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#群論入門_置換群編 123 ↑ このタグの復習: ▶#置換 ・ #全単射 な #写像，#合成 ・ #対称群，#置換群 ・ #あみだくじ で図示 ▶特別な置換 ・ #巡回置換，#互換，#隣接互換 ・ #奇置換，#偶置換，#交代群 ▶群の同型 ・ #準同型，#群準同型 ・ #同型，#群同型 全部思い出せますかな

#群論入門_置換群編 120 英語名称の復習・続 #互換 transposition #隣接互換 adjacent transpositions 基本互換 fundamental transpositions #対合 involution #組みひも関係式 braid relation #遠可換 性 far commutivity #コクセター関係式 Coxeter relations #組みひも群 braid group

#群論入門_置換群編 104 Q. #偶置換，#奇置換 とは. A. ある #置換 σ が… ・偶数個の #互換 の積に分解されるなら σ は偶置換(even permutation)で， sgn(σ) ＝ +1. ・奇数個の互換の積に分解されるなら σ は奇置換(odd permutation)で， sgn(σ) ＝ -1.

#群論入門_置換群編 103 まとめ #置換→#巡回置換→#互換→#隣接互換 ①任意の置換は #互いに素 な巡回置換の積に 一意に分解可能. ②長さnの巡回置換は n-1個の互換の積に分解可能. ③任意の互換は 隣接互換の積に分解可能. ※②③の分解は一意ではないが 互換の個数の偶奇は一定.

#群論入門_置換群編 102 #置換 の符号(偶奇性) Parity of a permutation ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE… 置換 σ を #互換 の積に分解する際， その分解に現れる互換の数が m ならば sgn(σ) ＝ (−1)^m よって σが偶数個の互換の積なら sgn(σ) ＝ +1, σが奇数個の互換の積なら sgn(σ) ＝ -1

#群論入門_置換群編 101 ①#置換 を #互いに素 な #巡回置換 の積に分解する方法は 一意である. ②長さnの #巡回置換 を n-1個の #互換 の積に分解する方法は 一意ではない. ③ ②より，置換を 互換の積に分解する方法は 一意ではない. が，この時の「互換の個数の偶奇性」は一定.

#群論入門_置換群編 100 Q. #置換 を #互換 や #隣接互換 に分解する という考え方は 計算機科学にどう応用できるか A. ソートのアルゴリズムを 分析・描写するのに役立つ. 置換，転倒数 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE… ＞…バブルソートや挿入ソートはこの方法で列を正順にする実例と解釈できる

#群論入門_置換群編 99 ①任意の #置換 は #互いに素 な #巡回置換 の積に 一意に分解可能 ②長さnの #巡回置換 は n-1個の #互換 の積に分解可能 ①②より， 任意の置換→互いに素な巡回置換→互換 の順に分解できるので… ③ 任意の置換は (巡回置換を経由して) 互換の積に分解できる.

#群論入門_置換群編 98 Q. 「n次の #置換 で 長さmの #巡回置換 は #互換 m-1個の積で表せる」 ↑ どういうことか. A. σ ＝ ( α_1, α_2, …, α_m ) である時 σ ＝ ( α_1, α_2 ) ･( α_2, α_3 ) ･ … ･(α_{m-2}, α_{m-1} ) ･(α_{m-1}, α_m ) のように m-1個の互換の積として表せる.

#群論入門_置換群編 97 Q. 横線が空中をまたげる 拡張 #あみだくじ を使い 下記を示せ 「4次の置換で 長さ3の #巡回置換 は #互換 2つの積で表せる」 A. 太線は空中をまたぐとし 長さ3の巡回置換は 横線を2つ引けば作れる. 例: (1,3,4)＝(13)(34) 1 2 3 4 ││┝┥ ┝┿┥│ 1 2 3 4

#群論入門_置換群編 90 ここまで #あみだくじ の力を借り #置換，#互換，#隣接互換 の間の関係を 直観的にわかる仕方で調べてきた. あみだくじの力を借りない場合 図に頼らず ・置換を #巡回置換 の積で表し ・巡回置換を互換の積で表し ・互換を隣接互換の積で表す というステップを踏む.

