#群論入門_置換群編 123 ↑ このタグの復習: ▶#置換 ・ #全単射 な #写像，#合成 ・ #対称群，#置換群 ・ #あみだくじ で図示 ▶特別な置換 ・ #巡回置換，#互換，#隣接互換 ・ #奇置換，#偶置換，#交代群 ▶群の同型 ・ #準同型，#群準同型 ・ #同型，#群同型 全部思い出せますかな

#群論入門_置換群編 120 英語名称の復習・続 #互換 transposition #隣接互換 adjacent transpositions 基本互換 fundamental transpositions #対合 involution #組みひも関係式 braid relation #遠可換 性 far commutivity #コクセター関係式 Coxeter relations #組みひも群 braid group

#群論入門_置換群編 103 まとめ #置換→#巡回置換→#互換→#隣接互換 ①任意の置換は #互いに素 な巡回置換の積に 一意に分解可能. ②長さnの巡回置換は n-1個の互換の積に分解可能. ③任意の互換は 隣接互換の積に分解可能. ※②③の分解は一意ではないが 互換の個数の偶奇は一定.

#群論入門_置換群編 100 Q. #置換 を #互換 や #隣接互換 に分解する という考え方は 計算機科学にどう応用できるか A. ソートのアルゴリズムを 分析・描写するのに役立つ. 置換，転倒数 ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE… ＞…バブルソートや挿入ソートはこの方法で列を正順にする実例と解釈できる

#群論入門_置換群編 90 ここまで #あみだくじ の力を借り #置換，#互換，#隣接互換 の間の関係を 直観的にわかる仕方で調べてきた. あみだくじの力を借りない場合 図に頼らず ・置換を #巡回置換 の積で表し ・巡回置換を互換の積で表し ・互換を隣接互換の積で表す というステップを踏む.

#群論入門_置換群編 87 Q. 「任意の #互換 σは #隣接互換 の積に分解できる」 を #あみだくじ の助けを借りて示せるか. A. 前ツイまでの議論により， 互換σを表すあみだくじを図示すると その横線の並びは 「＞」のような形を描いて並ぶ. 例: |ニ|＝|―| その横線1本ずつが隣接互換である.

#群論入門_置換群編 86 Q. #互換 a=(1,5)を #隣接互換 p=(1,2) q=(2,3) r=(3,4) s=(4,5) の積で表せる事を #あみだくじ で図示して確かめよ A. 1 2 3 4 5 ├┤│││p │├┤││q ││├┤│r │││├┤s ││├┤│r │├┤││q ├┤│││p 1 2 3 4 5 (1,5)＝pqrsrqp

#群論入門_置換群編 85 Q. #互換 a=(1,4)を #隣接互換 b=(1,2) c=(2,3) d=(3,4)の積で表せる事を #あみだくじ で図示して確かめよ A. そのようなあみだくじの一例は 1 2 3 4 ├┤││b │├┤│c ││├┤d │├┤│c ├┤││b 1 2 3 4 表す置換は (1,2,3,4 4,2,3,1)＝(1,4)＝bcdcb

#群論入門_置換群編 84 #あみだくじ を代数的に解説した本: ▶「ブルーバックス・群論入門」(芳沢,2015) p26 あみだくじ＝#隣接互換 の積 p28 あみだくじと #置換 を相互変換 ▶「あみだくじの数学」(小林,2011) 1章と3章 複雑なあみだくじを簡約化するため #コクセター関係式 を利用

#群論入門_置換群編 83 Q. 任意の #置換 は #隣接互換 の積. #コクセター関係式 を使い 積の中の隣接互換の個数を減らせる. ↑ いくつまで減らせるの? A. その置換σのもつ「転倒数」(inversion number) inv(σ)によって変わってくる. 興味あったら見てみてね ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE… .

#群論入門_置換群編 82 Q. #互換 や #隣接互換 が満たす3つの関係式 ①#対合 ②#組みひも関係式 ③#遠可換 これら3つをまとめて何と呼ぶか A. #コクセター関係式(Coxeter relations) と呼ぶ場合がある. たとえば出典: 「あみだくじの数学」(共立出版,2011) 3章p46～48などを参照のこと.

#群論入門_置換群編 81 #互換 や #隣接互換 が満たす 3つの関係式を使えば… ▶複雑な互換の積を簡単化できる. (つまり，#置換 を より少ない互換の積で表すのに役立つ.) ▶#あみだくじ は互換の積なので， 複雑なあみだくじを簡単化できる. 複雑な #結び目 を ほどくのに似てますな！

#群論入門_置換群編 79 Q. #互換 や #隣接互換 が満たす 3つの関係式: ①#対合 σ^2＝e ②#組みひも関係式 bcb＝cbc ③#遠可換 bc＝cb これらの関係式を考えると 何が嬉しいのか？ A. ①～③の性質を使えば， 多数の互換の複雑な積を簡約化して 少数の互換のシンプルな積に変形できる.

