#群論入門_作用と軌道編 33 Q. 「#群 Gによる xの #軌道 の要素数 |G x| ＝ #固定部分群 G_xによる Gの #右剰余類 の個数」 ↑ #指数 という語で言い換えよ A. 群Gによるxの軌道の要素数 |G x| すなわちGの元がxに #作用 した時の 値の異なる総数は， GにおけるG_xの指数 |G:G_x| に等しい.

#群論入門_作用と軌道編 32 Q. 「#群 Gによるxの #軌道 の要素数 |G x| ＝ #固定部分群 G_xによる 『Gの右剰余類の個数』★」 ↑ ★を言い換えると A. Gの #部分群 Hによる 「#左分解 に現れる #左剰余類 の個数」 ＝ 「#右分解 に現れる #右剰余類 の個数」 ＝GにおけるHの #指数 ＝|G:H|

#群論入門_作用と軌道編 31 Q. #群 Gで #固定部分群 G_xを法とし #剰余類 を作る時 Gの元がxに #作用 した時の値は #右剰余類 の個数だけ 異なった値が存在する. ↑ #軌道 という言葉を使って言い換えよ A. 群Gによるxの軌道G xの要素数 | G x | は， GのG_xによる右剰余類の個数に等しい.

#群論入門_作用と軌道編 30 Q. #群 Gで #固定部分群 G_x を法とし #剰余類 を作る時 ある #右剰余類 に属するGの元はどれも xに #作用 した結果が等しい. …という事は 「Gの元がxに #作用 した時の値」は 合計で何通りある？ A. 右剰余類の個数だけ 異なった値が存在する という事になる.

#群論入門_作用と軌道編 29 Q. ① #群 Gの2元g_1,g_2が xに #作用 した結果が等しい. ② #固定部分群 G_xを法として g_1, g_2は同じ #右剰余類 に属する. ①⇔②. Gのある元どうしが同じ右剰余類に属するなら… A. …その右剰余類に属するGの元はどれも xに #作用 した結果が等しくなる.

#群論入門_作用と軌道編 28 Q. #群 Gの2元g_1,g_2が xに #作用 した結果が等しければ xの #固定部分群 G_x に対し (g_2)^{-1}･(g_1) ∈G_x ①となり g_1, g_2は #右合同. ↑ #剰余類 を使って表せ. A. ①より g_1 ∈ g_2 G_x つまり，Gの元 g_1 は Gの #右剰余類 g_2 G_x に属する.

#群論入門_剰余類編 101 ↑ このハッシュタグの復習： ▶集合の… ・ #分割(#類別)，#類 ・ #同値分割，#同値類 ▶#群 での… ・ #左合同，#左剰余類，#左分解 ・ #右合同，#右剰余類，#右分解 ▶部分群の… ・ #指数 ・ #ラグランジュの定理 全部思い出せますかな

#群論入門_剰余類編 99 英語名称のおさらい・続 #左合同 left congruence #右合同 right congruence #左剰余類 left coset #左分解 left coset decomposition #右剰余類 right coset #右分解 right coset decomposition #左代表系 left transversal #右代表系 right transversal

#群論入門_剰余類編 79 Q. 部分群の #指数 とは. A. #有限群 G の #部分群 H による… ・ #左分解 に現れる #左剰余類 の個数 ・ #右分解 に現れる #右剰余類 の個数 は互いに等しく， その数を 群Gにおける部分群Hの指数と呼ぶ. |G:H| と表記する.

#群論入門_剰余類編 77 Q. #有限群 Gの #部分群 Hがある時 GのHによる #左分解 の #左剰余類 の項数 ＝ GのHによる #右分解 の #右剰余類 の項数 を示せ. A. ある左剰余類Hxがある時 Hxに対応する右剰余類x^{-1}Hを ただ1つ作ることができ 逆も真. よって左剰余類と右剰余類は #1対1で対応.

#群論入門_剰余類編 76 Q. 群Gの部分群Hによる左分解における #左剰余類 H x_i から #右剰余類 (x_i)^{-1} Hを作る時， {(x_i)^{-1}H}が Gの #右分解 を与える事を示せ. A. (x_i)^{-1}H同士は共通元を持たず ∅でなく Gの任意の元がいずれかの(x_i)^{-1} Hに属し Gを過不足なく #類別 する.

