#群論入門_正規部分群編 60 Q. #ガロア理論 で #可解群 の概念はなぜ重要? A. n次方程式には その方程式の #ガロア群 という #群 を定義できる. ガロア群が #可解 ならば その方程式には #解の公式 が存在する. 5次以上の方程式のガロア群は 可解群でないので， 解の公式が存在しない.

#代数学の知識 #ガロア拡大 (Galois extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・ #体 の #代数拡大 E/F であって #正規拡大 かつ #分離拡大 であるもののこと. ・E/F がガロア拡大であるなら (#拡大 E/F の #ガロア群)＝Aut(E/F)＝Gal(E/F)

#代数学の知識 #ガロア群 (Galois Group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・代数方程式または #体 の #拡大 から 定義される #群 のこと. ・ガロア群を使って数学的対象を研究することを #ガロア理論 という.

#代数学の知識 #ガロア理論 (Galois theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・代数方程式や #体 の構造を， #ガロア群 と呼ばれる #群 を使って記述する理論。 ・当時(19世紀前半)，まだ確立されていなかった 群や体の考えを方程式の研究に用いていた。

#代数学の知識 #アーベル拡大 (abelian extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2… ・ #ガロア群 が #アーベル群 となるような #ガロア拡大 のこと. ・任意の #円分拡大 (1の冪根による #拡大)は アーベル拡大である.

#代数学の知識 「#ガロア理論 の基本定理」 (fundamental theorem of Galois theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… 「#体 の 有限次 #ガロア拡大 E/F が与えられると， その #中間体 と #ガロア群 Gal(E/F) の #部分群 の間に 一対一対応が存在する」ということ.

#代数学の知識 #ガロア拡大 (Galois extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・ #体 の #代数拡大 E/F であって #正規拡大 かつ #分離拡大 であるもののこと. ・E/F がガロア拡大であるなら (#拡大 E/F の #ガロア群)＝Aut(E/F)＝Gal(E/F)

#代数学の知識 #ガロア群 (Galois Group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・代数方程式または #体 の #拡大 から 定義される #群 のこと. ・ガロア群を使って数学的対象を研究することを #ガロア理論 という.

＜#解析学の参考書＞ 「ガロア理論と表現論 ゼータ関数への出発」(2014黒川) p52より: 『#類体論 を #一般化 した #ラングランズ予想 によると， ･#ガロア群 の #表現 (#ガロア表現) と ･#保型表現 とは #双対性 の関係にある. #双対 とは， 「互いに相手を #決める」 くらいの意味.』

#代数学の知識 #ガロア理論 (Galois theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・代数方程式や #体 の構造を， #ガロア群 と呼ばれる #群 を使って記述する理論。 ・当時(19世紀前半)，まだ確立されていなかった 群や体の考えを方程式の研究に用いていた。

＜#解析学の参考書＞ 「ガロア理論と表現論 ゼータ関数への出発」(2014) p18より 『#有理数体 ℚ上の #有限次ガロア拡大 の #ガロア群 として 全ての #有限群 が出てくると #予想 されているが，#未解決. この問題は #ジャン・ピエール・セール 「#ガロア理論 特論」(原著1992) が詳しい.』

＜#解析学の参考書＞ 「ガロア理論と表現論 ゼータ関数への出発」(2014) p6より 『#ガロア理論 は #写像 X→Xとして #体(#ﾀｲ)の構造を保つ物 (#自己同型写像)を考える. これは体をゆさぶる事で 体から #心(#ガロア群)を引き出す. ガロア理論は 体(#ｶﾗﾀﾞ)と心(#ｺｺﾛ)の #対応関係.』

＜#代数学の参考書＞ 「ガロア理論」(シュプリンガー1997) 付録4より: 『#1829年 に #アーベル は ある #条件 を満たす #多項式 f(x) は #ベキ根 によって #解ける 事を証明した. #現代的 な用語では， #ガロア群 が #アーベル群 になる という条件である. これが「アーベル群」の #語源.』

＜#代数学の参考書＞ 「ガロア理論」(シュプリンガー1997) 付録4より引用: 『#1830年 から #1930年 までの 初めの #100年間， #ガロア群 は #置換群 だった. #1920年代 後半に #アルティン は， ガロア群を #体同型 の言葉で記述する事が より上品で より実りあるものである事に気づいた.』

＜#解析学の参考書＞ 「ガロア理論と表現論 ゼータ関数への出発」(2014) 前書きより: 『#現実 の #数学 では #ガロア群 の #表現論 が ますます重要となっている。 例えば… ･#フェルマー予想 の #証明(#1995年)も ･#佐藤・テイト予想 の 証明(#2011年)も ガロア群の表現論に依る。』