#群論の知識 #点群 (point group) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%82%B9… 「ある図形の形を保ったまま行う 移動操作のうち， 少なくとも1つの #不動点 を持つもの」を 元とする #群. 結晶や分子 #対称性 を記述するため 3次元ユークリッド空間で考える事が多い.

#群論の知識 #点群 (point group) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%82%B9… 「ある図形の形を保ったまま行う 移動操作のうち， 少なくとも1つの #不動点 を持つもの」を 元とする #群. 結晶や分子 #対称性 を記述するため 3次元ユークリッド空間で考える事が多い.

#群論入門_作用と軌道編 76 英語名称のおさらい・続 #軌道 orbit #軌道・固定群定理 orbit-stabilizer theorem #軌道空間 orbit space #不動点(固定点) fixed point，fixpoint #バーンサイドの補題 Burnside's lemma #ポリアの定理(ポリアの数え上げ定理) Pólya enumeration theorem

#群論入門_作用と軌道編 66 Q. 集合 X に #作用 する #有限群 G がある時， Gの #位数 |G| と Gの各元が生む #不動点 の個数 |X^g| が分かれば Xの #軌道 の総数は | X/G | ＝ (1 / |G|) Σ{g∈G} | X^g | この式を何と呼ぶか. A. #バーンサイドの補題 (コーシー・フロベニウスの定理)

#群論入門_作用と軌道編 65 Q. ①#固定部分群 の #位数 と #不動点 の個数の関係 ②#ラグランジュの定理(#軌道・固定群定理) ①と②から Σ_x 1/|G x|=(1/|G|)Σ_g |X^g| ③ また前ツイの数え上げより Σ_x 1/|G x|＝|X/G| ④ 結局 ③④から何が言えるか? A. |X/G| ＝ (1/|G|) Σ_g |X^g|

#群論入門_作用と軌道編 63 Q. #固定部分群 の #位数 と #不動点 の個数の関係 Σ_x |G_x|=Σ_g |X^g| #ラグランジュの定理(#軌道・固定群定理) |G|=|G x| |G_x|. #軌道 内の要素数の逆数和 Σ_x 1/|G x|を |X^g|と|G|で表せ. A. Σ_g |X^g| =Σ_x |G|/|G x| ∴Σ_x 1/|G x|=(1/|G|)Σ_g |X^g|

#群論入門_作用と軌道編 56 Q. #固定部分群 の #位数 |G_x| と， #群 Gの元による 集合Xへの #作用 の #不動点 の個数 |X^g| との間に成り立つ等式は. A. Σ_x |G_x| ＝ Σ_g |X^g| 両辺共に 「GとXの組み合わせで生まれる 全ての不動点の個数」 ＝ | { (g, x)∈G×X | gx=x } | に等しい.

#群論入門_作用と軌道編 55 Q. #不動点 の集合 X^g = { x∈X | gx=x } の要素数の総和 Σ_g |X^g| は何を意味する? A. 「gが #作用 した時に不動点となる 集合Xの元を全部集める」(=X^g) という操作を #群 G内の全ての元で総和 ↓ 「GとXの組み合わせで生まれる 全ての不動点の個数」を指す.

#群論入門_作用と軌道編 54 Q. #固定部分群 G_x = { g∈G | gx=x } の要素数の総和 Σ_x |G_x| は何を意味する? A. 「点xが #不動点 となる #群 Gの元を全部集める」(=G_x) という操作を 集合X内の全ての点について総和. すなわち 「GとXの組み合わせで生まれる 全ての不動点の個数」を指す.

#群論入門_作用と軌道編 51 Q. ①#固定部分群: G_x = { g∈G | gx=x } ②#不動点 の集合: X^g = { x∈X | gx=x } ↑ 何が似て 何が異なる? A. ① #固定「される」側として 集合Xの1個の元xを決めて， Gの元を集める. ② 固定「する」側として #群 Gの1個の元gを決めて， Xの元を集める.

#群論入門_作用と軌道編 50 Q. x∈集合Xと g∈群Gを考える. ① G_x ② X^g の定義を混同せず思い出せるか A. ① #固定部分群: 「Xの元xを #固定 するGの元全体」という #群. G_x = { g∈G | gx=x } ② #不動点 の集合: 「Gの元gで固定されるXの元全体」という集合. X^g = { x∈X | gx=x }

#群論入門_作用と軌道編 49 Q. 集合 X に #作用 する #群 Gがあり， G のある元 g がある時 X^g は何を表すか. A. 「g で #固定 される X の全ての元の集合」 X^g ＝ { x | x∈X, gx＝x } 「群の元 g による X の #不動点」の集合.