#デジタル信号の周波数解析 41 tもωも両方 「#離散＆#有限長」な変換を作るには: ▶#離散時間フーリエ変換(#DTFT) t : 離散〇 無限範囲● ω: 連続● 周期的〇 ↑ これをもとに作ってみよう. t領域で #周期性 を仮定し有限範囲化 ω領域で #サンプリング を施し #離散化 いけるのでは？

#デジタル信号の周波数解析 40 tもωも両方 ･#離散(Σ)かつ ･周期的(#有限長) であるような #変換 があれば… ・ t領域 → ω領域 の変換も ・ ω領域 → t領域 の #逆変換 も #コンピュータ で 有限の #数値計算 で 処理可能になる！ そういう変換を 既存の変換式を変形し作ってみよう.

#デジタル信号の周波数解析 39 ▶(複素)#フーリエ級数展開 t :連続 周期的〇 ω:離散〇 無限範囲 ▶#フーリエ変換 t :連続 無限範囲 ω:連続 無限範囲 ▶#離散時間フーリエ変換 t :離散〇 無限範囲 ω:連続 周期的〇 tもωも両方 「#離散(Σ) かつ 周期的(#有限長)」な #変換 が欲しい！

#デジタル信号の周波数解析 38 ▶(複素)#フーリエ級数展開 t : 連続 周期的〇 ω: 離散〇 無限範囲 ▶#フーリエ変換 t : 連続 無限範囲 ω: 連続 無限範囲 ▶#離散時間フーリエ変換 t : 離散〇 無限範囲 ω: 連続 周期的〇 周期的〇 …範囲が #有限長 #離散〇 …∫の代わりにΣで済む

#デジタル信号の周波数解析 37 ▶(複素)#フーリエ級数展開 t : 連続● 周期的 ω: 離散 無限範囲● ▶#フーリエ変換 t : 連続● 無限範囲● ω: 連続● 無限範囲● ▶#離散時間フーリエ変換 t : 離散 無限範囲● ω: 連続● 周期的 #コンピュータ は 無限範囲● や 連続● を扱えない！

#デジタル信号の周波数解析 36 コンピュータで #数値計算 するには ▶変数が #連続 ではダメ (∫で #解析的 な数"式"処理が必要) ↓ #離散 変数なら Σで数"値"和をとれる ▶信号長が無限範囲ではダメ (#無限長 の信号スキャンが必要) ↓ #周期関数 なら #有限長 の信号スキャンで済む

#デジタル信号の周波数解析 35 ▶#離散時間フーリエ変換 は 「#時間 変数 t のみがとびとび」 ▶#複素フーリエ級数展開 は 「#周波数 変数 ω のみがとびとび」 ↑ t と ω の両方を とびとび(#離散)にできないか？ そうすれば #コンピュータ で #数値計算 しやすくなる！

#デジタル信号の周波数解析 34 ▶#離散時間フーリエ変換: #時間 変数 t のみが とびとびの値(k・τ) DTFT[ f(t) ] = ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ)･δ(t－kτ) ] ▶#複素フーリエ級数展開: #周波数 変数 ω のみが とびとびの値(k・2π/T) f(t) = Σ{k=-∞→∞} c_k･e^(j･{k･2π/T}･t)

#デジタル信号の周波数解析 33 #離散時間フーリエ変換 は 「#時間 変数tのみを とびとびの値(k・τ)に限定」する操作. 似た概念で， 「#周波数 変数ωのみを とびとびの値(k・2π/T)に限定」する操作 もある. #複素フーリエ級数展開 である. f(t)=Σ{k=-∞→∞} c_k･e^(j･{k･2π/T}･t)

#デジタル信号の周波数解析 32 #離散時間フーリエ変換(#DTFT)について 整理すると… ①DTFT: #インパルス列 をかけて #フーリエ変換 する操作 ②DTFT^{-1}: 何をどう復元するか，に応じ #積分 区間のバリエーションが3通り ③#AD変換 と #DA変換 の重要性に押され ①も②も省かれがち

