#代数学の知識 #体 の #拡大 (field extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93… #可換体 の組 K, k が与えられた時 体の拡大 K/k とは， k が K に集合として含まれ， k の体構造が K の体構造の制限として得られる構造に 一致していることをいう.

#代数学の知識 #ガロア拡大 (Galois extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・ #体 の #代数拡大 E/F であって #正規拡大 かつ #分離拡大 であるもののこと. ・E/F がガロア拡大であるなら (#拡大 E/F の #ガロア群)＝Aut(E/F)＝Gal(E/F)

#代数学の知識 #ピカール群(Picard group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94… #環付き空間 X に対し， X 上の #可逆層(または #直線束)の #同型類 Pic(X) がなす #群 を X のピカール群という. ピカール群の演算は #テンソル積 から定まる。

#代数学の知識 #ホモロジー代数 (homological algebra) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B… 代数的な設定のもとで #ホモロジー を研究する. ホモロジー的関手と， それから必然的に生じる複雑な #代数的構造 を調べる. #チェイン複体(chain complex) が中心的な概念.

#代数学の知識 #量子群 (quantum group) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F… ・付加構造を持った 様々な種類の非可換代数(一般に #ホップ代数)を指す. ・量子 #可積分系 で出現した用語.

#代数学の知識 #ホップ代数 (Hopf algebra) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B… #代数トポロジー の研究から生まれた概念. ドイツの数学者Heinz Hopfにちなんだ名称. 積の双対概念として #余積 などの構造をもつ. #群 や #リー代数 をまとめて扱うことができる. ホップ代数の重要な例が #量子群.

#代数学の知識 #ブラウアー群(Brauer group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96… #体 K のブラウアー群 Br(K) は 体 K 上の #中心的単純環 の #森田同値類(#多元環類，ブラウアー類) を元とする #アーベル群 で その演算は #多元環 の #テンソル積 から誘導される.

#代数学の知識 #類体論 (class field theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A1%9E… #代数的整数論 の一大分野であり， #有限体 上の曲線の函数体や数体の #アーベル拡大 について， およびそのようなアーベル拡大に関する #数論 的性質について研究する. 理論の対象となる #体 は #大域体.

#代数学の知識 #イデアル類群(ideal class group)， #類群(class group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4… #体 K の #分数イデアル の #群 I_k と Kの #単項イデアル からなる #部分群 P_K に対し #商群 I_K / P_K のことを 体 K のイデアル類群または類群と呼ぶ.

#代数学の知識 高木貞治(たかぎ・ていじ) www6.plala.or.jp/guti/cemetery/… 世界的な難問 「#ヒルベルトの23の問題」のうち， ・第9問題「一般相互法則」と ・第12問題 を肯定的に一部解決. (第12問題のうち，特に 「#クロネッカーの青春の夢」の部分は完全解決) 1850年代以降の難問が解決した.

#代数学の知識 「高木先生と類体論」(河田) mathsoc.jp/assets/pdf/ove… 137㌻より 『ヒルベルトの第12問題は クロネッカーの定理 「有理数体上の任意のAbel拡大は円体」を 一般代数体に拡張. 基礎体が虚2次体の場合は #クロネッカーの青春の夢 として予想され 高木の #類体論 で完全解決.』

#代数学の知識 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92… ①ヒルベルトの第12問題: 「#代数体 の #アーベル拡大 を 具体的に構成する方法は？」 ② ①の代数体として #有理数体 を選んだ場合: #クロネッカー・ウェーバーの定理. ③ ①の代数体として #虚二次体 を選んだ場合: #クロネッカーの青春の夢.

#代数学の知識 #円分体 (cyclotomic field) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86… #有理数体 に 1 の m 乗根 ζ_m を #添加 した #代数体. (m＞2, ζ_m ≠ ±1) ℚ( ζ_m ) と表記する. 任意の円分体は #ガロア拡大体 である.

#代数学の知識 #クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker–Weber theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF… 「#有理数体 ℚ の 有限 #アーベル拡大 は， ある #円分体 の #部分体 である.」 という定理.

#代数学のbot連ツイのタグ その2 ▶環論 ①#環論の初歩 ②#環論の知識 ③#加群の知識 ④#GröbnerBasis ▶体論その他，抽象代数学全般 #体論の初歩(※建設中) #代数学の知識 #代数学の参考書 ▶線形代数 #たった10ツイートでわかる線形代数

#代数学の知識 #アーベル拡大 (abelian extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2… ・ #ガロア群 が #アーベル群 となるような #ガロア拡大 のこと. ・任意の #円分拡大 (1の冪根による #拡大)は アーベル拡大である.

