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#群論入門_置換群編 102 #置換 の符号(偶奇性) Parity of a permutation ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE… 置換 σ を #互換 の積に分解する際, その分解に現れる互換の数が m ならば sgn(σ) = (−1)^m よって σが偶数個の互換の積なら sgn(σ) = +1, σが奇数個の互換の積なら sgn(σ) = -1
#群論入門_置換群編 100 Q. #置換 を #互換 や #隣接互換 に分解する という考え方は 計算機科学にどう応用できるか A. ソートのアルゴリズムを 分析・描写するのに役立つ. 置換,転倒数 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE… >…バブルソートや挿入ソートはこの方法で列を正順にする実例と解釈できる
#群論入門_置換群編 98 Q. 「n次の #置換 で 長さmの #巡回置換 は #互換 m-1個の積で表せる」 ↑ どういうことか. A. σ = ( α_1, α_2, …, α_m ) である時 σ = ( α_1, α_2 ) ・( α_2, α_3 ) ・ … ・(α_{m-2}, α_{m-1} ) ・(α_{m-1}, α_m ) のように m-1個の互換の積として表せる.
#群論入門_置換群編 97 Q. 横線が空中をまたげる 拡張 #あみだくじ を使い 下記を示せ 「4次の置換で 長さ3の #巡回置換 は #互換 2つの積で表せる」 A. 太線は空中をまたぐとし 長さ3の巡回置換は 横線を2つ引けば作れる. 例: (1,3,4)=(13)(34) 1 2 3 4 ││┝┥ ┝┿┥│ 1 2 3 4
#群論入門_置換群編 89 Q. 拡張された #あみだくじ において 横線は空中をまたぐ事ができるとする. #互換 a=(m,n)を 互換 b=(1,m) c=(1,n) の積で表せる事を この拡張されたあみだくじで 図示して確かめよ. A. ※太線は空中をまたぐ 1 m n ├┤│ b ┝┿┥ c ├┤│ b 1 m n a=bcb
#群論入門_置換群編 87 Q. 「任意の #互換 σは #隣接互換 の積に分解できる」 を #あみだくじ の助けを借りて示せるか. A. 前ツイまでの議論により, 互換σを表すあみだくじを図示すると その横線の並びは 「>」のような形を描いて並ぶ. 例: |ニ|=|―| その横線1本ずつが隣接互換である.
#群論入門_置換群編 86 Q. #互換 a=(1,5)を #隣接互換 p=(1,2) q=(2,3) r=(3,4) s=(4,5) の積で表せる事を #あみだくじ で図示して確かめよ A. 1 2 3 4 5 ├┤│││p │├┤││q ││├┤│r │││├┤s ││├┤│r │├┤││q ├┤│││p 1 2 3 4 5 (1,5)=pqrsrqp
#群論入門_置換群編 85 Q. #互換 a=(1,4)を #隣接互換 b=(1,2) c=(2,3) d=(3,4)の積で表せる事を #あみだくじ で図示して確かめよ A. そのようなあみだくじの一例は 1 2 3 4 ├┤││b │├┤│c ││├┤d │├┤│c ├┤││b 1 2 3 4 表す置換は (1,2,3,4 4,2,3,1)=(1,4)=bcdcb
戦車のレゴ(互換)が安かったから買った笑 イギリス兵が、ドイツ戦車に乗るって言う訳の分からないことにはなっちゃうけど許して(>︿<。)(兵はイギリス(Cod)が1番好きで、戦車はドイツが1番好きだからこうなった笑) これ↓ #LEGO #互換 #戦車 pic.x.com/rdrx2ydiq4
#群論入門_置換群編 80 Q. #互換 が満たす3つの関係式を使い 互換の積 a=(3,4)(2,3)(3,4)(2,3)(1,2)(1,2) を簡単化せよ A. #対合 より (1,2)(1,2)=eで a=(3,4)(2,3)(3,4)(2,3) #組みひも関係式 より (2,3)(3,4)(2,3)=(3,4)(2,3)(3,4)で a =(3,4)(3,4)(2,3)(3,4) 対合より =(2,3)(3,4)
#群論入門_置換群編 72 Q. #互換 a=(1,3)を #隣接互換 b=(1,2) c=(2,3) の積で2通りに表せる事を #あみだくじ で図示して確かめよ. A. 1 2 3 ├┤│ b │├┤ c ├┤│ b 1 2 3 a=bcb 1 2 3 │├┤ c ├┤│ b │├┤ c 1 2 3 a=cbc
#群論入門_置換群編 65 Q. #隣接互換 とは. A. #互換 のうち,とくに ( x, x+1 ) の形で表されるもの. 隣接互換 (adjacent transpositions) または 基本互換 (fundamental transpositions) と呼ぶ. 任意の #置換 は,実は (単なる互換の積ではなく) 隣接互換の積に分解できる.
#群論入門_置換群編 63 Q. いかなる #互換 も 2乗すると #恒等置換 になる事を示せ. A. 互換は長さ2の #巡回置換 なので,一般に a=(x,y)= (x,y y,x) とする. aによって xはyに yはxに移される. a^2は xをx→y→x yをy→x→yの順に移し 恒等置換となる.
#群論入門_置換群編 62 Q. 2つの #互換 a=(1,2) b=(2,3) の積(#合成) ab を求めよ. A. 右から(bから)順に適用する. bは 3を2に 2を3に移す. aは 1を2に 2を1に移す. よってbの次にaを適用すると 3を(2を経由して)1に 2を3に 1を2に移すので ab= (1,2,3 2,3,1)
#群論入門_置換群編 61 #互換 (transposition) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… ・ #置換 のうち,特に 「2つの元のみを入れ替えて 他の元は変えない」ものを互換という. ・すなわち,長さが 2 の #巡回置換 のこと.
#群論入門_置換群編 60 Q. #互換 とは. A. 長さ 2 の #巡回置換 のこと. ( x_1, x_2 x_2, x_1 ) = ( x_1, x_2 ) という形式をしている. 「2つの元を入れ換える」という働きをする.