#アナログ信号の解析法 53 ↑ このタグの復習… ･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形) ↓ 三角関数で #級数展開 ･#フーリエ級数展開 ↓ 変形(#オイラーの公式) ･#複素フーリエ級数展開 ↓ 変形(#区分求積法) ･#フーリエ変換 周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能 OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 51 #フーリエ級数展開 や #複素フーリエ級数展開 と比べた場合の #フーリエ変換 のメリット: ･#周期 が無い一般のアナログ #波形 に適用できる ･#微分方程式 を解くのに役立つ ･#離散フーリエ変換 や #FFT，#ラプラス解析 など重要な応用に橋渡しできる

#アナログ信号の解析法 45 ①#フーリエ級数展開 f(t)=Σ(sinとcos) ②#複素フーリエ級数展開 f(t)=Σ(exp) ③#フーリエ変換 f(t)=∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dω ①②:#周期 Tの #アナログ信号 を 離散スペクトルの和(Σ)に分解 ③:一般のアナログ信号を 連続スペクトルの #積分(∫)に分解

#アナログ信号の解析法 44 「#複素フーリエ級数展開 で T→∞の #極限 をとれば #フーリエ変換 を導出できる」 ↑ Tは信号の #周期 だから， Tが無限大という事は いつまでたっても信号の #波形 に 「繰り返しが現れない」という事. つまり，#周期信号 ではない 一般の波形を扱える！

#アナログ信号の解析法 43 f(t) = Σ{m=-∞→+∞}{ (1/T)∫{-T/2→T/2}f(s)exp(-j2πm･s/T)ds ･ e^(j2πm･t/T) } ↑ #複素フーリエ級数展開 で T→∞の #極限 をとれば lim{T→∞}f(t) =(1/2π)∫{-∞→∞}F(ω)exp(jωt)dω ※F(ω)=∫{-∞→∞}f(s)exp(-jωs)ds #フーリエ変換 になる.

#アナログ信号の解析法 40 #複素フーリエ級数展開 の式… f(t) = Σ{m=-∞→＋∞}{ (1/T)∫{-T/2→T/2} f(s)exp(－j2πm･s/T) ds ･ e^(j2πm･t/T) } ↑ Σの中身はm/Tを引数に取る関数で 全体に係数1/Tが付く. という事はつまり T→∞の極限をとれば #区分求積法 の公式が使える.

#アナログ信号の解析法 34 ▶#周期 Tの #アナログ信号 ↓ ↓ sin,cos の集まりとみなす ↓ ▶#フーリエ級数展開 ↓ ↓ #オイラーの公式 で ↓ sin,cosを #exp に書き換え ↓ ▶#複素フーリエ級数展開 ↓ ↓ 周期T→∞の #極限 を取り ↓ #区分求積法 でΣを∫に ↓ ▶#フーリエ変換

#アナログ信号の解析法 33 #複素フーリエ級数展開 のメリットは もう1つあり… 「#複素正弦波 で書かれているので 変形して #フーリエ変換 を導出しやすい」 という利点がある. フーリエ変換: f(t)＝(1/2π) ∫{－∞→∞} F(ω) exp(jωt) dω F(ω)＝∫{－∞→∞} f(t) exp(－jωt) dt

#アナログ信号の解析法 32 #フーリエ級数展開 と比べた場合 #複素フーリエ級数展開 は何の役に立つ？ ・sin, cos だけでなく #exp で表記した #複素正弦波 も #直交関数系 なのだと分かる ・sin,cosで2項使って #級数展開 していたのが expという1項だけで #展開 でき， 表記がより簡潔

#アナログ信号の解析法 31 #複素フーリエ級数展開: f(t)= Σ{m=-∞→＋∞}{ (1/T)∫{-T/2→T/2}f(s)exp(－j2πm s/T)ds ① ･ e^(j2πm t/T) ② } ①と②で #exp 内の符号が異なる. 元の連続信号f(t)を 正の向きに回る #正弦波 exp(+～)で #級数展開 したいので， ②のexp内の符号は正.

#アナログ信号の解析法 30 ▶#複素フーリエ級数展開 f(t)=Σ{m=-∞→+∞} c_m･e^(j2πm･t/T) 係数は c_m=(1/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) exp(－j2πm･s/T) ds 1つの式にまとめると… f(t) = Σ{m=-∞→+∞}{ (1/T)∫{-T/2→T/2} f(s)exp(－j2πm･s/T) ds ･ e^(j2πm･t/T) }

#アナログ信号の解析法 29 #展開 の #係数 を #積分形 で表示！ ▶#フーリエ級数展開: a_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) cos(2πn s/T) ds b_n＝(2/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) sin(2πn s/T) ds ▶#複素フーリエ級数展開: c_m＝(a_m－j b_m)/2 ＝(1/T) ∫{-T/2→T/2} f(s) exp(－j2πm s/T) ds

#アナログ信号の解析法 28 f(t) = a_0 / 2 ＋ Σ{n=1→∞}{ a_n cos(2πn t/T)＋ b_n sin(2πn t/T) }…① = Σ{m=－∞→＋∞}{ {(a_m － j b_m)/2} e^(j2πm t/T) } = Σ{m=－∞→＋∞} c_m・e^(j2πm t/T) …② c_m ＝ (a_m － j b_m) / 2 これが #複素フーリエ級数展開 の係数.

#アナログ信号の解析法 23 #フーリエ級数展開 f(t)＝a_0 / 2 ＋ Σ{n=1→∞} { a_n・cos( 2πn・t/T )＋ b_n・sin( 2πn・t/T ) } ↑ この式に cosθ＝{e^(jθ)＋e^(－jθ)}/2 sinθ＝{e^(jθ)－e^(－jθ)}/2j を代入すれば， cos,sinが消えて #exp のΣになり #複素フーリエ級数展開 になる.

#アナログ信号の解析法 3 ①#フーリエ級数展開 #有限長 #連続信号 の 無限長離散スペクトルを得る. cos,sinのΣで展開 ②#複素フーリエ級数展開 ①をexpに書き換え. cos,sinの展開の2度手間を省く ③#フーリエ変換 #無限長 連続信号の 無限長連続スペクトルを得る. expの #積分 で展開

#アナログ信号の解析法 1 ↑ このタグでは下記の項目を学びます. ･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形) ↓ 三角関数で #級数展開 ･#フーリエ級数展開 ↓ 変形(#オイラーの公式) ･#複素フーリエ級数展開 ↓ 変形(#区分求積法) ･#フーリエ変換 周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能