#群論入門_作用と軌道編 77 ↑ このハッシュタグの復習： ・集合に対する群の #作用 の公理 ・作用による集合の元の #固定 と #軌道 ・ #固定部分群 と，その指数 ・ ラグランジュの定理の変種としての 　#軌道・固定群定理 ・ #軌道空間 と #バーンサイドの補題 全部思い出せますかな

#群論入門_作用と軌道編 75 英語名称のおさらい #作用 action，operation 左群作用 left group action 作用する act 左G-集合 left G-set #固定部分群(#安定化部分群) stabilizer subgroup #等方部分群 isotropy group #小群 little group 練習問題: ・固定部分群の意義を英語で論じよ.

#群論入門_作用と軌道編 65 Q. ①#固定部分群 の #位数 と #不動点 の個数の関係 ②#ラグランジュの定理(#軌道・固定群定理) ①と②から Σ_x 1/|G x|=(1/|G|)Σ_g |X^g| ③ また前ツイの数え上げより Σ_x 1/|G x|＝|X/G| ④ 結局 ③④から何が言えるか? A. |X/G| ＝ (1/|G|) Σ_g |X^g|

#群論入門_作用と軌道編 63 Q. #固定部分群 の #位数 と #不動点 の個数の関係 Σ_x |G_x|=Σ_g |X^g| #ラグランジュの定理(#軌道・固定群定理) |G|=|G x| |G_x|. #軌道 内の要素数の逆数和 Σ_x 1/|G x|を |X^g|と|G|で表せ. A. Σ_g |X^g| =Σ_x |G|/|G x| ∴Σ_x 1/|G x|=(1/|G|)Σ_g |X^g|

#群論入門_作用と軌道編 56 Q. #固定部分群 の #位数 |G_x| と， #群 Gの元による 集合Xへの #作用 の #不動点 の個数 |X^g| との間に成り立つ等式は. A. Σ_x |G_x| ＝ Σ_g |X^g| 両辺共に 「GとXの組み合わせで生まれる 全ての不動点の個数」 ＝ | { (g, x)∈G×X | gx=x } | に等しい.

#群論入門_作用と軌道編 54 Q. #固定部分群 G_x = { g∈G | gx=x } の要素数の総和 Σ_x |G_x| は何を意味する? A. 「点xが #不動点 となる #群 Gの元を全部集める」(=G_x) という操作を 集合X内の全ての点について総和. すなわち 「GとXの組み合わせで生まれる 全ての不動点の個数」を指す.

#群論入門_作用と軌道編 51 Q. ①#固定部分群: G_x = { g∈G | gx=x } ②#不動点 の集合: X^g = { x∈X | gx=x } ↑ 何が似て 何が異なる? A. ① #固定「される」側として 集合Xの1個の元xを決めて， Gの元を集める. ② 固定「する」側として #群 Gの1個の元gを決めて， Xの元を集める.

#群論入門_作用と軌道編 50 Q. x∈集合Xと g∈群Gを考える. ① G_x ② X^g の定義を混同せず思い出せるか A. ① #固定部分群: 「Xの元xを #固定 するGの元全体」という #群. G_x = { g∈G | gx=x } ② #不動点 の集合: 「Gの元gで固定されるXの元全体」という集合. X^g = { x∈X | gx=x }

#群論入門_作用と軌道編 48 ここまでで #群 Gから集合Xへの #作用 において 「集合Xの1点xを #固定【する】ようなGの元をすべて列挙」し， #固定部分群 G_x という集合の性質を考えた. ここからは，その逆に 「群Gの1元gにより 固定【される】ようなXの元をすべて列挙」 してみよう.

#群論入門_作用と軌道編 47 Q. 「#軌道 G x」という集合と 「#固定部分群 G_x」という集合とは 互いにいわば「反比例」みたいな関係にある. どういう事か. A. #軌道・固定群定理 より |G x| ＝ |G| / |G_x|. 固定部分群が大きいほど 軌道は小さい. 固定部分群が小さいほど 軌道は大きい.

#群論入門_作用と軌道編 46 Q. 「#群 Gによるxの #固定部分群 G_x」 定義と意義を言えるか? A. 定義は xを #固定 するGの全ての元. 意義は， 「#軌道 G x内の要素数が 群Gの #位数 よりも どれだけ少なくなるか?」の比. G x内に重複がどれだけ多いか という情報を測る尺度なのである.

#群論入門_作用と軌道編 45 Q. #群 Gの要素数(#位数)と， Gがxに #作用 した時の #軌道 G x内の (集合として重複排除した)要素数との 比は? A. #軌道・固定群定理 より |G x|＝|G|/|G_x|. xの軌道内の要素数は Gの要素数より 1/|G_x|倍だけ小さい. つまり比は #固定部分群(の位数の逆数).