#群論入門_剰余類編 75 Q. 群Gの部分群Hによる左分解での #左剰余類 Hs, Htから作られた #右剰余類 s^{-1}H, t^{-1}Hについて s≠t ならば s^{-1}H ≠ t^{-1}H を示せ. A. 前ツイより s^{-1}H ∩ t^{-1}H ≠ ∅ ならば Hs＝Ht かつ s＝t. 対偶を取り s≠t ならば s^{-1}H ∩ t^{-1}H ＝ ∅

#群論入門_剰余類編 74 Q. 群Gの部分群Hによる左分解での #左剰余類 Hyから作られる #右剰余類 y^{-1}Hたちが 共通元を持ちうるか? A. 左剰余類Hs,Ht から作った右剰余類 s^{-1}H∩t^{-1}H ＝s^{-1}h_1 ＝t^{-1}h_2 (h_1, h_2∈H) ならば t＝h_2 (h_1)^{-1}s∈Hs ∴tとsは #左合同 でHs＝Ht

#群論入門_剰余類編 73 #群 Gの元x,yと Gの #部分群 Hによる #左分解 がある時 xが属する #左剰余類 をHyとすれば x^{-1}が属する #右剰余類 はy^{-1}Hである. このように 左剰余類Hyをもとに 右剰余類y^{-1} Hを次々につくる時， つくられた右剰余類の集合は Gの #右分解 になるだろうか?

#群論入門_剰余類編 72 Q. #群 Gの #部分群 Hによる #左分解 がある時 #類別 の性質より Gの任意の元は Hによるいずれかの #左剰余類 に属する. この時 Gの任意の元は Hによるある #右剰余類 にも属する事を示せ A. 前ツイより x∈Hy⇒x^{-1}∈y^{-1}H ∴Gの任意の元がある右剰余類に属する

#群論入門_剰余類編 71 Q. #群 G のある2元 x, y と Gの #部分群 H に対し， Gの #左剰余類 H y があって x ∈ H y である場合， x^{-1} ∈ G は Gのいかなる #右剰余類 に属するか? A. x ∈ H y ＝ { h y | h ∈ H } ならば x^{-1} ∈ ( H y )^{-1} ＝y^{-1} H^{-1} ＝y^{-1} H.

#群論入門_剰余類編 59 Q. #群 G の #部分群 H による #右分解 とは. A. #左分解 の時と同じく G の H による #右剰余類 を b_1 H, b_2 H, … とする時， これらを使って Gを #類別(#同値分割)した式 G ＝ b_1 H ＋ b_2 H ＋ … を G の右分解という.

#群論入門_剰余類編 58 Q. #右剰余類 の概念に基づき #右合同 を定義せよ. A. #左剰余類 および #左合同 の場合と同じく， #群 Gの2元a, bと Gの #部分群 Hによる #右剰余類 bHに対し a ∈ bH (b^{-1}a ∈ H) の時 「群Gの2元a, bが部分群Hを法として #右合同」 と言い #同値律 を満たす.

#群論入門_剰余類編 55 Q #群 Gの2元a,bと #部分群 Hに対し #左合同 と #右合同 を言い直すと A 同じ #左剰余類 に属すれば左合同. a∈Hb (ab^{-1}∈H)なら aもbも Hbという左剰余類に属する. 同じ #右剰余類 に属すれば右合同. a∈bH (b^{-1}a∈H)なら aもbも bHという右剰余類に属する.

#群論入門_剰余類編 54 Q. #右剰余類 の概念に基づき #右合同 を定義せよ. A. #左剰余類 および #左合同 の場合と同じく， #群 Gの2元a, bと Gの #部分群 Hによる #右剰余類 bHに対し a ∈ bH (b^{-1}a ∈ H) の時 「群Gの2元a, bが部分群Hを法として #右合同」 と言い #同値律 を満たす.

#群論入門_剰余類編 43 Q. Gを #群 gはGのある元 HをGのある #部分群 とする. 下記の記法で表される集合を それぞれ何と呼ぶか. (1) Hg (2) gH A. (1) GのHによるgを含む #左剰余類. (2) GのHによるgを含む #右剰余類. 部分群が左右どちらからかかっているかで 左右を呼び分ける.

#群論入門_剰余類編 1 ↑ このタグでは #部分群 や #巡回部分群 を既知として 下記を解説しますぞ！ ▶集合の… ・ #分割(#類別)，#類 ・ #同値分割，#同値類 ▶#群 での… ・ #左合同，#左剰余類，#左分解 ・ #右合同，#右剰余類，#右分解 ▶部分群の… ・ #指数 ・ #ラグランジュの定理