＜#代数学の参考書＞ 「群と表現」(岩波書店1996吉川) p3より: 『#2次 の #対称群 には 2つの #既約表現 しか 存在しない事から， #水素分子 の #波動関数 は この既約表現に対応して 全ての状態が ･#対称状態 か ･#反対称状態 に 分類できることが #方程式 を解かなくても保証できる。』

#群論の知識 #対称群 S_n を考えると， S_n の #共役類 の総数は 「n の分割全体」すなわち 「n 次の #ヤング図形 全体」の個数Y_nに等しい。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… "S_n の共役類は 位数 n のヤング図形たちによって記述される"

#群論入門_置換群編 123 ↑ このタグの復習: ▶#置換 ・ #全単射 な #写像，#合成 ・ #対称群，#置換群 ・ #あみだくじ で図示 ▶特別な置換 ・ #巡回置換，#互換，#隣接互換 ・ #奇置換，#偶置換，#交代群 ▶群の同型 ・ #準同型，#群準同型 ・ #同型，#群同型 全部思い出せますかな

#群論入門_置換群編 119 英語名称のおさらい・続 写像の #合成 a mapping composition 関数の合成 a function composition #合成写像 composite mapping 合成関数 composite function #対称群 symmetric group #置換群 permutation group #巡回置換 cyclic permutation

#群論入門_置換群編 116 ケーリーの定理 (Cayley's theorem) en.wikipedia.org/wiki/Cayley%27… every group G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group acting on G 任意の #有限群 Gは 「Gに対して #作用 する #対称群 の #部分群」に #同型. つまり，ある #置換群 に同型.

#群論入門_置換群編 108 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… n 次 #対称群 S_n の元のうち 特に #偶置換 のみを集めると， その全体は n 次対称群の #正規部分群 となる. この #群 を n 次 #交代群 A_n という. n≧5 の時， n 次交代群は #単純群 である.

#群論入門_置換群編 107 #交代群 (alternating group) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4… ・有限集合の #偶置換 全体がなす #群 A_n. ・n 次の交代群は 「n 文字の交代群」 (the alternating group on n letters) とも呼ばれる. ・ #対称群 S_n の部分集合で群なので A_n は S_n の #部分群.

#群論入門_置換群編 105 Q. #交代群 とは. A. #偶置換 全体のなす #群 である. ① #置換 全体のなす集合は #対称群 と呼ばれ S_nと書かれ |S_n|＝n! ② 偶置換全体のなす集合は交代群と呼ばれ A_nと書かれ |A_n|＝n! / 2 ③ #奇置換 全体のなす集合は 積が閉じていないため 群ではない.

#群論入門_置換群編 95 #置換 を #巡回置換型 によって分類したリスト: Permutations by cycle type en.wikiversity.org/wiki/Permutati… #対称群 S_n の #共役類 は 巡回置換型によって決まる. 現れる巡回置換の長さが 重複度を込めて一致しているような (#型 の同じ)置換は 同じ共役類に入る.

#群論入門_置換群編 71 Q. #巡回置換 σ＝(1,2,…,n) #隣接互換 τ＝(1,2) の時 σとτが #対称群 S_n の #生成系 S_n=‹ σ,τ ›★ となる事を示せ A. σとτで 任意の隣接互換を生み出せる事を証明済. 全ての隣接互換 T_n＝{ (1,2), (2,3), …, (n-1,n) } とするとS_n=‹ T_n ›より★が従う.

#群論入門_置換群編 70 Q. 「#対称群 S_n は #隣接互換 で #生成 される.」 どういうことか. A. 任意の #置換 は 隣接互換の積に分解できる. 隣接互換は #互換. 互換は #巡回置換. 巡回置換は置換. 置換は #置換群 の元. ∴隣接互換も置換群の元. 全ての隣接互換の集合はS_nの #生成系.

#群論入門_置換群編 53 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… #多項式 の #ガロア群 とは， 多項式の根の全体からなる集合上の #置換群 のこと. n次 #対称群 S_n は， 有理数体 Q 上の n次の一般多項式のガロア群である. S_n が #可解 なら n次一般多項式の 代数的な #解の公式 が存在.

#群論入門_置換群編 52 Q. #置換 をぜんぶ集めた #群 が #対称群 との事ですが そんな群を考えて 数学的に何か良い事でもあるの? A. #ガロア理論 で 「5次方程式に #解の公式 が無い」 ことの根本的な理由が 「1～4次までの対称群は #可解 だが 5次の対称群は可解ではない」 事なのである.

#群論入門_置換群編 51 #対称群 が #結合法則 を満たす事の証明 Prove that symmetric groups are associative math.stackexchange.com/questions/7798… this is just the associativity of function composition n次の3つの #置換 の積などを 頑張って計算する必要は無く #写像 の #合成 の性質から従う.

