＜#代数学の参考書＞ 「有限置換群」(裳華房1981大山) 前書きより: 『本書では #有限集合 における #1対1写像 ―#置換 という―についての 基本的な性質を述べたいと思う。 さらに置換の #集合 は #写像 の #積 により #群 ―#置換群 という―をつくり， #群論 における重要な一部門である。』

＜#代数学の参考書＞ 基礎数学選書26 「有限置換群」 (裳華房1981大山) honto.jp/netstore/pd-bo… 『本書は #有限集合 の上の #置換 を扱い， 二つの部分からなる。 一つは 置換が持っている #固有 の性質である ･#軌道 ･#固定点集合 ･#安定化群 を軸とした #置換群論 の展開である。…』

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p21より引用: 『#コーシー の #群論 への #貢献 は #1815年 に始まる. 彼は 「元が #置換 によって 表される群」のみを考えた. #群(group)という #語 は #1832年 に #ガロア が導入し 群が置換を用いずに #定義 されることを示した.』

＜#代数学の参考書＞ 基礎数学選書26 「有限置換群」 (裳華房1981大山) honto.jp/netstore/pd-bo… 『本書は #有限集合 の上の #置換 を扱い， 二つの部分からなる。 一つは 置換が持っている #固有 の性質である ･#軌道 ･#固定点集合 ･#安定化群 を軸とした #置換群論 の展開である。…』

＜#代数学の参考書＞ 「群とグラフ」(1970グロスマン) p21より引用: 『#コーシー の #群論 への #貢献 は #1815年 に始まる. 彼は 「元が #置換 によって 表される群」のみを考えた. #群(group)という #語 は #1832年 に #ガロア が導入し 群が置換を用いずに #定義 されることを示した.』

#群論入門_作用と軌道編 73 Q. #群論 で現れる #バーンサイドの補題. 競技プログラミング(#競プロ)では どう役立つか A. opt-cp.com/orbit-counting… 「#置換 の集合Gで一致するものを同一視して 集合Xの相異なる要素の個数sを求めたい」場合 s＝(1 / |G|) Σ{g∈G} |{ x∈X | gx＝x }|

#群論入門_置換群編 123 ↑ このタグの復習: ▶#置換 ・ #全単射 な #写像，#合成 ・ #対称群，#置換群 ・ #あみだくじ で図示 ▶特別な置換 ・ #巡回置換，#互換，#隣接互換 ・ #奇置換，#偶置換，#交代群 ▶群の同型 ・ #準同型，#群準同型 ・ #同型，#群同型 全部思い出せますかな

#群論入門_置換群編 118 英語名称のおさらい・続 #逆写像 inverse mapping #可逆 invertible #置換 permutation 並べ替え rearrangement (置換の)二行記法 Cauchy's two-line notation #恒等置換 identity permutation 単位置換 unit permutation

#群論入門_置換群編 105 Q. #交代群 とは. A. #偶置換 全体のなす #群 である. ① #置換 全体のなす集合は #対称群 と呼ばれ S_nと書かれ |S_n|＝n! ② 偶置換全体のなす集合は交代群と呼ばれ A_nと書かれ |A_n|＝n! / 2 ③ #奇置換 全体のなす集合は 積が閉じていないため 群ではない.

#群論入門_置換群編 104 Q. #偶置換，#奇置換 とは. A. ある #置換 σ が… ・偶数個の #互換 の積に分解されるなら σ は偶置換(even permutation)で， sgn(σ) ＝ +1. ・基数個の互換の積に分解されるなら σ は奇置換(odd permutation)で， sgn(σ) ＝ -1.

#群論入門_置換群編 103 まとめ #置換→#巡回置換→#互換→#隣接互換 ①任意の置換は #互いに素 な巡回置換の積に 一意に分解可能. ②長さnの巡回置換は n-1個の互換の積に分解可能. ③任意の互換は 隣接互換の積に分解可能. ※②③の分解は一意ではないが 互換の個数の偶奇は一定.

#群論入門_置換群編 102 #置換 の符号(偶奇性) Parity of a permutation ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE… 置換 σ を #互換 の積に分解する際， その分解に現れる互換の数が m ならば sgn(σ) ＝ (−1)^m よって σが偶数個の互換の積なら sgn(σ) ＝ +1, σが奇数個の互換の積なら sgn(σ) ＝ -1

#群論入門_置換群編 101 ①#置換 を #互いに素 な #巡回置換 の積に分解する方法は 一意である. ②長さnの #巡回置換 を n-1個の #互換 の積に分解する方法は 一意ではない. ③ ②より，置換を 互換の積に分解する方法は 一意ではない. が，この時の「互換の個数の偶奇性」は一定.

