#デジタル信号の周波数解析 3 「#離散時間フーリエ変換」(#DTFT)… ↑ 実は既に #デジタル信号とサンプリング のタグの中で多用してある. #デルタ列 のかかった #アナログ信号 y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } を 普通にt軸上で #フーリエ変換 した ℱ[ y_d ] が f(t) のDTFT.

#デジタル信号とサンプリング 42 ↑ このタグの復習 ①#AD変換: #アナログ信号 から #デジタル信号 を得る方法. なぜ #インパルス列 が必要か ②#DA変換: デジタル信号からアナログ信号を復元する方法. #サンプリング定理，#サンプリング周波数 ①②両方で 変換式をすぐ思い出せるように.

#デジタル信号とサンプリング 41 #AD変換 で得られた 「無限個の数値の並び」としての f(t)･δ_τ(t) ↑ これに対し #DA変換 を施すと… f(t) というアナログ波形に戻り #解析的 な関数の形(y＝sin 2t など)が 数式として得られる. 解析的(全体)⇔#数値的(部分的) の相互変換 という事.

#デジタル信号とサンプリング 40 #AD変換 の意味: 仮に #関数 y＝f(t) の具体形が #解析的 にわかっているとしよう. (例: y＝sin 2t など) A/D変換すなわち #サンプリング により， t軸上で得られる情報は部分的になり 「無限個の #数値 の列(=#数列)」となる. それが f(t)･δ_τ(t).

#デジタル信号とサンプリング 39 ▶#アナログ信号 から #デジタル信号 を得る式: アナログ→デジタル変換(#AD変換). y_d(t) ＝ y(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } ▶デジタル信号から アナログ信号を復元する式: デジタル→アナログ変換(#DA変換). y(t) ＝ y_d(t) * sinc(ω_0･t)

#デジタル信号とサンプリング 38 #アナログ信号 y(t)を #サンプリング周期(時間間隔)τで #標本化 した #デジタル信号 y_d (t) に対し デジタル信号から アナログ信号を復元する #補間公式: y(t)＝y_d(t) * sinc( ω_0･t ) (ω_0=π/τ) y(t)＝Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc( ω_0･t － kπ )

#デジタル信号とサンプリング 37 y(t)＝y_d(t) * sinc( ω_0･t ) (ω_0=π/τ) を変形し y(t)＝Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc(ω_0･t － kπ) ★ ★の意味: 「#サンプリング 値を #sinc で重みづけしながら総和をとれば， サンプリングしなかった いかなる時刻の原信号の値も復元できる！」

#デジタル信号とサンプリング 36 #サンプリング 値つまり #時間軸 上での #離散的 な値の #数列 y(kτ) (kは整数)を使い， 任意の時刻における原信号 y(t)を復元すると y(t) = Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc(ω_0(t－kτ)) ω_0=π/τ ω_0･τ=πなので = Σ{k=-∞→∞} y(kτ) sinc( ω_0･t－kπ )

#デジタル信号とサンプリング 34 y(t) ＝ y_d(t) * sinc( ω_0･t ) この式に，さらに ･#デジタル信号 の定義 y_d(t) = y(t){ Σ{k＝-∞→∞} δ(t－kτ) } = Σ{k＝-∞→∞} y(kτ)･δ(t－kτ) ･#たたみ込み の定義 f*g＝∫{-∞→∞} f(t－τ) g(τ) dτ を適用するとどうなる…？

#デジタル信号とサンプリング 33 #サンプリング周期 τ の #デジタル信号 y_d(t) を使って #アナログ信号 y(t) を表すと y(t) ＝ y_d(t) * sinc( ω_0･t ) (ω_0 ＝ π/τ) めっちゃ綺麗な形になった。 この意味は 「デジタル信号に #sinc関数 を #畳みこむ と アナログ信号に戻る！」

#デジタル信号とサンプリング 32 前ツイまでで y(－t) = y_d(－t) * sinc( ω_0･t ) が得られている。 ここで 両辺の t を －t に置き換えると， #sinc関数 は #偶関数 なので y(t) = y_d(t) * sinc( ω_0･t ) となる。

#デジタル信号とサンプリング 31 ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ] = 2 ω_0･sinc(ω_0･t) を使うと #デジタル信号 の #スペクトル を ω軸上で1 #周期 切り出した式は 2πy(-t) = τ y_d(-t) * ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ] = y_d(-t) * 2τω_0･sinc(ω_0･t) π/τ=ω_0より y(-t) = y_d(-t) * sinc(ω_0･t)

#デジタル信号とサンプリング 30 ℱ_ω[ (1/2)rect(ω / (Ω/2)) ] = (Ω/2)･(sin (Ω/2)t) / (Ω/2)t ω軸上で F(ω) の正負両方向への両幅が Ω=2π/τ の時， その片幅 Ω/2(=π/τ) を Ω/2=ω_0 とおく. ℱ_ω[ (1/2)rect(ω / (Ω/2)) ] = ω_0･(sin ω_0･t) / (ω_0･t) = ω_0･sinc( ω_0･t )