#群論入門_置換群編 78 #互換 や #隣接互換 が満たす関係式まとめ: ①互換と隣接互換について #対合(involution) σ^2＝e ②隣り合った隣接互換について #組みひも関係式(braid relation) bcb＝cbc ③互換と隣接互換について #互いに素 なら #遠可換(far commutivity) bc＝cb

#群論入門_置換群編 77 #隣接互換 の #遠可換 性: math.tsukuba.ac.jp/~tange/diftop1… t_α t_β = t_β t_α the far commutativity relation. arxiv.org/pdf/1507.02700… σ_{i,g} σ_{j,h}＝σ_{j,h} σ_{i,g} (far commutativity) ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu2/11103_… s_i s_j＝s_j s_i (|j-i|≧2，遠可換)

#群論入門_置換群編 76 Q. 一般に #互換 の積は #可換 でない. しかし前ツイのように 2つの #隣接互換 b＝(1,2) c＝(3,4)は bc＝cbとなり可換. このように #互いに素 な(共通の元，数字を持たない) 隣接互換どうしの間に成り立つ可換性を 何と呼ぶか. A. #遠可換 性(far commutivity).

#群論入門_置換群編 75 Q. #置換 a＝ (1,2,3,4 2,1,4,3) を #隣接互換 の積で表すことを考える. aが，隣接互換 b＝(1,2) c＝(3,4) の積で2通りに表せる事を #あみだくじ で図示して確かめよ. A. 1 2 3 4 ├┤├┤ 1 2 3 4 a＝bc＝cb ここで bとcの #合成 の順序は問題にならない.

#群論入門_置換群編 73 Q. 2つの #隣接互換 b,cが隣り合っている時 つまり b＝(1,2) c＝(2,3)のような形で，一般化して b＝(n-1, n) c＝(n, n+1) である時 前ツイのように bcb＝cbc　① が成り立つ. この式を何と呼ぶか A. #組みひも関係式(braid relation) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… .

#群論入門_置換群編 72 Q. #互換 a＝(1,3)を #隣接互換 b＝(1,2) c＝(2,3) の積で2通りに表せる事を #あみだくじ で図示して確かめよ. A. 1 2 3 ├┤│ b │├┤ c ├┤│ b 1 2 3 a＝bcb 1 2 3 │├┤ c ├┤│ b │├┤ c 1 2 3 a＝cbc

#群論入門_置換群編 71 Q. #巡回置換 σ＝(1,2,…,n) #隣接互換 τ＝(1,2) の時 σとτが #対称群 S_n の #生成系 S_n=‹ σ,τ ›★ となる事を示せ A. σとτで 任意の隣接互換を生み出せる事を証明済. 全ての隣接互換 T_n＝{ (1,2), (2,3), …, (n-1,n) } とするとS_n=‹ T_n ›より★が従う.

#群論入門_置換群編 70 Q. 「#対称群 S_n は #隣接互換 で #生成 される.」 どういうことか. A. 任意の #置換 は 隣接互換の積に分解できる. 隣接互換は #互換. 互換は #巡回置換. 巡回置換は置換. 置換は #置換群 の元. ∴隣接互換も置換群の元. 全ての隣接互換の集合はS_nの #生成系.

#群論入門_置換群編 69 ①任意の #あみだくじ は1つの #置換 を表す. ②任意の置換はあみだくじで図示できる.(1通りではない) ③あみだくじの横線1つは #隣接互換 1つを表す. つまりあみだくじは隣接互換の積(#合成). 以上より ④任意の置換は，隣接互換の積である.

#群論入門_置換群編 68 Q. #置換 a = (1,2,3 2,3,1) を表す #あみだくじ 1 2 3 │├┤ ① ├┤│ ② 1 2 3 の横線に注目し， 置換aを 2つの #隣接互換 の積(#合成)で表せ. A. ①の横線は隣接互換(2,3) ②の横線は隣接互換(1,2)を表すので a＝(1,2)(2,3)

#群論入門_置換群編 67 Q. #置換 を #あみだくじ として図示する際 #隣接互換 は図中で何を表すか. A. あみだくじの「横線1本」が 1つの隣接互換を表す. 例: 置換a＝ (1,2,3 1,3,2) を表すあみだくじは 1 2 3 │├┤ 1 2 3 置換aは隣接互換 (2, 3) に等しく 「2と3を入れ換える」.

#群論入門_置換群編 66 Q. 長さnの #巡回置換 σ＝(1,2,3,…,n) #隣接互換 τ＝(1,2) とするとき， σとτだけで任意の隣接互換を生み出せ. A. σによる #共役変換 f(x)＝σ^{-1} x σ を考えると f(τ)＝(2,3) f(f(τ))＝(3,4) f(f(f(τ)))＝(4,5) … のように 任意の隣接互換を生み出せる.

#群論入門_置換群編 65 Q. #隣接互換 とは. A. #互換 のうち，とくに ( x, x+1 ) の形で表されるもの. 隣接互換 (adjacent transpositions) または 基本互換 (fundamental transpositions) と呼ぶ. 任意の #置換 は，実は (単なる互換の積ではなく) 隣接互換の積に分解できる.

#群論入門_置換群編 1 ↑ このタグでは 下記を解説しますぞ！ ▶#置換 ・ #全単射 な #写像，#合成 ・ #対称群，#置換群 ・ #あみだくじ で図示 ▶特別な置換 ・ #巡回置換，#互換，#隣接互換 ・ #奇置換，#偶置換，#交代群 ▶群の同型 ・ #準同型，#群準同型 ・ #同型，#群同型