#群論入門_置換群編 100 Q. #置換 を #互換 や #隣接互換 に分解する という考え方は 計算機科学にどう応用できるか A. ソートのアルゴリズムを 分析・描写するのに役立つ. 置換，転倒数 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE… ＞…バブルソートや挿入ソートはこの方法で列を正順にする実例と解釈できる

#群論入門_置換群編 99 ①任意の #置換 は #互いに素 な #巡回置換 の積に 一意に分解可能 ②長さnの #巡回置換 は n-1個の #互換 の積に分解可能 ①②より， 任意の置換→互いに素な巡回置換→互換 の順に分解できるので… ③ 任意の置換は (巡回置換を経由して) 互換の積に分解できる.

#群論入門_置換群編 98 Q. 「n次の #置換 で 長さmの #巡回置換 は #互換 m-1個の積で表せる」 ↑ どういうことか. A. σ ＝ ( α_1, α_2, …, α_m ) である時 σ ＝ ( α_1, α_2 ) ･( α_2, α_3 ) ･ … ･(α_{m-2}, α_{m-1} ) ･(α_{m-1}, α_m ) のように m-1個の互換の積として表せる.

#群論入門_置換群編 96 Q. #置換 を #巡回置換 の積に分解した際 (1,2,3)を(3,1,2)と書けるなど 表記が一意に定まらないのでは A. 一意になる記法がある. Canonical cycle notation en.wikipedia.org/wiki/Permutati… 巡回置換内で最大要素を先頭に. 先頭要素の小さい順に巡回置換を左から並べ積.

#群論入門_置換群編 95 #置換 を #巡回置換型 によって分類したリスト: Permutations by cycle type en.wikiversity.org/wiki/Permutati… #対称群 S_n の #共役類 は 巡回置換型によって決まる. 現れる巡回置換の長さが 重複度を込めて一致しているような (#型 の同じ)置換は 同じ共役類に入る.

#群論入門_置換群編 94 Cycle type of a permutation (#置換 の #巡回置換型) groupprops.subwiki.org/wiki/Cycle_typ… the data of how many cycles of each length are present in the cycle decomposition of σ. 置換σの #巡回置換分解 中に それぞれの長さの #巡回置換 が いくつあるかという情報.

#群論入門_置換群編 93 Permutation type (#置換 の #型) en.wikipedia.org/wiki/Permutati… ある置換σが σ＝(1,2,5)(3,4)(6,8)(7) として #互いに素 な #巡回置換 の積に分解される時， 各 巡回置換の長さを並べた (3,2,2,1)が σの #巡回置換型. (1,2,2,3)とか [1^1･2^2･3^1]と書いてもよい.

#群論入門_置換群編 92 Q. #巡回置換型 とは. A. #置換 σ の巡回置換型(cycle type) あるいは単に，その置換の #型(type) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… 「ある置換を #互いに素 な #巡回置換 の積に分解した時 どのような長さの巡回置換を いくつ積として含むか」を すべて列挙した情報.

#群論入門_置換群編 91 Q. #置換 を #互いに素 な #巡回置換 の積に分解することを 何と呼ぶか A. 「#巡回置換分解」 Cycle decomposition for permutations groupprops.subwiki.org/wiki/Cycle_dec… ※cycleとは巡回置換のこと. en.wikipedia.org/wiki/Permutati… decomposition into disjoint cycles.

#群論入門_置換群編 90 ここまで #あみだくじ の力を借り #置換，#互換，#隣接互換 の間の関係を 直観的にわかる仕方で調べてきた. あみだくじの力を借りない場合 図に頼らず ・置換を #巡回置換 の積で表し ・巡回置換を互換の積で表し ・互換を隣接互換の積で表す というステップを踏む.

#群論入門_置換群編 88 Q. 任意のn次 #置換 σを表す #あみだくじ が 存在する事を帰納法で示せ A. n=2の時 恒等置換と互換(1, 2). n=kの時成り立つ★なら n=k+1の時 ①σがk+1をk+1に移すなら縦線を右端に加筆. ②σがN(≦k)をk+1に移すなら互換(N, k+1)を表すあみだくじを★に合成すればOK.

#群論入門_置換群編 84 #あみだくじ を代数的に解説した本: ▶「ブルーバックス・群論入門」(芳沢,2015) p26 あみだくじ＝#隣接互換 の積 p28 あみだくじと #置換 を相互変換 ▶「あみだくじの数学」(小林,2011) 1章と3章 複雑なあみだくじを簡約化するため #コクセター関係式 を利用

#群論入門_置換群編 83 Q. 任意の #置換 は #隣接互換 の積. #コクセター関係式 を使い 積の中の隣接互換の個数を減らせる. ↑ いくつまで減らせるの? A. その置換σのもつ「転倒数」(inversion number) inv(σ)によって変わってくる. 興味あったら見てみてね ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE… .

