#デジタル信号の周波数解析 88 #フーリエ変換 を #離散化 したものが #離散フーリエ変換(#DFT). #DFT を素早く計算する処理を 実用化するための， #計算量 のオーダーの工夫が #高速フーリエ変換(#FFT). この2つを混同しないように注意！ DFTは数学だが FFTは #アルゴリズム である.

関数アートの国際大会で3年連続入賞しました【作品解説】#フーリエ変換 #数学 #desmos youtu.be/MIloX3FjZpg?si… @YouTubeより

#デジタル信号の周波数解析 64 ℱ^{-1}(=#無限長 #区間 の #積分∫) を #有限長 区間の総和Σで置き換えたい. ↓ 方針を思い出そう. #ℱ ではダメだ！ ▶#フーリエ変換 t : 連続● 無限範囲● ω:連続● 無限範囲● ▶#離散時間フーリエ変換 t : 離散〇 無限範囲● ω:連続● 有限長〇

#デジタル信号の周波数解析 39 ▶(複素)#フーリエ級数展開 t :連続 周期的〇 ω:離散〇 無限範囲 ▶#フーリエ変換 t :連続 無限範囲 ω:連続 無限範囲 ▶#離散時間フーリエ変換 t :離散〇 無限範囲 ω:連続 周期的〇 tもωも両方 「#離散(Σ) かつ 周期的(#有限長)」な #変換 が欲しい！

#デジタル信号の周波数解析 38 ▶(複素)#フーリエ級数展開 t : 連続 周期的〇 ω: 離散〇 無限範囲 ▶#フーリエ変換 t : 連続 無限範囲 ω: 連続 無限範囲 ▶#離散時間フーリエ変換 t : 離散〇 無限範囲 ω: 連続 周期的〇 周期的〇 …範囲が #有限長 #離散〇 …∫の代わりにΣで済む

#デジタル信号の周波数解析 37 ▶(複素)#フーリエ級数展開 t : 連続● 周期的 ω: 離散 無限範囲● ▶#フーリエ変換 t : 連続● 無限範囲● ω: 連続● 無限範囲● ▶#離散時間フーリエ変換 t : 離散 無限範囲● ω: 連続● 周期的 #コンピュータ は 無限範囲● や 連続● を扱えない！

#デジタル信号の周波数解析 32 #離散時間フーリエ変換(#DTFT)について 整理すると… ①DTFT: #インパルス列 をかけて #フーリエ変換 する操作 ②DTFT^{-1}: 何をどう復元するか，に応じ #積分 区間のバリエーションが3通り ③#AD変換 と #DA変換 の重要性に押され ①も②も省かれがち

#デジタル信号の周波数解析 27 #離散時間フーリエ変換 (Discrete-time Fourier transform，#DTFT) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2… ･無限区間の #積分 として #逆変換 すると 通常の #フーリエ変換 の逆変換となり #インパルス(#δ列)も復元. ・逆変換の積分範囲を{-π→π}とする場合も.

#デジタル信号の周波数解析 18 ▶#フーリエ変換 ▶#逆フーリエ変換 ▶#離散時間フーリエ変換 ↑ 積分区間が{-∞→∞}で無限長 ▶#逆離散時間フーリエ変換 ↑ 積分区間が #有限長！ 有限長で何が嬉しいかと言うと コンピューターで計算しやすい形に変形できる という利点がある.(後述)

#デジタル信号の周波数解析 17 ▶#フーリエ変換 #FT＝ℱ 積分区間が{-∞→∞}で無限長 ▶#逆フーリエ変換 FT^{-1}＝ ℱ^{-1} 積分区間が{-∞→∞}で無限長 ▶#離散時間フーリエ変換 #DTFT 積分区間が{-∞→∞}で無限長 ▶#逆離散時間フーリエ変換 DTFT^{-1} #積分 区間が #有限長！★

#デジタル信号の周波数解析 16 f(nτ)=f[n] = (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} dω{ ② e^(jnτω) ･ ∫{-∞→∞} dt[ ① Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t-kτ) e^(-jωt) ] } ①#DTFT は #積分 区間が{-∞→∞}だが ②DTFT^{-1}は 積分区間が有限範囲で済んでいる. これは #フーリエ変換 には無い性質！

#デジタル信号の周波数解析 4 #アナログ信号 f(t) に対し 「#デルタ列(#インパルス列)をかけてから #フーリエ変換」するのが #離散時間フーリエ変換. DTFT[ f(t) ] ＝ ℱ[ f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } ] #デジタル信号(#サンプル値関数)の #周波数 スペクトルを得る.

#デジタル信号の周波数解析 3 「#離散時間フーリエ変換」(#DTFT)… ↑ 実は既に #デジタル信号とサンプリング のタグの中で多用してある. #デルタ列 のかかった #アナログ信号 y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } を 普通にt軸上で #フーリエ変換 した ℱ[ y_d ] が f(t) のDTFT.

