#フーリエ変換の具体的な計算 29 ↑ このタグの復習… 次の関数をそれぞれ #フーリエ変換 すると？ ①#矩形関数 ②原点中心の #δ関数 ③#定数関数 ④原点中心でない一般のδ関数 ⑤#複素正弦波 ⑥#インパルス列 全てパッと思い出せるでしょうか。

#フーリエ変換の具体的な計算 28 ℱ[ δ_T (t) ] ＝ Ω δ_Ω (ω) ※Ω＝2π/T 「#インパルス列(#δ関数 の列)を #フーリエ変換 すると やはりインパルス列になる」 ↑ この性質とても重要！ #信号処理 で， #サンプリング定理 のカナメとなる部分が この上記の性質から導出されているため.

#フーリエ変換の具体的な計算 26 ①#インパルス列 は #複素正弦波 の単純な和 δ_T (t) = Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) = (1/T)Σ{n=-∞→∞} e^(j2πn･t/T) ②#複素正弦波 の #フーリエ変換 は #デルタ関数 ℱ[ e^(jω_0･t) ] = 2πδ(ω－ω_0) ①②を組み合わせ ①の右辺をフーリエ変換できる!

#フーリエ変換の具体的な計算 24 δ_T (t)の #複素フーリエ級数展開 の展開係数 c_n = (1/T)∫{-T/2→T/2} { Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) e^(-j2πn･t/T) } dt 区間{-T/2→T/2}で #積分 すると Σの総和の中で k=0つまりt=0･Tの項のみが生き残るので c_n = (1/T){ e^(-j2πn･0/T) } = 1/T

#フーリエ変換の具体的な計算 23 δ_T (t) = Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) #複素フーリエ級数展開 し = Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T) 係数は c_n = (1/T)∫{-T/2→T/2} δ_T(t) e^(－j2πn･t/T) dt = (1/T)∫{-T/2→T/2} { Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) e^(－j2πn･t/T) } dt このΣはどうなる？

#フーリエ変換の具体的な計算 22 #インパルス列 δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) ↑ これは #周期 Tをもつ #周期関数. 周期関数の扱い方として まず真っ先に考えるのは， 「(複素)#フーリエ級数展開 の形★で書き直せる」 ということ. そのあとで ★を #フーリエ変換 してみよう.

#フーリエ変換の具体的な計算 21 #インパルス列 δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) #デルタ関数 (#δ関数) が 間隔Tで無限に並ぶ波形であり， ･インパルス列 ･#デルタ関数列 (#δ関数列) ･#デルタ列 (#δ列) ･くし形関数 などと呼ばれる.

#フーリエ変換の具体的な計算 20 #δ関数 の #フーリエ変換 を 計算できるという事は… δ関数のΣをとったもの(=#インパルス列)も フーリエ変換できそう. #時間軸 上で #周期 Tごとに #デルタ関数 が無限に並んだ関数 δ_T (t) ＝ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) これを周期Tのインパルス列と呼ぶ.

#フーリエ変換の具体的な計算 19 ▶(原点中心でない一般の)#δ関数 を #フーリエ変換 すると， #複素正弦波 になる. ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0) ▶複素正弦波をフーリエ変換すると， その正弦波の #周波数 にピークを持つような δ関数になる. ℱ[ e^(jω_0･t) ] ＝ 2π δ(ω－ω_0)

#フーリエ変換の具体的な計算 18 ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0) を変形して… ℱ_ω[ e^(－jωt_0) ]＝2πδ(t＋t_0) が得られている。 ω軸とt軸を入れ換えても成り立つので ℱ_t[ e^(－jt･t_0) ]＝2πδ(ω＋t_0) t_0という定数を－ω_0に置き換えると ℱ[ e^(jω_0･t) ] ＝ 2π δ(ω－ω_0)

#フーリエ変換の具体的な計算 17 ℱ[ δ(t－t_0) ] = e^(-jωt_0) 両辺をω軸上で #フーリエ変換 ℱ_ω[ ℱ_t[ δ(t－t_0) ] ] = ℱ_ω[ e^(-jωt_0) ] 重ねがけの公式より 左辺 = 2πδ(－t－t_0) #δ関数 は #偶関数 より = 2πδ(t＋t_0) ∴ ℱ_ω[ e^(-jωt_0) ]＝2πδ(t＋t_0) 変形すると…?

#フーリエ変換の具体的な計算 16 #時間シフト した #δ関数 の #フーリエ変換 証明(2通り) ① ℱ[δ(t-t_0)] =∫{-∞→∞}δ(t-t_0)e^(-jωt)dt =e^(-jωt_0) ② 時間シフトした関数のフーリエ変換の公式 ℱ[f(t-t_0)]=ℱ[ f(t) ] e^(-jωt_0) ℱ[δ(t)]=1 ∴ ℱ[δ(t-t_0)]=1･e^(-jωt_0) //

#フーリエ変換の具体的な計算 15 #複素正弦波 を #フーリエ変換 すると どうなるだろうか？ そのためにまず先に 「#時間シフト した #デルタ関数」 δ(t－t_0) のフーリエ変換を求めてみよう。 この結果は ℱ[ δ(t－t_0) ] ＝ e^(－jωt_0) となる。