#デジタル信号の周波数解析 31 #AD変換 と #DA変換 の式を再掲. ▶#アナログ信号 から #デジタル信号(#δ列)を得る: y_d(t) = f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } ▶デジタル信号(δ列)から アナログ信号を復元: y(t) = y_d(t) * sinc( ω_0･t ) = Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc(ω_0･t－kπ)

#デジタル信号の周波数解析 30 「#δ列 で表された信号」に対し おもに行ないたい相互変換は 　#デジタル信号⇔#アナログ信号 の相互入れ換え. (#サンプリング定理 の所で学んだ #sinc補間) この #DA変換，#AD変換 を重んじるあまり 　t⇔ωの相互変換(=#DTFT) は省いてしまうのだろう.

#デジタル信号の周波数解析 29 #信号処理 の本に #離散時間フーリエ変換(#DTFT)が 載ってない事が多いのはなぜ？ 理由は2つ ①DTFTの中身は ℱ と ℱ^{-1} だから 特記する必要ないやろ…と省く. ②#インパルス列 で相互変換したいのは t⇔ωじゃなくて #AD変換＆#DA変換やろ…と省く.

#デジタル信号の周波数解析 28 DTFT^{-1} の定義の #積分 範囲が ①{-π/τ→π/τ} #複素フーリエ級数展開 ②{-∞→∞} #逆フーリエ変換 ③{-π→π} ①を #規格化 の3通りある. という事だが… 実は #信号処理 の教科書には DTFT^{-1} どころか #DTFT そのものが載ってなかったりする…！

#デジタル信号の周波数解析 27 #離散時間フーリエ変換 (Discrete-time Fourier transform，#DTFT) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%A2… ･無限区間の #積分 として #逆変換 すると 通常の #フーリエ変換 の逆変換となり #インパルス(#δ列)も復元. ・逆変換の積分範囲を{-π→π}とする場合も.

#デジタル信号の周波数解析 26 DTFT^{-1} の #積分 範囲を {-π→π}とする流儀について: f[n]= (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω) e^(jnτω) dω ↓ #規格化周波数 を τω＝ω'とおいてみると f[n]＝ (1/2π) ∫{-π→π} F(ω'/τ) e^( jnω' ) dω’

#デジタル信号の周波数解析 25 DTFT^{-1} の式を見た時… ①積分範囲が{-π/τ→π/τ}でなく ②積分範囲が{-∞→∞}でもなく ③積分範囲が{-π→π}となっている場合がある. ↑ ③は #積分 範囲を調整し計算しやすくした 「#規格化周波数」という軸で考えた場合の式. 混乱に気を付けて！

#デジタル信号の周波数解析 24 DTFT^{-1} の式を見た時… ①#積分 範囲が{-π/τ→π/τ}なら 「#δ列 ではなく， #δ関数 のかかっていない1個の信号値を 復元しているんだな」とわかる. ②積分範囲が{-∞→∞}なら 「ここでは DTFT^{-1} を ℱ^{-1} と定義しているんだな」とわかる.

#デジタル信号の周波数解析 23 DTFT^{-1} を求める操作の #積分 範囲が… ①ω軸上1 #周期(=#有限長 の #区間)なら: #DTFT を #複素フーリエ級数展開 とみなし 複素フーリエ級数の展開係数の公式で DTFT^{-1}を定義. ②{-∞→∞}(=#無限長 の区間)なら: それは単なる #逆フーリエ変換.

#デジタル信号の周波数解析 22 DTFT^{-1}の #積分 区間が: ①ω軸上1 #周期 なら 信号「値」1つを復元 (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω)e^(jnτω)dω =f[n]=f(nτ) ②{-∞→∞}なら 「#δ列 としての #デジタル信号」を復元 ∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dt = Σ{k=-∞→∞}f(kτ)δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 21 DTFT[ f(t) ]=F(ω) = ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t－kτ) ] ↑ #逆変換 を2通り考えられる. ① (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω) e^(jnτω) dω = f(nτ) = f[n] ② ℱ^{-1}[ DTFT[f(t)] ] = ∫{-∞→∞} DTFT[f(t)] e^(jωt) dt = Σ{k=-∞→∞} f(kτ)δ(t－kτ)