#デジタル信号の周波数解析 2 ▶#アナログ信号 の周波数解析法: ･#フーリエ級数展開 ･#複素フーリエ級数展開 ･#フーリエ変換 ▶#デジタル信号 の周波数解析法: ･#離散時間フーリエ変換(#DTFT) ･#離散フーリエ変換(#DFT) ･#高速フーリエ変換(#FFT) 1つずつ見てゆこう！

#デジタル信号とサンプリング 29 rect(ω / (Ω/2))の ω軸上 #フーリエ変換: (※rectは-1から1まで値を持つ) 面積1の #矩形関数 のフーリエ変換は #sinc関数 なので ℱ_ω[ (1/2)rect(ω) ]＝(sin t)/t #縮尺 変換の公式より ℱ_ω[ (1/2)rect(ω / (Ω/2)) ]＝(Ω/2)･(sin (Ω/2)t) / (Ω/2)t

#デジタル信号とサンプリング 27 ω軸上で #デジタル信号 を 1 #周期 切り出したもの ℱ[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) = ℱ[y] 両辺をω軸上で #フーリエ変換 ℱ_ω[ ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) ] = ℱ_ω[ ℱ_t[y] ] 左辺の #積 を変形すると…？

#デジタル信号とサンプリング 13 #デジタル信号 y_d＝f(t)･Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) の #フーリエ変換: ℱ[ y_d ] = (1/2π){ F(jω) * Ω δ_Ω (ω) } ※Ω=2π/τ = (1/τ){ F(jω) * δ_Ω (ω) } ↑ これは ω軸上でF(jω)の #波形 が 間隔Ωごとに無限に繰り返し並ぶ ということ.

#デジタル信号とサンプリング 12 #デジタル信号 y_d ＝ f(t)・{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } の #フーリエ変換: ℱ[ y_d ] = ℱ[ f(t)・δ_τ (t) } ] #積 を #たたみ込み に変換 = (1/2π){ ℱ[ f(t) ] * ℱ[ δ_τ (t) ] } = (1/2π){ F(jω) * Ω δ_Ω (ω) } ※Ω=2π/τ

#デジタル信号とサンプリング 11 #デジタル信号 y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } の #フーリエ変換 を求める際 役立つ公式: #積 と #たたみ込み の性質 ℱ[ f(t)･g(t) ] = (1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ] #インパルス列 のフーリエ変換 ℱ[ δ_τ (t) ]＝Ω δ_Ω (ω) ※Ω=2π/τ

#デジタル信号とサンプリング 10 #アナログ信号 y＝f(t) の #フーリエ変換 が ℱ[y]＝F(jω) の時， f(t) を #周期 τで #サンプリング した #デジタル信号 y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } のフーリエ変換はどうなる？ ↓ #インパルス列 との #積 を #たたみ込み に変形できそう！

#デジタル信号とサンプリング 8 「t＝nτ における #デジタル信号 は f(nτ) ではなく f(nτ)･δ(t－nτ) と定義する. そのおかげで，デジタル信号の #フーリエ変換 を考える事が可能になる」 ↑ この件で詳しい説明は 昭晃堂「ディジタル信号処理」(眞溪2004) p69-70とp75を参照.

#デジタル信号とサンプリング 7 t=nτにおける #デジタル信号 は f(nτ) ではなく f(nτ)･δ(t－nτ) ↑ #アナログ信号 の値に #デルタ関数 がかかった形. こう定義することで #積分 可能になり 「デジタル信号の #フーリエ変換」 を定義可能になる. (#δ関数 の積分が1になるおかげ)

スッゲ 関数アートの国際大会で3年連続入賞しました【作品解説】#フーリエ変換 #数学 #desmos youtu.be/MIloX3FjZpg?si… @YouTubeより

#フーリエ変換の具体的な計算 29 ↑ このタグの復習… 次の関数をそれぞれ #フーリエ変換 すると？ ①#矩形関数 ②原点中心の #δ関数 ③#定数関数 ④原点中心でない一般のδ関数 ⑤#複素正弦波 ⑥#インパルス列 全てパッと思い出せるでしょうか。

#フーリエ変換の具体的な計算 28 ℱ[ δ_T (t) ] ＝ Ω δ_Ω (ω) ※Ω＝2π/T 「#インパルス列(#δ関数 の列)を #フーリエ変換 すると やはりインパルス列になる」 ↑ この性質とても重要！ #信号処理 で， #サンプリング定理 のカナメとなる部分が この上記の性質から導出されているため.

#群論の知識 有限可換群上の調和解析 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89… ・有限 #可換群 の上で行なう #調和解析. ・ #合同算術 や #情報理論 において多くの応用がある. ・ #フーリエ変換，#畳み込み，#パーセバルの等式 などを使う。

#フーリエ変換の具体的な計算 26 ①#インパルス列 は #複素正弦波 の単純な和 δ_T (t) = Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) = (1/T)Σ{n=-∞→∞} e^(j2πn･t/T) ②#複素正弦波 の #フーリエ変換 は #デルタ関数 ℱ[ e^(jω_0･t) ] = 2πδ(ω－ω_0) ①②を組み合わせ ①の右辺をフーリエ変換できる!