#群論入門_置換群編 81 #互換 や #隣接互換 が満たす 3つの関係式を使えば… ▶複雑な互換の積を簡単化できる. (つまり，#置換 を より少ない互換の積で表すのに役立つ.) ▶#あみだくじ は互換の積なので， 複雑なあみだくじを簡単化できる. 複雑な #結び目 を ほどくのに似てますな！

#群論入門_置換群編 75 Q. #置換 a＝ (1,2,3,4 2,1,4,3) を #隣接互換 の積で表すことを考える. aが，隣接互換 b＝(1,2) c＝(3,4) の積で2通りに表せる事を #あみだくじ で図示して確かめよ. A. 1 2 3 4 ├┤├┤ 1 2 3 4 a＝bc＝cb ここで bとcの #合成 の順序は問題にならない.

#群論入門_置換群編 70 Q. 「#対称群 S_n は #隣接互換 で #生成 される.」 どういうことか. A. 任意の #置換 は 隣接互換の積に分解できる. 隣接互換は #互換. 互換は #巡回置換. 巡回置換は置換. 置換は #置換群 の元. ∴隣接互換も置換群の元. 全ての隣接互換の集合はS_nの #生成系.

#群論入門_置換群編 69 ①任意の #あみだくじ は1つの #置換 を表す. ②任意の置換はあみだくじで図示できる.(1通りではない) ③あみだくじの横線1つは #隣接互換 1つを表す. つまりあみだくじは隣接互換の積(#合成). 以上より ④任意の置換は，隣接互換の積である.

#群論入門_置換群編 68 Q. #置換 a = (1,2,3 2,3,1) を表す #あみだくじ 1 2 3 │├┤ ① ├┤│ ② 1 2 3 の横線に注目し， 置換aを 2つの #隣接互換 の積(#合成)で表せ. A. ①の横線は隣接互換(2,3) ②の横線は隣接互換(1,2)を表すので a＝(1,2)(2,3)

#群論入門_置換群編 67 Q. #置換 を #あみだくじ として図示する際 #隣接互換 は図中で何を表すか. A. あみだくじの「横線1本」が 1つの隣接互換を表す. 例: 置換a＝ (1,2,3 1,3,2) を表すあみだくじは 1 2 3 │├┤ 1 2 3 置換aは隣接互換 (2, 3) に等しく 「2と3を入れ換える」.

#群論入門_置換群編 65 Q. #隣接互換 とは. A. #互換 のうち，とくに ( x, x+1 ) の形で表されるもの. 隣接互換 (adjacent transpositions) または 基本互換 (fundamental transpositions) と呼ぶ. 任意の #置換 は，実は (単なる互換の積ではなく) 隣接互換の積に分解できる.

#群論入門_置換群編 61 #互換 (transposition) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… ・ #置換 のうち，特に 「2つの元のみを入れ替えて 他の元は変えない」ものを互換という. ・すなわち，長さが 2 の #巡回置換 のこと.

#群論入門_置換群編 56 Q. 5次の #置換 で 長さ3の #巡回置換 の例として σ＝ (1, 4, 5 4, 5, 1) を考える. σ は，どのように元を 「巡回」させているか. A. 元がこのように循環(巡回)している. 1→ 4→5 ↑ 　　 ↓ └──┘ 2 →┐ ↑　 │ └─┘ 3 →┐ ↑　 │ └─┘

#群論入門_置換群編 55 Q. #巡回置換 とは. A. n 次の #置換 で ( x_1, x_2, x_3, …, x_{r-1}, x_r x_2, x_3, x_4, …, x_r,　　x_1 ) の形をしたものを 「長さ r の巡回置換」という. 6次の置換で，長さ3の巡回置換の例: (2, 4, 5 4, 5, 2)

#群論入門_置換群編 54 Q. n次の #置換 は ( 1, 2, …, n f(1), f(2), …, f(n) ) のように 横方向にn個の要素を すべて書かないといけないのか？ A. それだとめんどいので 動かない元 つまりx＝f(x)であるような元の列は 表記を省略する. 例: (1,2,3,4 1,4,3,2) ＝ (2,4 4,2)

#群論入門_置換群編 52 Q. #置換 をぜんぶ集めた #群 が #対称群 との事ですが そんな群を考えて 数学的に何か良い事でもあるの? A. #ガロア理論 で 「5次方程式に #解の公式 が無い」 ことの根本的な理由が 「1～4次までの対称群は #可解 だが 5次の対称群は可解ではない」 事なのである.

#群論入門_置換群編 51 #対称群 が #結合法則 を満たす事の証明 Prove that symmetric groups are associative math.stackexchange.com/questions/7798… this is just the associativity of function composition n次の3つの #置換 の積などを 頑張って計算する必要は無く #写像 の #合成 の性質から従う.

#群論入門_置換群編 50 対称群 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… ・ #対称群 (symmetric group) 「ものを並べ替える」 という操作全体を元とする #群. ・ #置換 (permutation) 「ものを並べ替える」操作のこと. ・ #置換群 (permutation group) 置換のうち 特別なものだけを集めて得られる群.