#デジタル信号とサンプリング 29 rect(ω / (Ω/2))の ω軸上 #フーリエ変換: (※rectは-1から1まで値を持つ) 面積1の #矩形関数 のフーリエ変換は #sinc関数 なので ℱ_ω[ (1/2)rect(ω) ]＝(sin t)/t #縮尺 変換の公式より ℱ_ω[ (1/2)rect(ω / (Ω/2)) ]＝(Ω/2)･(sin (Ω/2)t) / (Ω/2)t

#デジタル信号とサンプリング 28 ℱ_ω[ ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) ] = ℱ_ω[ ℱ_t[y] ] 右辺=2πy(-t) 左辺(#積 を #たたみ込み に変形) = (1/2π)ℱ_ω[ ℱ_t[y_d] ] * ℱ_ω[ τ rect(ω / (Ω/2))] = (τ/2π) 2π y_d(-t) * ℱ_ω[rect(ω / (Ω/2))] = τ y_d(-t) * ℱ_ω[rect(ω / (Ω/2))]

#デジタル信号とサンプリング 27 ω軸上で #デジタル信号 を 1 #周期 切り出したもの ℱ[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) = ℱ[y] 両辺をω軸上で #フーリエ変換 ℱ_ω[ ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) ] = ℱ_ω[ ℱ_t[y] ] 左辺の #積 を変形すると…？

#デジタル信号とサンプリング 26 #デジタル信号 の #スペクトル ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ)に 「ω軸上で長さΩ高さτの #矩形関数」をかけて 1周期ぶん切りだすと #アナログ信号 のスペクトルF(ω)に等しい. ℱ[y_d] ・ τ rect(ω / (Ω/2)) = F(ω) これを #逆フーリエ変換 すると？

#デジタル信号とサンプリング 25 #デジタル信号 の #スペクトル ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ) は #周期 Ωの #周期関数 だから… 「ω軸上で長さΩかつ高さτの #矩形関数」 τ・rect(ω / (Ω/2)) をかければ 1周期ぶんのF(ω)を切り出せる！ ※rect(x)= 1 (-1≦x≦1) 0 (otherwise)

#デジタル信号とサンプリング 24 #デジタル信号 の #スペクトル ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ) は ω軸上で #周期 Ωの #周期関数. #アナログ信号 のスペクトルF(ω)が ナイキスト条件を満たし F(ω)の #帯域幅 がω軸上で 横幅Ωの範囲内に収まっている時 1周期ぶんだけ切り出すには？

#デジタル信号とサンプリング 23 #折り返し雑音(folding noise) #エイリアシング(aliasing) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%98… 異なる #連続信号 が #標本化 により区別不能になる事. 低すぎる #周波数 で #標本化 すると #高周波 が #アンダーサンプリング され #低周波 の折り返し雑音になる.

#デジタル信号とサンプリング 22 #サンプリング周波数 (sampling rate) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5… 「#サンプリング 周波数の1/2の #帯域幅 の 外側の #周波数 成分は， 復元時に #折り返し雑音 となるため， #標本化 の前に #帯域制限フィルタ により 遮断しておかなければならない。」

#デジタル信号とサンプリング 21 #標本化定理 (#サンプリング定理) sampling theorem ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99… 「#波形 の最大 #周波数 の 2倍を超えた周波数で #標本化(#サンプリング)すれば， 完全に元の波形に再構成される。」

#デジタル信号とサンプリング 20 『信号の帯域が ω軸上で無限に広がらず， ある幅の中に #帯域制限 されている』 ↓ 下記を見ると理解しやすい. #電波 の周波数による分類 ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%BB… 無線，携帯電話，テレビ放送など毎に 利用可能な周波数帯域(バンド幅)が決まっている.

#デジタル信号とサンプリング 19 #ナイキスト周波数(Nyquist frequency) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A… #サンプリング周波数 の1/2の #周波数. #アナログ信号 の #周波数帯域 が ナイキスト周波数(サンプリング周波数の1/2) 以下に制限されていれば #サンプリング 時に元信号の情報は失われない.

#デジタル信号とサンプリング 18 #デジタル信号 の #スペクトル ℱ[y_d]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ) (Ω=2π/τ) ω軸上で #周期 Ωの #周期関数. ↑ ここから 「1周期だけ切り出しF(ω)を復元」 という操作が可能であるためには 横幅Ωの範囲内に F(ω)の #波形 全体が収まっている必要がある.

#デジタル信号とサンプリング 17 #デジタル信号 の #スペクトル ℱ[ y_d ]＝(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ) は #周期 Ω=2π/τの無限列. という事は… ω軸上で横幅Ωで 1周期ぶんを切り出してτ倍すれば #アナログ信号 のスペクトルF(ω)が得られ #逆フーリエ変換 で アナログ信号を復元できる！

#デジタル信号とサンプリング 16 #アナログ信号 を #サンプリング して得られる #デジタル信号 は… ･#時間領域 では: 元信号のうち とびとびの情報しか持っていない. ･#周波数領域 では: ℱ[ y_d ]＝(1/τ) Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ) 元信号の #スペクトル F(ω)が 周期的に並ぶ.