#群論入門_置換群編 50 対称群 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… ・ #対称群 (symmetric group) 「ものを並べ替える」 という操作全体を元とする #群. ・ #置換 (permutation) 「ものを並べ替える」操作のこと. ・ #置換群 (permutation group) 置換のうち 特別なものだけを集めて得られる群.

#群論入門_置換群編 49 Q. #置換群 とは. A. #対称群 の #部分群 のこと. つまり 元が全て #置換 であるような #群 のことを置換群という. 置換群の中でもとくに n次の置換すべてがなす群を #対称群 という.

#群論入門_置換群編 48 Q. n次の #対称群 S_n の #位数 を求めよ. A. #置換 を ( 1, 2, …, n f(1), f(2), …, f(n) ) と表すと， 自然数 x を受け取って y＝f(x) を返すような #全単射 な #写像 f は n! 通り存在するので | S_n | ＝ n!

#群論入門_置換群編 47 Q. #対称群 とは. A. サイズの同じ #置換 の全体がなす #群 のこと. Ω＝{ 1, 2, …, n } 上の 置換すべてを考える場合， n次の置換すべての集合がなす群は n次の対称群と呼ばれる.

＜#代数学の参考書＞ 「ヤング図形のはなし」(2002寺田) 前書きより: 『#対称群 の #既約表現 に限っても， たとえば #指標 の値といった もっと詳しい量も #ヤング図形 とつながっていて， #フック とか #アバカス といった #独特 のことばをつかって #組み合わせ論 っぽく表現される.』

#群論入門_置換群編 19 #置換 (permutation) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BD%AE… ・ #群論 において 集合 S 上の置換は S から S 自身への #全単射. ・各元 s を 対応する f(s) と入れ替える という意味での S の並べ替え(rearrangement). ・置換の全体は #対称群 と呼ばれる #群 をなす.

＜#代数学の参考書＞ 「ヤング図形のはなし」 (日本評論社2002寺田) 前書きより引用: 『#対称群 の #表現 を #パラメトライズ し， その #基底 を与えるのは #ヤング図形 の #本領 でもある. この本は， #線形代数 を 学んだばかりのかたにも 読んでいただくといいと思っている.』

#群論入門_置換群編 1 ↑ このタグでは 下記を解説しますぞ！ ▶#置換 ・ #全単射 な #写像，#合成 ・ #対称群，#置換群 ・ #あみだくじ で図示 ▶特別な置換 ・ #巡回置換，#互換，#隣接互換 ・ #奇置換，#偶置換，#交代群 ▶群の同型 ・ #準同型，#群準同型 ・ #同型，#群同型

＜#代数学の参考書＞ 「ヤング図形のはなし」(2002寺田) 前書きより: 『A型 #ヘッケ環 の #表現論 や #一般線型群 の #リー環 の #包絡環 の #原始イデアル の #分類 に登場する #対称群 の #セル， 一般線型群の リー環の #量子化(#量子群)の #表現 の #結晶基底 などと関連.』 #のが多い

＜#代数学の参考書＞ 「ヤング図形のはなし」(2002) 前書きより: 『#ロビンソン・シェンステッド対応 は #表現論 との関わりも深く #対称群 など #古典型ワイル群 の #表現 や， #一般線型群 等の #古典型リー群 の #有限次元表現 の計算に欠かせない #リトルウッド・リチャードソン則…』

＜#代数学の参考書＞ 「有限置換群」(裳華房1981大山) あとがきより 『#有限単純群 の分類の完成※に伴い #2重可移群 の #分類問題 も終る。 特に #4重可移群 については #対称群，#交代群 および #Mathieu群 のみであろう』 ※ #1983年 に完了宣言されたが #2004年 に再び分類完了宣言。

#群論入門_正規部分群編 61 「5次方程式に #解の公式 が無い事」の 要になる概念が #可解群. 本来，可解群の導入には ① #対称群，#交代群 ② #同値類，#剰余類 ③ #剰余群 などの説明を要するが… このタグの連ツイでは ①②③のいずれもふれず， 「#可解」を最短で 導入・解説してみた.

＜#代数学の参考書＞ 「群と表現」(1996吉川) 序章p4より: 『#古典力学 では n個の #粒子 を #入れかえ る n次 #対称群 S_n で #力学系 の #性質 が #特徴 づけられるが， #量子力学 では SU(n) や SO(n) と呼ばれる #連続群 の #対称性 をもつ 力学系が生じる。 例えば #クォーク模型…』

＜#代数学の参考書＞ 「群と表現」(岩波書店1996吉川) p3より: 『#2次 の #対称群 には 2つの #既約表現 しか 存在しない事から， #水素分子 の #波動関数 は この既約表現に対応して 全ての状態が ･#対称状態 か ･#反対称状態 に 分類できることが #方程式 を解かなくても保証できる。』

#群論の知識 #対称群 S_n を考えると， S_n の #共役類 の総数は 「n の分割全体」すなわち 「n 次の #ヤング図形 全体」の個数Y_nに等しい。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… "S_n の共役類は 位数 n のヤング図形たちによって記述される"