#群論入門_作用と軌道編 39 #軌道・固定群定理 という用語の中にある 「#固定群」というのは， #固定部分群 のこと. Orbit-stabilizer theorem and Burnside's lemma en.wikipedia.org/wiki/Group_act… Orbits and stabilizers are closely related. #軌道 と固定化部分群は密接な関係にある.

#群論入門_作用と軌道編 38 Q. #ラグランジュの定理 で #部分群 として #固定部分群 を選び #軌道 の要素数を使って言い換えたもの |G| ＝ |G x|･|G_x| ↑ この式の名前は A. #軌道・固定群定理 (orbit-stabilizer theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4… ＞対象を数える際に特に有用

#群論入門_作用と軌道編 36 Q. #ラグランジュの定理 において #部分群 として #固定部分群 G_x を代入した式 |G| ＝ |G x|･|G_x| ↑ どういう意味？ A. #群 が #作用 する集合Xから 任意の元xを取ってくれば， その元xの #軌道 と固定部分群により もとの群の #位数 を表せてしまう.

#群論入門_作用と軌道編 35 Q. #ラグランジュの定理 は #群 GとGの #部分群 H およびHの #指数|G:H|について |G| ＝ |G:H|･|H| Gの部分群として Gにおけるxの #固定部分群 G_x をとると？ A. |G| ＝ |G:G_x|･|G_x| |G:G_x|＝|G x| (xの #軌道 内の要素数)より |G| ＝ |G x|･|G_x|

#群論入門_作用と軌道編 34 Q. 「#群 Gによるxの #軌道 の要素数 |G x| つまりGの元がxに #作用 した時の 値の異なる総数は， Gにおける #固定部分群 G_x の #指数 |G:G_x| に等しい」 ↑ 指数に関する情報なので 指数を含む数式に代入できるのでは? A. #ラグランジュの定理 に代入できる.

#群論入門_作用と軌道編 33 Q. 「#群 Gによる xの #軌道 の要素数 |G x| ＝ #固定部分群 G_xによる Gの #右剰余類 の個数」 ↑ #指数 という語で言い換えよ A. 群Gによるxの軌道の要素数 |G x| すなわちGの元がxに #作用 した時の 値の異なる総数は， GにおけるG_xの指数 |G:G_x| に等しい.

#群論入門_作用と軌道編 32 Q. 「#群 Gによるxの #軌道 の要素数 |G x| ＝ #固定部分群 G_xによる 『Gの右剰余類の個数』★」 ↑ ★を言い換えると A. Gの #部分群 Hによる 「#左分解 に現れる #左剰余類 の個数」 ＝ 「#右分解 に現れる #右剰余類 の個数」 ＝GにおけるHの #指数 ＝|G:H|

#群論入門_作用と軌道編 31 Q. #群 Gで #固定部分群 G_xを法とし #剰余類 を作る時 Gの元がxに #作用 した時の値は #右剰余類 の個数だけ 異なった値が存在する. ↑ #軌道 という言葉を使って言い換えよ A. 群Gによるxの軌道G xの要素数 | G x | は， GのG_xによる右剰余類の個数に等しい.

#群論入門_作用と軌道編 30 Q. #群 Gで #固定部分群 G_x を法とし #剰余類 を作る時 ある #右剰余類 に属するGの元はどれも xに #作用 した結果が等しい. …という事は 「Gの元がxに #作用 した時の値」は 合計で何通りある？ A. 右剰余類の個数だけ 異なった値が存在する という事になる.

#群論入門_作用と軌道編 29 Q. ① #群 Gの2元g_1,g_2が xに #作用 した結果が等しい. ② #固定部分群 G_xを法として g_1, g_2は同じ #右剰余類 に属する. ①⇔②. Gのある元どうしが同じ右剰余類に属するなら… A. …その右剰余類に属するGの元はどれも xに #作用 した結果が等しくなる.

#群論入門_作用と軌道編 28 Q. #群 Gの2元g_1,g_2が xに #作用 した結果が等しければ xの #固定部分群 G_x に対し (g_2)^{-1}･(g_1) ∈G_x ①となり g_1, g_2は #右合同. ↑ #剰余類 を使って表せ. A. ①より g_1 ∈ g_2 G_x つまり，Gの元 g_1 は Gの #右剰余類 g_2 G_x に属する.

