#代数学の知識 #分離多項式(separable polynomial) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86… #体 K 上の多項式 P(X) について， 「K の #代数的閉包 において その根が相異なる」時 (重複を考えない根の個数が 多項式の次数に等しい時)， P(X) を分離多項式という.

#代数学の知識 #量子群 (quantum group) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F… ・付加構造を持った 様々な種類の非可換代数(一般に #ホップ代数)を指す. ・量子 #可積分系 で出現した用語.

#代数学の知識 #分解体(splitting field) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86… ・ある多項式を 一次式の積に因数分解(splitting)できるような #係数体 の #拡大体 を， その多項式の分解体という. ・特に，分解体のうち #拡大次数 が最小となる #最小分解体(smallest splitting field)を指す事も.

#代数学の知識 単拡大，#単純拡大 (simple extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… ・ #体 K の #拡大 L について L のある元 α が存在し L が K(α) と等しい時， L を単純拡大という. ・単純拡大 K(α) が #有限拡大 である事と， α が K 上 #代数的 である事は同値.

#代数学の知識 #有限拡大 (finite extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… 次数有限の #体 の #拡大. (これはつねに #代数拡大 となる.)

#代数学の知識 #分離拡大 (separable extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86… ・ #体 の #代数拡大 E⊃Fで 全てのα∈Eに対し αのF上 #最小多項式 が #分離多項式 である(相異なる根をもつ)ようなもの. ・有限次体 #拡大 が #ガロア拡大 である事と #正規拡大 かつ #分離拡大 である事は同値.

#代数学の知識 #正規拡大 (normal extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3… #体 の #代数拡大 L/K について， 「L に根を持つような K[X] の全ての #既約多項式 が L に根をすべて持つ」時 (L[X] において一次式に分解する時) #拡大 L/K は正規拡大であるという.

#代数学の知識 #代数拡大 (algebraic extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3… #体 の #拡大 L/K について 「L の全ての元が K 上 #代数的」…★ であれば， 拡大 L/K を代数拡大という. ★は 「L の全ての元が K 係数の ある0でない多項式の根である」ということ.

#代数学の知識 #ホップ代数 (Hopf algebra) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B… #代数トポロジー の研究から生まれた概念. ドイツの数学者Heinz Hopfにちなんだ名称. 積の双対概念として #余積 などの構造をもつ. #群 や #リー代数 をまとめて扱うことができる. ホップ代数の重要な例が #量子群.

#代数学の知識 #体 の #拡大 (field extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93… #可換体 の組 K, k が与えられた時 体の拡大 K/k とは， k が K に集合として含まれ， k の体構造が K の体構造の制限として得られる構造に 一致していることをいう.

#代数学の知識 #ガロア拡大 (Galois extension) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・ #体 の #代数拡大 E/F であって #正規拡大 かつ #分離拡大 であるもののこと. ・E/F がガロア拡大であるなら (#拡大 E/F の #ガロア群)＝Aut(E/F)＝Gal(E/F)

#代数学の知識 #ガロア群 (Galois Group) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・代数方程式または #体 の #拡大 から 定義される #群 のこと. ・ガロア群を使って数学的対象を研究することを #ガロア理論 という.

#代数学の知識 #ガロア理論 (Galois theory) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC… ・代数方程式や #体 の構造を， #ガロア群 と呼ばれる #群 を使って記述する理論。 ・当時(19世紀前半)，まだ確立されていなかった 群や体の考えを方程式の研究に用いていた。

#代数学の知識 アーベル-ルフィニの定理 Abel–Ruffini theorem ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2… ・5次以上の代数方程式には #解の公式 が存在しない (一般に代数的に解けない)と主張する定理 ・ #アーベル，ルフィニらには #群 という意識がまだ存在しておらず 技巧的な証明に留まっていた