#デジタル信号とサンプリング 15 #デジタル信号 から #アナログ信号 を 正確に復元できるか？ つまり，y＝f(t) に #時間周期 τ の #デルタ関数列 をかけて くし状に加工したデジタル信号 y_d ＝ f(t)・δ_τ(t) だけがある時 y_dから元のアナログ信号 f(t) の情報を 正確に復元できるか？

#デジタル信号とサンプリング 14 ℱ[f(t)]＝F(ω) y_d＝f(t)・δ_τ(t) #時間領域 で 時間 #周期 τで #サンプリング した信号は… ℱ[ y_d ] = (1/τ) F(ω) * δ_Ω (ω) ※Ω=2π/τ = (1/τ)Σ{k=-∞→∞} F(ω－kΩ) #周波数領域 では #周波数 周期 Ω=2π/τ の #周期関数 になる.

#デジタル信号とサンプリング 13 #デジタル信号 y_d＝f(t)･Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) の #フーリエ変換: ℱ[ y_d ] = (1/2π){ F(jω) * Ω δ_Ω (ω) } ※Ω=2π/τ = (1/τ){ F(jω) * δ_Ω (ω) } ↑ これは ω軸上でF(jω)の #波形 が 間隔Ωごとに無限に繰り返し並ぶ ということ.

#デジタル信号とサンプリング 12 #デジタル信号 y_d ＝ f(t)・{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } の #フーリエ変換: ℱ[ y_d ] = ℱ[ f(t)・δ_τ (t) } ] #積 を #たたみ込み に変換 = (1/2π){ ℱ[ f(t) ] * ℱ[ δ_τ (t) ] } = (1/2π){ F(jω) * Ω δ_Ω (ω) } ※Ω=2π/τ

#デジタル信号とサンプリング 11 #デジタル信号 y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } の #フーリエ変換 を求める際 役立つ公式: #積 と #たたみ込み の性質 ℱ[ f(t)･g(t) ] = (1/2π) ℱ[ f(t) ] * ℱ[ g(t) ] #インパルス列 のフーリエ変換 ℱ[ δ_τ (t) ]＝Ω δ_Ω (ω) ※Ω=2π/τ

#デジタル信号とサンプリング 10 #アナログ信号 y＝f(t) の #フーリエ変換 が ℱ[y]＝F(jω) の時， f(t) を #周期 τで #サンプリング した #デジタル信号 y_d＝f(t)･{ Σ{k=-∞→∞} δ(t－kτ) } のフーリエ変換はどうなる？ ↓ #インパルス列 との #積 を #たたみ込み に変形できそう！

#デジタル信号とサンプリング 9 記号の補足: #サンプリング周期 を Tではなく τ(タウ)で表記する事があるのはなぜ？ #信号処理 でTと書いた場合 #周期信号 の #周期 を表すことが多い. 混同・誤解を避けるため ①関数の #波形 の周期はT ②サンプリング周期はτ で表し区別.

#デジタル信号とサンプリング 8 「t＝nτ における #デジタル信号 は f(nτ) ではなく f(nτ)･δ(t－nτ) と定義する. そのおかげで，デジタル信号の #フーリエ変換 を考える事が可能になる」 ↑ この件で詳しい説明は 昭晃堂「ディジタル信号処理」(眞溪2004) p69-70とp75を参照.

#デジタル信号とサンプリング 7 t=nτにおける #デジタル信号 は f(nτ) ではなく f(nτ)･δ(t－nτ) ↑ #アナログ信号 の値に #デルタ関数 がかかった形. こう定義することで #積分 可能になり 「デジタル信号の #フーリエ変換」 を定義可能になる. (#δ関数 の積分が1になるおかげ)

#デジタル信号とサンプリング 6 y_d = Σ{k=－∞→∞} f(kτ)･δ(t－kτ) #デジタル信号 の定義を見て 気付くことは…？ 時刻 t=nτ における 「#アナログ信号 の値」は f(nτ) なのだが 時刻 t=nτ におけるデジタル信号を f(nτ) ではなく f(nτ)･δ(t－nτ) と定義するのである！

#デジタル信号とサンプリング 5 #デジタル信号 の定義は 「#アナログ信号 に #デルタ関数 列をかけたもの」なので… y_d = f(t)･{ Σ{k=－∞→∞} δ(t－kτ) } = Σ{k=－∞→∞} f(kτ)･δ(t－kτ) ↑ こういう方法でデジタル信号を表す式を 「#サンプル値関数」などと呼ぶことも.

#デジタル信号とサンプリング 4 #時間軸 が #アナログ か #デジタル かの違い ▶#アナログ信号: t軸上の どの時刻tにおいても #波形 が値を持つ. ▶#デジタル信号: t軸上で #サンプリング の間隔τごとに値を持つ. 等間隔でとげが並んだ くしのような形. とげの無い部分の値は0.

#デジタル信号とサンプリング 3 記号や用語の補足… ここでは y ＝ f(t) は #アナログ信号 y_d ＝ f(t)･δ_τ (t) は #デジタル信号 y_d の下添え字の「d」はデジタルの意 という記号を使っている. δ_τ (t) は 間隔τの #インパルス列.