#群論入門_置換群編 118 英語名称のおさらい・続 #逆写像 inverse mapping #可逆 invertible #置換 permutation 並べ替え rearrangement (置換の)二行記法 Cauchy's two-line notation #恒等置換 identity permutation 単位置換 unit permutation

#群論入門_置換群編 64 Q. #互換 の 「2乗すると #恒等置換 になる」という性質を 何と呼ぶか A. #対合(たいごう,ついごう,involution) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… ・自分自身をその #逆写像 として持つような #写像. ・2回繰り返すと #恒等変換. ・ #群 の #位数 2の元をも指す.

#群論入門_置換群編 63 Q. いかなる #互換 も 2乗すると #恒等置換 になる事を示せ. A. 互換は長さ2の #巡回置換 なので，一般に a＝(x,y)＝ (x,y y,x) とする. aによって xはyに yはxに移される. a^2は xをx→y→x yをy→x→yの順に移し 恒等置換となる.

#群論入門_置換群編 46 Q. #置換 の集合が #群 をなす事を示せ A. 置換どうしを #合成 すると サイズの同じ置換が生み出され 置換どうしの積という #二項演算 は #閉じている. 置換は #写像 なので #結合法則 を満たす. #恒等置換 は #単位元. #逆置換 は #逆元. ∴群の #公理 を満たす.

#群論入門_置換群編 43 Q. #逆置換 とは A. ある #置換 σがある時 置換τが存在し それらの積(置換の #合成)が #恒等置換 id となれば， τ を σ の逆置換と呼び τ＝σ^{-1} と書く. 置換において 一般に #交換法則 が成り立たないが 置換とその逆置換については στ ＝ τσ ＝ id が成り立つ.

#群論入門_置換群編 29 Q. 任意のn次の #置換 について その置換を表す #あみだくじ を作図可能. 作図方法は一通りでないことを示せ. A. 下記の図A，図Bの両方とも 3次の #恒等置換 で 同じ置換を表している. 図A 1 2 3 │││ │││ 1 2 3 図B 1 2 3 ├┤│ ├┤│ 1 2 3

#群論入門_置換群編 28 Q. 3次の #恒等置換 id_3＝ (1, 2, 3 1, 2, 3) を表す 最も簡単な #あみだくじ を作れ. A. 1 2 3 │││ │││ 1 2 3 1を1に移し 2を2に移し 3を3に移している.

#群論入門_置換群編 27 Q. #恒等置換 とは. A. 1 から n までの自然数の集合 Ω ＝ { 1, 2, …, n } において， 「Ω の各元をそれ自身に移す #置換」のこと. id_n ＝ (1, 2, 3, …, n 1, 2, 3, …, n) のように表記. identity permutation. 単位置換 unit permutationとも.