#群論入門_作用と軌道編 27 Q. #群 Gの2元g_1,g_2が xに #作用 した結果が等しければ， xの #固定部分群 G_x に対し 「(g_2)^{-1}･(g_1) ∈G_x」★ となる. この式の意味は? A. ★は 「群Gの #部分群 G_x を法として Gの2元g_1, g_2が #右合同」 という意味. ※#剰余類 の所で学んだ.

#群論入門_作用と軌道編 26 Q. xの #軌道 G x上で Gの元によるxへの #作用 の結果が重複する条件を G_xで表せ. A. g_1,g_2∈Gに対し g_1 x＝g_2 x (g_2)^{-1}･(g_1) x＝x この時 (g_2)^{-1}･(g_1) ∈G は xを #固定 するので xの #固定部分群 G_x の元であり (g_2)^{-1}･(g_1) ∈G_x

#群論入門_作用と軌道編 23 #固定部分群 と #固定群 区別する場合も. amazon.co.jp/dp/4781910408 p58 「xを動かさないGの元全体をxの固定群という」 p201 「分離的 #ガロア拡大 K/Fに対し 任意の #中間体 Lの各元を #固定 する K/Fの #ガロア置換 全体を Lの固定部分群(不変部分群)という」

#群論入門_作用と軌道編 22 Q. 「#固定部分群」(安定化部分群)を 「不変群」と表記することがある？ A. 下記の書籍では 固定部分群を「不変群」と表記している amazon.co.jp/dp/B000JA9AGG しかしその名称を使うべきではない. #正規部分群 の別名として 「不変部分群」があり 混同を招くから.

#群論入門_作用と軌道編 21 Q. 「#固定部分群」(安定化部分群)を 「安定群」とも表記するようだが それをツイートしている人を 検索で見つけることは可能? A. やはり群馬県についてのツイートが混ざってしまう 例: 群馬県でのニュース「～が安定。(群馬)」 →"安定群" と認識されてしまう

#群論入門_作用と軌道編 20 Q. 「#固定部分群」のことを 「固定群」とも表記するようだが， それをツイートしている人を 検索で見つけることは可能？ A. 群馬県についてのツイートが混ざってしまう. 例: 固定のツイートで「固定。群馬県で〇〇してます！」 →"固定群" と認識されてしまう

#群論入門_作用と軌道編 19 「固定部分群」の別名 Google検索のヒット件数 (※医学など別の情報が混ざる) #固定群 88500件(※) #安定群 81800件(※) #等方群 6220 #固定部分群 3870 #安定化群 3270 #固定化群 1110 #等方部分群 1080 #固定化部分群 680 #安定化部分群 381 #安定部分群 364

#群論入門_作用と軌道編 18 「#固定部分群」別名が多すぎ. 1.固定化部分群 2.固定化群 3.固定部分群 4.固定群 5.安定化部分群 6.安定化群 7.安定部分群 8.安定群 9.等方部分群 10.等方群 正規表現で… ((固定|安定)(化)?|等方)(部分)?群 他に小群，不変群とかもあり 収拾がつかない！

#群論入門_作用と軌道編 17 「#固定部分群」 意味は同じなのに表記ゆれが激しい！ １０通りもある 1. 固定化部分群 2. 固定化群 3. 固定部分群 4. 固定群 5. 安定化部分群 6. 安定化群 7. 安定部分群 8. 安定群 9. 等方部分群 10. 等方群 おかげで検索が大変. x.com/search?q=%22%E…

#群論入門_作用と軌道編 16 #固定部分群 のイメージをつかむ② 群Gによるxの #軌道 Gx が ┌ ex＝x │｜ │g_1 x │｜ │g_2 x=x │｜ │… │｜ └ g_{n-1} x=x とする. #単位元 eは xをxに変換する(#固定 する). e以外にも xを固定するGの元があり得て それらがxの固定部分群G_xの元.

#群論入門_作用と軌道編 15 「#固定部分群」のイメージをつかむ① 輪っかの上に #群 Gの元が並んでいるとする. ┌ e │｜ │g_1 │｜ │g_2 │｜ │… │｜ └ g_{n-1} Gが集合Xのある元xに作用すると xの #軌道 は ┌ ex＝x │｜ │g_1 x │｜ │g_2 x │｜ │… │｜ └ g_{n-1} x

#群論入門_作用と軌道編 14 Q. #固定部分群 とは. A. #群 Gと集合Xについて 「Xのある元xを #固定 するGの元全体」 G_x ＝ { g∈G | gx＝x } はGの #部分群 で xの ・安定化部分群or固定部分群(stabilizer subgroup) ・等方部分群(isotropy group) ・小群(little group) などと呼ばれる.