#代数学のbot連ツイのタグ その2 ▶環論 ①#環論の初歩 ②#環論の知識 ③#加群の知識 ④#GröbnerBasis ▶体論その他，抽象代数学全般 #体論の初歩(※建設中) #代数学の知識 #代数学の参考書 ▶線形代数 #たった10ツイートでわかる線形代数

#環論の知識 #分数イデアル(fractional ideal) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86… Rを #整域 とし KをRの #分数体 とする時 Kの0でない R-部分加群 I であって 0でない r∈R が存在し r I ⊆ R となるようなものを R の分数イデアルと呼ぶ. ある意味で「分母が許された #イデアル」のようなもの.

#環論の知識 #素イデアル (prime ideal) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0… 素数(素元)の概念の拡張として デデキントにより導入された. #可換環 Rの #イデアル P(≠R)が a, b ∈R, ab ∈P ⇒ a∈P または b∈P を満たすなら Pは素イデアル. 素数pの倍数全体が成すイデアルpZは素イデアル.

#環論の知識 #イデアル の #根基 (Radical of an ideal) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4… イデアル I の根基とは 「イデアルであって 何乗かすれば I の元となるような元全体の集合」 のこと. #根基イデアル(radical ideal)とは 「自分自身の根基と等しいようなイデアル」 のこと.

#環論の知識 #正則局所環 (regular local ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3… ネーター #局所環 (A, m) であって #剰余体 k＝A/m について dim A ＝ dim_k (m / m^2) を満たす #環 のこと. #ネーター局所環 が #正則 であることと その #完備化 が正則であることは同値.

#環論の知識 #局所環 (local ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%80… ・ #代数多様体 や #可微分多様体 上で定義される関数の「局所的な振る舞い」を記述する. ・「#極大左イデアル を唯一つだけ持つ」などの性質を持つ. ・1938年に #ヴォルフガンク・クルル が導入

#環論の知識 #クルルの単項イデアル定理 の一般化： #クルルの高度定理 (Krull's height theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF… 「#ネーター環 の r 個の元で #生成 される #イデアル の #極小素因子 の高さは高々 r である.」

#環論の知識 #クルルの単項イデアル定理 (Krull's principal ideal theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF… #ネーター環 Aの #単項イデアル I の #極小素因子( I を含む #極小素イデアル)の 高さは1以下. 特にxを Aの #零因子 でも #単元 でもない元とすると xを含む極小素イデアルの高さは1.

#環論の知識 #クルルの定理 (Krull's theorem) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF… 「#零環 でない #環 は 少なくとも1つの #極大イデアル を持つ」. 1929年に #超限帰納法 で証明.

#環論の知識 #単項イデアル環 (Principal ideal ring) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… #環 R であって， すべての #右イデアル が ある x ∈ R に対し xR の形の #単項イデアル であるようなものを #単項右イデアル環 または #主右イデアル環 という. 左についても同様.

#環論の知識 #主イデアル整域 上の有限生成加群の構造定理 (Structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB… 「#有限生成加群 は 整数の素因数分解とほぼ同じように 一意的に分解する」. 行列の #標準形 の理解に役立つ.

#環論の知識 #主イデアル整域 (principal ideal domain, PID) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… ・単項イデアル整域とも. ・任意の #イデアル が #単項イデアル であるような #整域 のこと.

#環論の知識 Monomial ideal (#単項式イデアル) en.wikipedia.org/wiki/Monomial_… an ideal generated by monomials #単項式 のみにより #生成 された #イデアル. #グレブナー基底 について論じる際などに 必要になる概念. #単項イデアル(#主イデアル,principal ideal) とは異なるので注意.

#環論の知識 #極大イデアル (maximal ideal) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5… #環 R において R以外の #左イデアル で 集合の包含関係に関し極大なものが Rの #極大左イデアル. 別の言い方では 左イデアル I を真に含む左イデアルが Rしかない時 I はRの極大左イデアル. 右に関しても同じ.

#環論の知識 #主イデアル (principal ideal) ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%BB… #環 R のある単一の元により #生成 された R の #イデアル のこと. 単元生成されたイデアル. #単項イデアル とも呼ばれるが， #単項式イデアル とは別物なので注意.

#環論の知識 #標数 (characteristic) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99… #環 や #体 の特徴を表す0以上の整数. 環Rの乗法の #単位元 1を n回の加法演算で足し合わせた結果が 0(加法の単位元すなわち環の #零元)に等しい時 nの最小値をRの標数という. 何回足し合わせても0にならない場合 標数は0.

#環論の知識 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%98%87… ①#昇鎖条件 (ascending chain condition, ACC) 半順序集合で，真の上昇列が有限回で止まる. ②#降鎖条件 (descending chain condition, DCC) 半順序集合で，真の下降列が有限回で止まる. どちらも #代数的構造 が満たす有限性に関する性質.