#デジタル信号の周波数解析 35 ▶#離散時間フーリエ変換 は 「#時間 変数 t のみがとびとび」 ▶#複素フーリエ級数展開 は 「#周波数 変数 ω のみがとびとび」 ↑ t と ω の両方を とびとび(#離散)にできないか？ そうすれば #コンピュータ で #数値計算 しやすくなる！

#デジタル信号の周波数解析 34 ▶#離散時間フーリエ変換: #時間 変数 t のみが とびとびの値(k・τ) DTFT[ f(t) ] = ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ)･δ(t－kτ) ] ▶#複素フーリエ級数展開: #周波数 変数 ω のみが とびとびの値(k・2π/T) f(t) = Σ{k=-∞→∞} c_k･e^(j･{k･2π/T}･t)

#デジタル信号の周波数解析 33 #離散時間フーリエ変換 は 「#時間 変数tのみを とびとびの値(k・τ)に限定」する操作. 似た概念で， 「#周波数 変数ωのみを とびとびの値(k・2π/T)に限定」する操作 もある. #複素フーリエ級数展開 である. f(t)=Σ{k=-∞→∞} c_k･e^(j･{k･2π/T}･t)

#デジタル信号の周波数解析 28 DTFT^{-1} の定義の #積分 範囲が ①{-π/τ→π/τ} #複素フーリエ級数展開 ②{-∞→∞} #逆フーリエ変換 ③{-π→π} ①を #規格化 の3通りある. という事だが… 実は #信号処理 の教科書には DTFT^{-1} どころか #DTFT そのものが載ってなかったりする…！

#デジタル信号の周波数解析 23 DTFT^{-1} を求める操作の #積分 範囲が… ①ω軸上1 #周期(=#有限長 の #区間)なら: #DTFT を #複素フーリエ級数展開 とみなし 複素フーリエ級数の展開係数の公式で DTFT^{-1}を定義. ②{-∞→∞}(=#無限長 の区間)なら: それは単なる #逆フーリエ変換.

#デジタル信号の周波数解析 12 DTFT[f(t)]=F(ω) = Σ{n=-∞→∞} f[-n]e^(j2πn･ω/Ω) #複素フーリエ級数展開 の公式より f[-n] = (1/Ω)∫{-Ω/2→Ω/2}F(ω)e^(-j2πn･ω/Ω)dω = (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ}F(ω)e^(-jnτω)dω ∴f[n]= (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ}F(ω)e^(jnτω)dω

#デジタル信号の周波数解析 11 DTFT[ f(t) ]=F(ω) = Σ{n=-∞→∞} f[-n] e^(j2πn･ω/Ω) ① ①式の f[-n] は #複素フーリエ級数展開 の #係数. 複素フーリエ級数展開の公式 f(t)＝Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T) c_n＝(1/T) ∫{-T/2→T/2} f(t) e^(-j2πn･t/T) dt に当てはめると？

#デジタル信号の周波数解析 10 DTFT[ f(t) ]=F(ω) = Σ{n=-∞→∞} f[-n]･e^(j2πn･ω/Ω) ① ↑ この式を 「#周期 ΩのF(ω)の ω軸上での #複素フーリエ級数展開」 とみなせる. という事は…？ ①式の f[-n] の部分を 複素フーリエ級数展開の #係数 とみなせる！ という事になる.

#デジタル信号の周波数解析 9 #周期 T を持つ関数f(t)の t軸上での #複素フーリエ級数展開 は f(t)＝Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T) という形. 一方 DTFT[ f(t) ]=F(ω) = Σ{n=-∞→∞} f[-n] e^(j2πn･ω/Ω) だから，これは 周期 Ω を持つ関数F(ω)の ω軸上での複素フーリエ級数展開.

#デジタル信号の周波数解析 8 DTFT[ f(t) ] =Σ{n=-∞→∞} f[n]e^(-jωτn)① =F(ω) F(ω)はω軸上で周期Ω=2π/τの #周期関数. ①はω軸上での #複素フーリエ級数展開. 現に ① =Σ{n=-∞→∞} f[-n]e^(jωτn) =Σ{n=-∞→∞} f[-n]e^(j2πn･{ωτ/2π}) =Σ{n=-∞→∞} f[-n]e^(j2πn･ω/Ω)

#デジタル信号の周波数解析 7 DTFT[ f(t) ] = ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t－kτ) ] = Σ{n=-∞→∞} f[n]･e^(－jωτn)① = F(ω) #サンプリング定理 の所で 「F(ω)はω軸上で周期2π/τの #周期関数」 と学んだ. 周期関数は #複素フーリエ級数展開 でき ①はω軸上での複素フーリエ級数展開.

#デジタル信号の周波数解析 6 #アナログ信号 f(t) を #サンプリング周期 τ で #標本化 した #デジタル信号 値 f(nτ)＝f[n] について DTFT[ f[n] ] = X(ωτ) = Σ{n=-∞→∞} f[n]･e^(－jωτn) ↑ よく見ると #複素フーリエ級数展開 f(t)＝Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T) に似ている？

#デジタル信号の周波数解析 2 ▶#アナログ信号 の周波数解析法: ･#フーリエ級数展開 ･#複素フーリエ級数展開 ･#フーリエ変換 ▶#デジタル信号 の周波数解析法: ･#離散時間フーリエ変換(#DTFT) ･#離散フーリエ変換(#DFT) ･#高速フーリエ変換(#FFT) 1つずつ見てゆこう！

#フーリエ変換の具体的な計算 24 δ_T (t)の #複素フーリエ級数展開 の展開係数 c_n = (1/T)∫{-T/2→T/2} { Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) e^(-j2πn･t/T) } dt 区間{-T/2→T/2}で #積分 すると Σの総和の中で k=0つまりt=0･Tの項のみが生き残るので c_n = (1/T){ e^(-j2πn･0/T) } = 1/T

#フーリエ変換の具体的な計算 23 δ_T (t) = Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) #複素フーリエ級数展開 し = Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T) 係数は c_n = (1/T)∫{-T/2→T/2} δ_T(t) e^(－j2πn･t/T) dt = (1/T)∫{-T/2→T/2} { Σ{k=-∞→∞} δ(t－kT) e^(－j2πn･t/T) } dt このΣはどうなる？