#フーリエ変換の具体的な計算 14 ▶原点中心の #デルタ関数 を #フーリエ変換 すると #定数関数 になる. ℱ[ δ(t) ] ＝ 1_ω ▶定数関数をフーリエ変換すると 原点中心のデルタ関数になる. ℱ[ 1(t) ] ＝ 2πδ(ω) ↑ 周波数ゼロ(ω=0)の #直流 成分のみということ. 対称な関係ですね

#フーリエ変換の具体的な計算 13 ℱ_t [ δ(t) ] ＝ 1(ω) 両辺をω軸上で #フーリエ変換 すると ℱ_ω [ ℱ_t [ δ(t) ] ] ＝ ℱ_ω [ 1(ω) ] フーリエ変換の重ねがけの公式より 左辺=2πδ(－t)=2πδ(t) ∴ ℱ_ω [ 1(ω) ] = 2πδ(t) ωとtを入れ換えても成立するので ℱ_t [ 1(t) ] = 2πδ(ω)

#フーリエ変換の具体的な計算 12 #フーリエ変換 を重ねがけすると もとの関数の #時間反転 になる ℱ_ω [ ℱ_t [f(t)] ] = 2π f(－t) ↑ この公式を使うと ℱ_t [ δ(t) ] = 1(ω) から ℱ_t [ 1(t) ] = 2π δ(ω) を導出できる. #デルタ関数 と #定数関数 は フーリエ変換の対(ペア)をなす.

#フーリエ変換の具体的な計算 11 #デルタ関数 の #フーリエ変換 の証明: ℱ[ δ(t) ] = ∫{-∞→∞} δ(t) e^(－jωt) dt #δ関数 の性質より 被積分関数にt=0を代入し = e^(－jω･0) = e^0 = 1 ω軸上の #定数関数 である事を明示するため 1_ω とか 1(ω) などと書く事も.

#フーリエ変換の具体的な計算 10 #時間軸 上の #デルタ関数 を #フーリエ変換 すると #周波数軸 上では #定数関数 になる. ℱ[ δ(t) ]＝1 ↑ 右辺は，ω軸上で常に 1という値を取り続ける定数関数. #ディラック の #δ関数 ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87… ∫{－∞→∞} δ(t) f(t) dt =f(0)=定数

#フーリエ変換の具体的な計算 9 t の #指数関数 の #積分 公式: ∫ e^(at) dt ＝ (1/a) e^(at) #複素正弦波 e^(－jωt) を t で積分すると その指数部分の t の係数 －jω が 分母に落ちてくる. その結果， 複素正弦波の分母に「ωの1次の項」が生まれ ωの #sinc関数 が生まれる.

#フーリエ変換の具体的な計算 8 #sinc関数 ＝ (sin ω) / ω の分母には 「ωの1次の項」があるが… この 「ωの1次の項」が生まれる理由は？ #矩形関数 の #フーリエ変換 を計算すると， #信号処理 や #フーリエ解析学 において 「sinc関数が現れる理由」を 簡潔に説明できるようになる。

#フーリエ変換の具体的な計算 6 rect(t) ＝ 1　(－1≦t≦1) 0　(それ以外) ↑ #矩形関数 の #フーリエ変換 を 計算してみよう. ℱ[ rect(t) ] = ∫{-∞→∞} rect(t) e^(－jωt) dt = ∫{-1→1} e^(－jωt) dt = (-1/jω) [ e^(－jωt) ]_{-1→1} = -(1/jω) { e^(－jω)－e^(jω) } 続

#フーリエ変換の具体的な計算 5 rect(t) ＝ 1 (－1≦t≦1) 0 (それ以外) とすると， ℱ[ (1/2) rect(t) ] = sinc(ω) = (sin ω) / ω 「面積1の #矩形関数 は #フーリエ変換 すると #シンク関数 になる」 と覚えるとよい！ #矩形 の範囲が－1から＋1まで，とするのも きりが良い定義.

#フーリエ変換の具体的な計算 4 #sinc関数(シンクかんすう) Sinc function ja.wikipedia.org/wiki/Sinc%E9%9… 定義方法には亜種もあるが y ＝ (sin x) / x ＝ sinc(x) とするのが一般的. #信号処理 において なかなか重要な役割を果たす関数. 後で学ぶが，sinc関数のおかげで #DA変換 できる.

#フーリエ変換の具体的な計算 3 #矩形関数(くけいかんすう) rectangular function ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9F%A9… 定義方法にはいろいろ流儀があり， グラフの値が1となる範囲を －1≦x≦1 のかわりに －1/2＜x＜1/2 とする場合もある. 重要な性質: #フーリエ変換 すると #sinc関数 になる.

#フーリエ変換の具体的な計算 2 #矩形(くけい)関数を rect(x) ＝ 1　(－1≦x≦1) 0　(それ以外) で定義。 #sinc(シンク)関数を sinc(x) ＝ (sin x) / x で定義。 この時 ℱ[ rect(t) ] ＝ 2 sinc(ω) が成り立つ。 #矩形関数 を #フーリエ変換 すると #sinc関数 になる！

#フーリエ変換の具体的な計算 1 ↑ このタグでは下記の事を学びます。 次の関数をそれぞれ #フーリエ変換 すると？ ①#矩形関数 ②原点中心の #δ関数 ③#定数関数 ④原点中心でない一般のδ関数 ⑤#複素正弦波 ⑥#インパルス列