#群論入門_正規部分群編 67 ↑ このハッシュタグの復習： ・ #共役変換(#内部自己同型写像) ・ #正規部分群 の定義 ・ #自明な正規部分群 と #単純群 ・ #正規列 と #組成列 ・ #交換子 と #交換子群 ・ #交換子群列 と #可解群 全部思い出せますかな

#群論入門_正規部分群編 63 英語名称のおさらい #共役(共軛) conjugate #共役元 conjugate element #共役変換 conjugation #相似変換 similarity transformation #内部自己同型写像 inner automorphism #共役類 conjugacy class #正規部分群 normal subgroup #単純群 simple group

#群論入門_正規部分群編 49 短歌にしてみよう. 　交換子　共役変換　した後も 　そのままずっと　交換子だよ #交換子 は もとの #群 Gの元で #共役変換 しても 交換子のまま. ゆえに，#交換子群 H は もとの群Gの元による共役変換に対し #閉じている ので Gの #正規部分群 となる.

#群論入門_正規部分群編 46 Q. #群 Gの #正規部分群 A, Bに対し， #交換子群 [A, B] も Gの正規部分群であることを示せ. A. t∈G, a∈A, b∈Bに対し 前ツイより t^{-1} [a, b] t =[(t^{-1}at)∈A, (t^{-1}bt)∈B] よって [A, B] の元は Gの任意の元tによる #共役変換 で #閉じている.

#群論入門_正規部分群編 45 Q. #群 G のある元a, b, tについて t^{-1} [ a, b ] t ＝[ t^{-1}at, t^{-1}bt ] ↑ どういう意味? A. 「#交換子 の #共役元 は 共役元の交換子である」. t^{-1}とtではさむ #共役変換 が 交換子の記号の内側に入り込み 2元a,bにそれぞれはたらくように見える.

#群論入門_正規部分群編 43 #特性部分群(characteristic subgroup) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9… もとの #群 の 全ての #自己同型 写像で 不変な #部分群. #共役変換 は #内部自己同型写像 なので 全ての特性部分群は #正規部分群. 特性部分群の例: ・群の #中心 ・ #交換子群(交換子部分群)

#群論入門_正規部分群編 17 Q. #アーベル群 Gの #部分群 Nは， Gの #正規部分群 でもある事を示せ A. Nの元nの Gの元gによる #共役変換 は f(n) =g^{-1} n g GとNは #二項演算 が共通で nはGの元でもあり G内とN内で #交換法則 が成立するので =g^{-1} g n =n ∈N ∴NはGの正規部分群.

#群論入門_正規部分群編 14 #正規部分群 (normal subgroup) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3… #群 の任意の元による #内部自己同型写像(#共役変換)のもとで 不変な #部分群 のこと. 正規部分群の重要性を 最初に明らかにしたのは， #エヴァリスト・ガロア である.

#群論入門_正規部分群編 12 Q. #正規部分群 とは. A. #群 G の #部分群 N について， N の任意の元 n が 「G の任意の元 g による #共役変換」の結果 ふたたび N に属する時 N を G の正規部分群と呼び G⊳N と表記する. 論理記号で表すと ∀n∈N, ∀g∈G, (g^{-1} n g)∈N ⇔ G⊳N.

#群論入門_正規部分群編 10 Q. #群 Gが #アーベル群 なら G内の #共役変換 は どんな意味を持つか. A. Gの2要素x, aに対し x の共役変換は f(x) ＝ a^{-1} x a G内の任意の2元に #交換法則 が成り立つので ＝ a^{-1} a x ＝ x つまり，可換群では 任意の共役変換は #恒等変換.

#群論入門_正規部分群編 9 Q. #群 G内の元aを1つ固定し， G内の任意の元xの #共役元 を返す #写像 f(x)＝a^{-1} x a が，Gにおける #内部自己同型写像(#共役変換). f の写像としての性質を どう表記できるか? A. Gの元 x を引数にとり Gの元 a^{-1} x a を返すので f : G→G と書ける.

#群論入門_正規部分群編 8 #内部自己同型写像 (inner automorphism) ＝#共役変換 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85… ある操作をして， 次に別の操作をして， 次に「最初の操作の逆」をするような #写像 のこと. f^{-1} ∘ g ∘ f (X) と書くことができる. (右から順にXに作用する点に注意)

#群論入門_正規部分群編 7 Q. #群論 における「#共役変換」 別名は A. ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85… ・「#共役 変換」(conjugation) を 漢字を変えて 「共軛変換」とも書く. ・「#相似変換」(similarity transformation) とも呼ぶ. ・「#内部自己同型写像」(inner automorphism) ともいう.

#群論入門_正規部分群編 6 Q. #群論 における「#共役変換」とは. A. #群 G の2要素 x, a がある時， x から x の #共役元 として y ＝ f(x) ＝ a^{-1} x a という G の元 y を得る変換のことを 「x の a による共役変換」という. この時，x と y は #共役 である.

#群論入門_正規部分群編 1 ↑ このタグでは #部分群，#生成系 の定義を理解した人向けに 下記の事項を解説しますぞ！ ・ #共役変換(#内部自己同型写像) ・ #正規部分群 の定義 ・ #自明な正規部分群 と #単純群 ・ #正規列 と #組成列 ・ #交換子 と #交換子群 ・ #交換子群列 と #可解群