#デジタル信号の周波数解析 20 DTFT[ f(t) ] = ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ)δ(t－kτ) ]① ①に ℱ^{-1} をかけると ℱ^{-1}[ ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ)δ(t－kτ) ] ] = ∫{-∞→∞} DTFT[f(t)] e^(jωt) dt = Σ{k=-∞→∞} f(kτ)δ(t－kτ) #インパルス列 としての #デジタル信号 に戻る.

#デジタル信号の周波数解析 19 DTFT[ f(t) ]=F(ω) = ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t－kτ) ]① の #逆変換 を f[n]＝(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} F(ω) e^(jnτω) dω と導出した. が，①の 「#ℱ」だけに着目すると その逆変換は 「ℱ^{-1}」で済んじゃうのでは？ その場合，何を復元した事になる？

#デジタル信号の周波数解析 18 ▶#フーリエ変換 ▶#逆フーリエ変換 ▶#離散時間フーリエ変換 ↑ 積分区間が{-∞→∞}で無限長 ▶#逆離散時間フーリエ変換 ↑ 積分区間が #有限長！ 有限長で何が嬉しいかと言うと コンピューターで計算しやすい形に変形できる という利点がある.(後述)

#デジタル信号の周波数解析 17 ▶#フーリエ変換 #FT＝ℱ 積分区間が{-∞→∞}で無限長 ▶#逆フーリエ変換 FT^{-1}＝ ℱ^{-1} 積分区間が{-∞→∞}で無限長 ▶#離散時間フーリエ変換 #DTFT 積分区間が{-∞→∞}で無限長 ▶#逆離散時間フーリエ変換 DTFT^{-1} #積分 区間が #有限長！★

#デジタル信号の周波数解析 16 f(nτ)=f[n] = (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} dω{ ② e^(jnτω) ･ ∫{-∞→∞} dt[ ① Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t-kτ) e^(-jωt) ] } ①#DTFT は #積分 区間が{-∞→∞}だが ②DTFT^{-1}は 積分区間が有限範囲で済んでいる. これは #フーリエ変換 には無い性質！

#デジタル信号の周波数解析 15 f(nτ)=f[n] = (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ} dω{ ② e^(jnτω) ･ ∫{-∞→∞} dt[ ① Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t-kτ) e^(-jωt) ] } ↑ この式の意味は 「①#DTFT してから②DTFT^{-1}すると #デジタル信号 値 f(nτ) を #δ関数 のかかっていない形で復元できる」

#デジタル信号の周波数解析 14 f[n]=f(nτ) =(τ/2π)∫{-π/τ→π/τ}dω F(ω)e^(jnτω) F(ω)=ℱ[y_d(t)] =ℱ[Σ{k=-∞→∞}f(kτ)δ(t－kτ)] 1個の式にすると f[n]=f(nτ)= (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ}dω{ ∫{-∞→∞}dt[ Σ{k=-∞→∞}f(kτ)δ(t-kτ)e^(-jωt) ]e^(jnτω) }

#デジタル信号の周波数解析 13 整理すると… DTFT[ f(t) ]=F(ω) = ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t－kτ) ] の時， F(ω) から #デジタル信号 値 f[n] を復元するには f[n] ＝ (τ/2π) ∫{-π/τ→π/τ} F(ω) e^(jnτω) dω ↑ この式は下記URLにも載っている. suzumushi0.hatenablog.com/entry/2017/07/… .