#群論入門_置換群編 89 Q. 拡張された #あみだくじ において 横線は空中をまたぐ事ができるとする. #互換 a＝(m,n)を 互換 b＝(1,m) c＝(1,n) の積で表せる事を この拡張されたあみだくじで 図示して確かめよ. A. ※太線は空中をまたぐ 1 m n ├┤│ b ┝┿┥ c ├┤│ b 1 m n a＝bcb

#群論入門_置換群編 87 Q. 「任意の #互換 σは #隣接互換 の積に分解できる」 を #あみだくじ の助けを借りて示せるか. A. 前ツイまでの議論により， 互換σを表すあみだくじを図示すると その横線の並びは 「＞」のような形を描いて並ぶ. 例: |ニ|＝|―| その横線1本ずつが隣接互換である.

#群論入門_置換群編 86 Q. #互換 a=(1,5)を #隣接互換 p=(1,2) q=(2,3) r=(3,4) s=(4,5) の積で表せる事を #あみだくじ で図示して確かめよ A. 1 2 3 4 5 ├┤│││p │├┤││q ││├┤│r │││├┤s ││├┤│r │├┤││q ├┤│││p 1 2 3 4 5 (1,5)＝pqrsrqp

#群論入門_置換群編 85 Q. #互換 a=(1,4)を #隣接互換 b=(1,2) c=(2,3) d=(3,4)の積で表せる事を #あみだくじ で図示して確かめよ A. そのようなあみだくじの一例は 1 2 3 4 ├┤││b │├┤│c ││├┤d │├┤│c ├┤││b 1 2 3 4 表す置換は (1,2,3,4 4,2,3,1)＝(1,4)＝bcdcb

#群論入門_置換群編 82 Q. #互換 や #隣接互換 が満たす3つの関係式 ①#対合 ②#組みひも関係式 ③#遠可換 これら3つをまとめて何と呼ぶか A. #コクセター関係式(Coxeter relations) と呼ぶ場合がある. たとえば出典: 「あみだくじの数学」(共立出版,2011) 3章p46～48などを参照のこと.

戦車のレゴ(互換)が安かったから買った笑 イギリス兵が、ドイツ戦車に乗るって言う訳の分からないことにはなっちゃうけど許して(>︿<｡)(兵はイギリス(Cod)が1番好きで、戦車はドイツが1番好きだからこうなった笑) これ↓ #LEGO #互換 #戦車 pic.x.com/rdrx2ydiq4

#群論入門_置換群編 81 #互換 や #隣接互換 が満たす 3つの関係式を使えば… ▶複雑な互換の積を簡単化できる. (つまり，#置換 を より少ない互換の積で表すのに役立つ.) ▶#あみだくじ は互換の積なので， 複雑なあみだくじを簡単化できる. 複雑な #結び目 を ほどくのに似てますな！

#群論入門_置換群編 80 Q. #互換 が満たす3つの関係式を使い 互換の積 a＝(3,4)(2,3)(3,4)(2,3)(1,2)(1,2) を簡単化せよ A. #対合 より (1,2)(1,2)＝eで a＝(3,4)(2,3)(3,4)(2,3) #組みひも関係式 より (2,3)(3,4)(2,3)＝(3,4)(2,3)(3,4)で a ＝(3,4)(3,4)(2,3)(3,4) 対合より ＝(2,3)(3,4)

#群論入門_置換群編 79 Q. #互換 や #隣接互換 が満たす 3つの関係式: ①#対合 σ^2＝e ②#組みひも関係式 bcb＝cbc ③#遠可換 bc＝cb これらの関係式を考えると 何が嬉しいのか？ A. ①～③の性質を使えば， 多数の互換の複雑な積を簡約化して 少数の互換のシンプルな積に変形できる.

