列に付随する #行列式 で分かる ↓ 行列式は #代数式 なので #線形性 と #代数 が結びつく

線型代数・行列論のまとめ study-guide.hatenablog.jp/entry/20150404… ▶#余因子展開 #行列式 を 「1つ小さなサイズの行列式」の和で表すこと ▶#クラメルの公式 #逆行列 の成分を 「行列式の比」により 明示的に書き下す公式。 計算量が大きいので， 実用的には #ガウスの消去法(#掃き出し法)を使う

線型代数・行列論で 行列式，余因子展開，クラメルの公式の関係と 何に役立つのかのまとめ study-guide.hatenablog.jp/entry/20150404… #行列式 とは何か: ①平行六面体の体積 ② #線形変換 により体積が何倍に変わるか，という倍率 ③行列の表す連立方程式に解が存在するか，という指標(判別式)

#たった10ツイートでわかる線形代数 補遺 (2/4) ▶#行列式 #サラスの方法 で ・ramenhuhu.com/math-sarrus ・domeblog.net/sarrusdetermin… #余因子展開 で ・linky-juku.com/cofactor/ ・linear-algebra.com/entry/cofactor… ▶#余因子行列 で逆行列 ・ai-trend.jp/basic-study/li… ・linky-juku.com/cofactor-matri… .

#たった10ツイートでわかる線形代数 6/10 Q. 1) #余因子行列 の定義 2) 「#逆行列 を求める公式」 A. 1) 正方行列Aの 全ての #余因子(cofactor) C_{i,j} を並べた行列Cが Aの余因子行列(matrix of cofactors) 2) 余因子行列を転置し #行列式 で割ると 逆行列になる. A^{-1}＝C^T / |A|

＜#代数学の参考書＞ 「線形という構造へ」(2009) 前書きより #集合 に線形演算で 閉じる構造を課すと #線形写像 が働く #代数構造 に ↓ 線形写像を #数 で #表現 すると #行列 ↓ 行列の性質は 行列に付随する #行列式 で分かる ↓ 行列式は #代数式 なので #線形性 と #代数 が結びつく

#たった10ツイートでわかる線形代数 5/10 Q. #小行列式 と #余因子 の定義 A. ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F… (i, j)小行列式M_{i,j} i行とj列を除去した結果の部分行列の #行列式. 余因子の計算に使う (i, j)余因子 符号付きの小行列式. C_{i,j}＝(-1)^{i+j} M_{i,j} #余因子展開 に使う

#たった10ツイートでわかる線形代数 4/10 Q. #行列式 の計算法 1) 2次 2) 3次 3) 4次以上 A. 1) ad－bc 2) #サラスの方法 で計算 (無意識に手が動くまで反復練習) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5… 3) ある行か列に注目し #余因子展開 1つサイズの小さな行列式で表せ ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%99… .

#たった10ツイートでわかる線形代数 3/10 Q. #行列式 |A|=detA 1) 意味 2) |A|≠0時のAx=b 3) |A|=0時のAx=0 A. 1) #逆行列 や非自明解の存在判別式. n本のベクトルが張る立体の体積 2) |A|≠0 ⇔逆行列A^{-1}が存在.Aは #正則 ⇔Ax=bは唯一解を持つ 3) |A|=0 ⇔Ax=0は非自明解x≠0を持つ

＜#解析学の参考書＞ 「ガロア理論と表現論 ゼータ関数への出発」(2014) p62より 『#ラングランズ予想 を超える 「#超ラングランズ予想」: ①#数論 的ゼータ ＝#セルバーグ 型ゼータ. ②セルバーグ型ゼータ ＝det(D－s) (#行列式 表示) これができれば #ゼータ の #統一 も #完成 する』

＜#代数学の参考書＞ 「線形という構造へ」(2009) 前書きより: 『#無限次元 の #線形空間 に 数学の眼が 向けられるようになったのは #積分方程式 の解となる関数を "#連立方程式 で未知数の数を 無限に近づけていった極限"と捉え #クラメルの公式 で #行列式 の #次数 を無限に大きく…』