#デジタル信号の周波数解析 12 DTFT[f(t)]=F(ω) = Σ{n=-∞→∞} f[-n]e^(j2πn･ω/Ω) #複素フーリエ級数展開 の公式より f[-n] = (1/Ω)∫{-Ω/2→Ω/2}F(ω)e^(-j2πn･ω/Ω)dω = (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ}F(ω)e^(-jnτω)dω ∴f[n]= (τ/2π)∫{-π/τ→π/τ}F(ω)e^(jnτω)dω

#デジタル信号の周波数解析 11 DTFT[ f(t) ]=F(ω) = Σ{n=-∞→∞} f[-n] e^(j2πn･ω/Ω) ① ①式の f[-n] は #複素フーリエ級数展開 の #係数. 複素フーリエ級数展開の公式 f(t)＝Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T) c_n＝(1/T) ∫{-T/2→T/2} f(t) e^(-j2πn･t/T) dt に当てはめると？

#デジタル信号の周波数解析 10 DTFT[ f(t) ]=F(ω) = Σ{n=-∞→∞} f[-n]･e^(j2πn･ω/Ω) ① ↑ この式を 「#周期 ΩのF(ω)の ω軸上での #複素フーリエ級数展開」 とみなせる. という事は…？ ①式の f[-n] の部分を 複素フーリエ級数展開の #係数 とみなせる！ という事になる.

#デジタル信号の周波数解析 9 #周期 T を持つ関数f(t)の t軸上での #複素フーリエ級数展開 は f(t)＝Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T) という形. 一方 DTFT[ f(t) ]=F(ω) = Σ{n=-∞→∞} f[-n] e^(j2πn･ω/Ω) だから，これは 周期 Ω を持つ関数F(ω)の ω軸上での複素フーリエ級数展開.

#デジタル信号の周波数解析 8 DTFT[ f(t) ] =Σ{n=-∞→∞} f[n]e^(-jωτn)① =F(ω) F(ω)はω軸上で周期Ω=2π/τの #周期関数. ①はω軸上での #複素フーリエ級数展開. 現に ① =Σ{n=-∞→∞} f[-n]e^(jωτn) =Σ{n=-∞→∞} f[-n]e^(j2πn･{ωτ/2π}) =Σ{n=-∞→∞} f[-n]e^(j2πn･ω/Ω)

#デジタル信号の周波数解析 7 DTFT[ f(t) ] = ℱ[ Σ{k=-∞→∞} f(kτ) δ(t－kτ) ] = Σ{n=-∞→∞} f[n]･e^(－jωτn)① = F(ω) #サンプリング定理 の所で 「F(ω)はω軸上で周期2π/τの #周期関数」 と学んだ. 周期関数は #複素フーリエ級数展開 でき ①はω軸上での複素フーリエ級数展開.

#デジタル信号の周波数解析 6 #アナログ信号 f(t) を #サンプリング周期 τ で #標本化 した #デジタル信号 値 f(nτ)＝f[n] について DTFT[ f[n] ] = X(ωτ) = Σ{n=-∞→∞} f[n]･e^(－jωτn) ↑ よく見ると #複素フーリエ級数展開 f(t)＝Σ{n=-∞→∞} c_n･e^(j2πn･t/T) に似ている？

#デジタル信号の周波数解析 5 DTFT[ f(t) ] = ℱ[ Σ{n=-∞→∞} f(nτ)δ(t-nτ) ] = ∫{-∞→∞} { Σ{n=-∞→∞} f(nτ)δ(t-nτ) }e^(-jωt) dt = Σ{n=-∞→∞} f(nτ)e^(-jωnτ) = Σ{n=-∞→∞} f[n]e^(-jΩn) ↑ この式をDTFT[～]の定義式とする場合も。 ※f(nτ)=f[n]，Ω=ωτ

#デジタル信号の周波数解析 4 #アナログ信号 f(t) に対し 「#デルタ列(#インパルス列)をかけてから #フーリエ変換」するのが #離散時間フーリエ変換. DTFT[ f(t) ] ＝ ℱ[ f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } ] #デジタル信号(#サンプル値関数)の #周波数 スペクトルを得る.

#デジタル信号の周波数解析 3 「#離散時間フーリエ変換」(#DTFT)… ↑ 実は既に #デジタル信号とサンプリング のタグの中で多用してある. #デルタ列 のかかった #アナログ信号 y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } を 普通にt軸上で #フーリエ変換 した ℱ[ y_d ] が f(t) のDTFT.