#代数学の知識 #二次体 (quadratic field) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C… #有理数体 上 2次の #代数体. 任意の二次体は 平方因子を含まない0,1以外の整数dにより ℚ(√d) と表記される. d＞0 なら #実二次体 (real quadratic field) d＜0 なら #虚二次体 (imaginary quadratic field)

#代数学の知識 「#ガロア理論 の基本定理」 (fundamental theorem of Galois theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… 「#体 の 有限次 #ガロア拡大 E/F が与えられると， その #中間体 と #ガロア群 Gal(E/F) の #部分群 の間に 一対一対応が存在する」ということ.

#代数学の知識 #ガロア群 (Galois Group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・代数方程式または #体 の #拡大 から 定義される #群 のこと. ・ガロア群を使って数学的対象を研究することを #ガロア理論 という.

#代数学の知識 #分離多項式(separable polynomial) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86… #体 K 上の多項式 P(X) について， 「K の #代数的閉包 において その根が相異なる」時 (重複を考えない根の個数が 多項式の次数に等しい時)， P(X) を分離多項式という.

#代数学の知識 #分解体(splitting field) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86… ・ある多項式を 一次式の積に因数分解(splitting)できるような #係数体 の #拡大体 を， その多項式の分解体という. ・特に，分解体のうち #拡大次数 が最小となる #最小分解体(smallest splitting field)を指す事も.

#代数学の知識 単拡大，#単純拡大 (simple extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… ・ #体 K の #拡大 L について L のある元 α が存在し L が K(α) と等しい時， L を単純拡大という. ・単純拡大 K(α) が #有限拡大 である事と， α が K 上 #代数的 である事は同値.

#代数学の知識 #ホップ代数 (Hopf algebra) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B… #代数トポロジー の研究から生まれた概念. ドイツの数学者Heinz Hopfにちなんだ名称. 積の双対概念として #余積 などの構造をもつ. #群 や #リー代数 をまとめて扱うことができる. ホップ代数の重要な例が #量子群.

#代数学の知識 #有限拡大 (finite extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… 次数有限の #体 の #拡大. (これはつねに #代数拡大 となる.)

#代数学の知識 #分離拡大 (separable extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86… ・ #体 の #代数拡大 E⊃Fで 全てのα∈Eに対し αのF上 #最小多項式 が #分離多項式 である(相異なる根をもつ)ようなもの. ・有限次体 #拡大 が #ガロア拡大 である事と #正規拡大 かつ #分離拡大 である事は同値.

#代数学の知識 #正規拡大 (normal extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3… #体 の #代数拡大 L/K について， 「L に根を持つような K[X] の全ての #既約多項式 が L に根をすべて持つ」時 (L[X] において一次式に分解する時) #拡大 L/K は正規拡大であるという.

#代数学の知識 #代数拡大 (algebraic extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3… #体 の #拡大 L/K について 「L の全ての元が K 上 #代数的」…★ であれば， 拡大 L/K を代数拡大という. ★は 「L の全ての元が K 係数の ある0でない多項式の根である」ということ.

#代数学の知識 #体 の #拡大 (field extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93… #可換体 の組 K, k が与えられた時 体の拡大 K/k とは， k が K に集合として含まれ， k の体構造が K の体構造の制限として得られる構造に 一致していることをいう.

#代数学の知識 #ガロア拡大 (Galois extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・ #体 の #代数拡大 E/F であって #正規拡大 かつ #分離拡大 であるもののこと. ・E/F がガロア拡大であるなら (#拡大 E/F の #ガロア群)＝Aut(E/F)＝Gal(E/F)

#代数学の知識 #ガロア群 (Galois Group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・代数方程式または #体 の #拡大 から 定義される #群 のこと. ・ガロア群を使って数学的対象を研究することを #ガロア理論 という.

#代数学の知識 #ガロア理論 (Galois theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・代数方程式や #体 の構造を， #ガロア群 と呼ばれる #群 を使って記述する理論。 ・当時(19世紀前半)，まだ確立されていなかった 群や体の考えを方程式の研究に用いていた。

#代数学の知識 アーベル-ルフィニの定理 Abel–Ruffini theorem ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2… ・5次以上の代数方程式には #解の公式 が存在しない (一般に代数的に解けない)と主張する定理 ・ #アーベル，ルフィニらには #群 という意識がまだ存在しておらず 技巧的な証明に留まっていた

#代数学の知識 #ガロア理論 (Galois theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・代数方程式や #体 の構造を， #ガロア群 と呼ばれる #群 を使って記述する理論。 ・当時(19世紀前半)，まだ確立されていなかった 群や体の考えを方程式の研究に用いていた。