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#解析力学_Lagrange形式編 56 朝倉書店「解析力学と相対論」(二間瀬2010) では, p44にて δq(t)=q~(t) - q(t)=ε(t) なる表記を導入. 計算は ε を中心に進め, ε の微分 ε̇ を #部分積分 で消している. が, δq̇=δ( dq/dt )=(d/dt)( δq )=dε/dt に関する説明は無い.
#解析力学_Lagrange形式編 55 裳華房「物理のための応用数学」(1988小野寺)では, p22で 微小量εと 任意関数η(t)の組み合わせで #変分 を定義した後, p25で ε・η(x)=δyの右辺が 標準的な記法である旨を紹介しているが, δy' の #部分積分 をどう扱うか という計算は載っていない.
#解析力学_Lagrange形式編 52 #部分積分 ∫u v' dx = [uv]_{a→b}-∫u' v dx により ∫{t_1→t_2} {+(∂L/∂q̇) (d/dt)(δq)} dt = ∫{t_1→t_2} {-(d/dt)(∂L/∂q̇) δq } dt と変形している箇所について… (d/dt) のかかる位置が まるでスーッと移動したかのように見えますね!
#解析力学_Lagrange形式編 50 #部分積分 の公式 u v'=(uv)'-u' v ∴ ∫uv' dx=[uv]_{a→b}-∫u' v dx を活用すると… ∫{t_1→t_2} (∂L/∂q̇) (d/dt)(δq) dt = [ (∂L/∂q̇) δq ]_{t_1→t_2} - ∫{t_1→t_2} { (d/dt)(∂L/∂q̇) } δq dt δq(t_1)=δq(t_2)=0より この第1項は0.
#解析力学_Lagrange形式編 34 dS/dε =∫{t_1→t_2} dL(q(t,ε),q̇(t,ε),t)/dε dt #全微分 =∫{t_1→t_2} {(∂L/∂q)h(t)+(∂L/∂q̇)(dh(t)/dt)} dt #部分積分 =∫{t_1→t_2} {(∂L/∂q)h(t)+{(d/dt)(∂L/∂q̇)}h(t)} dt 因数くくりだし =∫{t_1→t_2} h(t) {∂L/∂q+(d/dt)(∂L/∂q̇)} dt
#解析力学_Lagrange形式編 32 #部分積分 の公式: ∫u v' dx = uv-∫u' v dx これはつまり 「被積分関数 v の微分操作を消せる」という事. これを使えば, dS/dεの第2項 ∫{t_1→t_2} (∂L/∂q̇) (dh(t)/dt) dt を部分積分し dh(t)/dt という微分操作を消して h(t) に変形できる.
#解析力学_Lagrange形式編 31 一応,高校の #数III で習う #部分積分 の公式を導出しておこう. xを変数に持つ2つの関数 u(x), v(x) の積を微分すると (uv)' = u' v + u v' 両辺を x=aから x=bまで積分すると [uv]_{a→b}=∫u' v dx+∫u v' dx ∴ ∫u v' dx = [uv]_{a→b}-∫u' v dx
#解析力学_Lagrange形式編 56 朝倉書店「解析力学と相対論」(二間瀬2010) では, p44にて δq(t)=q~(t) - q(t)=ε(t) なる表記を導入. 計算は ε を中心に進め, ε の微分 ε̇ を #部分積分 で消している. が, δq̇=δ( dq/dt )=(d/dt)( δq )=dε/dt に関する説明は無い.
#解析力学_Lagrange形式編 55 裳華房「物理のための応用数学」(1988小野寺)では, p22で 微小量εと 任意関数η(t)の組み合わせで #変分 を定義した後, p25で ε・η(x)=δyの右辺が 標準的な記法である旨を紹介しているが, δy' の #部分積分 をどう扱うか という計算は載っていない.
#解析力学_Lagrange形式編 52 #部分積分 ∫u v' dx = [uv]_{a→b}-∫u' v dx により ∫{t_1→t_2} {+(∂L/∂q̇) (d/dt)(δq)} dt = ∫{t_1→t_2} {-(d/dt)(∂L/∂q̇) δq } dt と変形している箇所について… (d/dt) のかかる位置が まるでスーッと移動したかのように見えますね!
#解析力学_Lagrange形式編 50 #部分積分 の公式 u v'=(uv)'-u' v ∴ ∫uv' dx=[uv]_{a→b}-∫u' v dx を活用すると… ∫{t_1→t_2} (∂L/∂q̇) (d/dt)(δq) dt = [ (∂L/∂q̇) δq ]_{t_1→t_2} - ∫{t_1→t_2} { (d/dt)(∂L/∂q̇) } δq dt δq(t_1)=δq(t_2)=0より この第1項は0.
#解析力学_Lagrange形式編 34 dS/dε =∫{t_1→t_2} dL(q(t,ε),q̇(t,ε),t)/dε dt #全微分 =∫{t_1→t_2} {(∂L/∂q)h(t)+(∂L/∂q̇)(dh(t)/dt)} dt #部分積分 =∫{t_1→t_2} {(∂L/∂q)h(t)+{(d/dt)(∂L/∂q̇)}h(t)} dt 因数くくりだし =∫{t_1→t_2} h(t) {∂L/∂q+(d/dt)(∂L/∂q̇)} dt
#解析力学_Lagrange形式編 32 #部分積分 の公式: ∫u v' dx = uv-∫u' v dx これはつまり 「被積分関数 v の微分操作を消せる」という事. これを使えば, dS/dεの第2項 ∫{t_1→t_2} (∂L/∂q̇) (dh(t)/dt) dt を部分積分し dh(t)/dt という微分操作を消して h(t) に変形できる.
#解析力学_Lagrange形式編 31 一応,高校の #数III で習う #部分積分 の公式を導出しておこう. xを変数に持つ2つの関数 u(x), v(x) の積を微分すると (uv)' = u' v + u v' 両辺を x=aから x=bまで積分すると [uv]_{a→b}=∫u' v dx+∫u v' dx ∴ ∫u v' dx = [uv]_{a→b}-∫u' v dx
【新作】『部分積分を理解する』 定価:4,900円 ページ数:6ページ 販売期間:8/1~8/5 数IIIの基礎編。 Lecture→問題→Trainingの三段階で、素早く理解に導きます。 ご購入はこちらから forms.gle/f1o12WKqu9FnJq… #部分積分 #数III pic.twitter.com/XnAPn2SoFS