#群論入門_置換群編 78 #互換 や #隣接互換 が満たす関係式まとめ: ①互換と隣接互換について #対合(involution) σ^2＝e ②隣り合った隣接互換について #組みひも関係式(braid relation) bcb＝cbc ③互換と隣接互換について #互いに素 なら #遠可換(far commutivity) bc＝cb

#群論入門_置換群編 76 Q. 一般に #互換 の積は #可換 でない. しかし前ツイのように 2つの #隣接互換 b＝(1,2) c＝(3,4)は bc＝cbとなり可換. このように #互いに素 な(共通の元，数字を持たない) 隣接互換どうしの間に成り立つ可換性を 何と呼ぶか. A. #遠可換 性(far commutivity).

#群論入門_置換群編 72 Q. #互換 a＝(1,3)を #隣接互換 b＝(1,2) c＝(2,3) の積で2通りに表せる事を #あみだくじ で図示して確かめよ. A. 1 2 3 ├┤│ b │├┤ c ├┤│ b 1 2 3 a＝bcb 1 2 3 │├┤ c ├┤│ b │├┤ c 1 2 3 a＝cbc

#群論入門_置換群編 70 Q. 「#対称群 S_n は #隣接互換 で #生成 される.」 どういうことか. A. 任意の #置換 は 隣接互換の積に分解できる. 隣接互換は #互換. 互換は #巡回置換. 巡回置換は置換. 置換は #置換群 の元. ∴隣接互換も置換群の元. 全ての隣接互換の集合はS_nの #生成系.

#群論入門_置換群編 65 Q. #隣接互換 とは. A. #互換 のうち，とくに ( x, x+1 ) の形で表されるもの. 隣接互換 (adjacent transpositions) または 基本互換 (fundamental transpositions) と呼ぶ. 任意の #置換 は，実は (単なる互換の積ではなく) 隣接互換の積に分解できる.

#群論入門_置換群編 64 Q. #互換 の 「2乗すると #恒等置換 になる」という性質を 何と呼ぶか A. #対合(たいごう,ついごう,involution) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… ・自分自身をその #逆写像 として持つような #写像. ・2回繰り返すと #恒等変換. ・ #群 の #位数 2の元をも指す.

#群論入門_置換群編 63 Q. いかなる #互換 も 2乗すると #恒等置換 になる事を示せ. A. 互換は長さ2の #巡回置換 なので，一般に a＝(x,y)＝ (x,y y,x) とする. aによって xはyに yはxに移される. a^2は xをx→y→x yをy→x→yの順に移し 恒等置換となる.

#群論入門_置換群編 62 Q. 2つの #互換 a＝(1,2) b＝(2,3) の積(#合成) ab を求めよ. A. 右から(bから)順に適用する. bは 3を2に 2を3に移す. aは 1を2に 2を1に移す. よってbの次にaを適用すると 3を(2を経由して)1に 2を3に 1を2に移すので ab＝ (1,2,3 2,3,1)

#群論入門_置換群編 61 #互換 (transposition) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… ・ #置換 のうち，特に 「2つの元のみを入れ替えて 他の元は変えない」ものを互換という. ・すなわち，長さが 2 の #巡回置換 のこと.

#群論入門_置換群編 60 Q. #互換 とは. A. 長さ 2 の #巡回置換 のこと. ( x_1, x_2 x_2, x_1 ) ＝ ( x_1, x_2 ) という形式をしている. 「2つの元を入れ換える」という働きをする.

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#群論入門_置換群編 1 ↑ このタグでは 下記を解説しますぞ！ ▶#置換 ・ #全単射 な #写像，#合成 ・ #対称群，#置換群 ・ #あみだくじ で図示 ▶特別な置換 ・ #巡回置換，#互換，#隣接互換 ・ #奇置換，#偶置換，#交代群 ▶群の同型 ・ #準同型，#群準同型 ・ #同型，#群同型

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sabinsouko.com/canonprinter20… プリンターの永遠のテーマ。インク代の節約。「詰め替え」という荒業商品がありました。はたして・・・。 #プリンター　 #プリンタ　 #インク　 #詰め替え　 #互換　 #互換品

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