#フーリエ変換の具体的な計算 22 #インパルス列 δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) ↑ これは #周期 Tをもつ #周期関数. 周期関数の扱い方として まず真っ先に考えるのは， 「(複素)#フーリエ級数展開 の形★で書き直せる」 ということ. そのあとで ★を #フーリエ変換 してみよう.

#フーリエ変換の具体的な計算 20 #δ関数 の #フーリエ変換 を 計算できるという事は… δ関数のΣをとったもの(=#インパルス列)も フーリエ変換できそう. #時間軸 上で #周期 Tごとに #デルタ関数 が無限に並んだ関数 δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) これを周期Tのインパルス列と呼ぶ.

#フーリエ変換の具体的な計算 19 ▶(原点中心でない一般の)#δ関数 を #フーリエ変換 すると， #複素正弦波 になる. ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0) ▶複素正弦波をフーリエ変換すると， その正弦波の #周波数 にピークを持つような δ関数になる. ℱ[ e^(jω_0･t) ] ＝ 2π δ(ω－ω_0)

#フーリエ変換の具体的な計算 17 ℱ[ δ(t－t_0) ] = e^(-jωt_0) 両辺をω軸上で #フーリエ変換 ℱ_ω[ ℱ_t[ δ(t－t_0) ] ] = ℱ_ω[ e^(-jωt_0) ] 重ねがけの公式より 左辺 = 2πδ(－t－t_0) #δ関数 は #偶関数 より = 2πδ(t＋t_0) ∴ ℱ_ω[ e^(-jωt_0) ]＝2πδ(t＋t_0) 変形すると…?

#フーリエ変換の具体的な計算 16 #時間シフト した #δ関数 の #フーリエ変換 証明(2通り) ① ℱ[δ(t-t_0)] =∫{-∞→∞}δ(t-t_0)e^(-jωt)dt =e^(-jωt_0) ② 時間シフトした関数のフーリエ変換の公式 ℱ[f(t-t_0)]=ℱ[ f(t) ] e^(-jωt_0) ℱ[δ(t)]=1 ∴ ℱ[δ(t-t_0)]=1･e^(-jωt_0) //

#フーリエ変換の具体的な計算 15 #複素正弦波 を #フーリエ変換 すると どうなるだろうか？ そのためにまず先に 「#時間シフト した #デルタ関数」 δ(t－t_0) のフーリエ変換を求めてみよう。 この結果は ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0) となる。

#フーリエ変換の具体的な計算 14 ▶原点中心の #デルタ関数 を #フーリエ変換 すると #定数関数 になる. ℱ[ δ(t) ] ＝ 1_ω ▶定数関数をフーリエ変換すると 原点中心のデルタ関数になる. ℱ[ 1(t) ] ＝ 2πδ(ω) ↑ 周波数ゼロ(ω=0)の #直流 成分のみということ. 対称な関係ですね

#信号処理論を独学できるWeb資料 「#やる夫 で学ぶ #ディジタル信号処理」 57 / 103 ▶10.6　#くし型関数 で理解する4種類の #フーリエ変換 の関係 ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/y… #インパルス列 #δ列 #デルタ列 #数学 #大学数学 #信号処理工学 #信号処理論 #信号処理 #工学 #デジタル信号処理

#フーリエ変換の具体的な計算 13 ℱ_t [ δ(t) ] ＝ 1(ω) 両辺をω軸上で #フーリエ変換 すると ℱ_ω [ ℱ_t [ δ(t) ] ] ＝ ℱ_ω [ 1(ω) ] フーリエ変換の重ねがけの公式より 左辺=2πδ(－t)=2πδ(t) ∴ ℱ_ω [ 1(ω) ] = 2πδ(t) ωとtを入れ換えても成立するので ℱ_t [ 1(t) ] = 2πδ(ω)

#フーリエ変換の具体的な計算 12 #フーリエ変換 を重ねがけすると もとの関数の #時間反転 になる ℱ_ω [ ℱ_t [f(t)] ] = 2π f(－t) ↑ この公式を使うと ℱ_t [ δ(t) ] = 1(ω) から ℱ_t [ 1(t) ] = 2π δ(ω) を導出できる. #デルタ関数 と #定数関数 は フーリエ変換の対(ペア)をなす.

関数アートの国際大会で3年連続入賞しました【作品解説】#フーリエ変換 #数学 #desmos youtu.be/MIloX3FjZpg?si… @YouTubeより

#フーリエ変換の具体的な計算 11 #デルタ関数 の #フーリエ変換 の証明: ℱ[ δ(t) ] = ∫{-∞→∞} δ(t) e^(－jωt) dt #δ関数 の性質より 被積分関数にt=0を代入し = e^(－jω･0) = e^0 = 1 ω軸上の #定数関数 である事を明示するため 1_ω とか 1(ω) などと書く事も.