#微分方程式の基礎 25 Q. #クレロー の微分方程式で 「#包絡線」が出てきたが… ﾅﾆｿﾚ? A. 包絡線(ほうらくせん, envelope) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%85… 「与えられたすべての曲線族に接する曲線」 のことを包絡線という。 包絡線は，与えられたすべての曲線族と 接線を共有する。

#微分方程式の基礎 24 Q. #クレロー の微分方程式の 一般解と特殊解(特異解)の関係性 A. #一般解(Cを含む)の作る曲線群の #包絡線 が #特異解 の曲線(Cを含まない)となっている. 特異解は一般解の包絡線。 ※この場合 特殊解ではなく特異解(singular solution) と呼び分けることも多い

#微分方程式の基礎 23 Q. #クレロー の微分方程式の 一般解と特殊解とは A. Clairaut's equation ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF… 任意定数を含む y＝Cx＋f(C) が #一般解 x＋f '＝0から得られる 任意定数を含まないx,yの関係式は， 一般解のCをどう定めても得られないので #特殊解(#特異解)

#微分方程式の基礎 22 1階・常微分方程式のパターン 「#クレロー の微分方程式」 ▶形式 y= x y'＋f( y' ) ☆ ▶解法 両辺微分 y'=y'＋xy''＋y'' f ' ↓ y'' (x＋f ' )=0 ①y''=0 なら y'=Cと☆よりy=Cx＋f(C) ②x＋f ' ( y' )=0 なら ☆と連立させy'を消去しx,yの関係式を得る

#微分方程式の基礎 21 Q. #不完全微分 方程式 Pdx＋Qdy＝0 の #積分因子 λが， xのみの関数でも yのみの関数でも y/xのみの関数でもなかった場合は どうするか A. λ＝x^m y^n とおいて #完全微分 形の条件 ∂( λP ) / ∂y ＝ ∂( λQ ) / ∂x に代入し 両辺のm,nを比較して λ を決定する

#微分方程式の基礎 20 Q. #不完全微分 方程式 Pdx＋Qdy＝0 の #積分因子 λ が xのみの関数でも yのみの関数でもなかった場合 次に試すこと… λがy/xのみの関数 λ( y/x ) である条件は A. physnotes.jp/diffeq/int_fac… (∂P/∂y－∂Q/∂x)・x^2 / ( xP＋yQ ) がy/xのみの関数であればよい.

#微分方程式の基礎 19 Q. #不完全微分 方程式 Pdx＋Qdy＝0 の #積分因子 λ が xまたはyのみの関数である条件 A. batapara.com/archives/integ… ・λが x のみの関数 λ(x) なら (∂P/∂y－∂Q/∂x)/Q が x のみの関数 ・λ が y のみの関数 λ(y) なら (∂Q/∂x－∂P/∂y)/P が y のみの関数

#微分方程式の基礎 18 1階・常微分方程式のパターン 「#不完全微分 方程式」 ▶形式: P( x, y ) dx ＋ Q( x, y ) dy ＝ 0 かつ ∂P/∂y ≠ ∂Q/∂x ▶解き方: 適切な #積分因子 μ( x, y ) をかけて ∂( μP ) / ∂y ＝ ∂( μQ ) / ∂x を成立させ， #完全微分 方程式に変形する。

#微分方程式の基礎 16 Q. ある微分方程式 P(x,y)dx＋Q(x,y)dy＝0 が #完全微分 形である事と 条件 ∂P/∂y＝∂Q/∂x との同値性を示せ A. 下記URLに証明有り. 完全微分形の #一般解 の求め方 physnotes.jp/diffeq/ede/#%E… #シュワルツの定理 を使う. ∂^2 U / ∂x∂y ＝ ∂^2 U / ∂y∂x

#微分方程式の基礎 15 Q. #完全微分 形 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 かつ ∂P/∂y=∂Q/∂x を解く手順 A. #全微分 形なので P=∂U/∂x…① Q=∂U/∂y…② ①を積分し U＝∫Pdx＋C(y)…③ ③を②に代入 Q－(∂/∂y)∫Pdx＝(∂/∂y)C(y)…④ ④をyで積分してC(y)を得 ③に代入してU(x,y)を得る

#微分方程式の基礎 14 1階・常微分方程式のパターン 「#完全微分 方程式」 ▶形式 P( x, y ) dx ＋ Q( x, y ) dy ＝ 0 かつ ∂P/∂y＝∂Q/∂x ▶解き方 ある U( x, y ) の #全微分 が dU＝Pdx＋Qdy＝0 なので U( x, y )＝C が #一般解. ▶参考 全微分のことを完全微分とも呼ぶ.

#微分方程式の基礎 13 Q. #リッカチ型 の微分方程式 特徴は A. Riccati's differential equation ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… #真性特異点 を持たない1階の常微分方程式として理論上重要 一般解を初等関数により代数的に #求積法 で解く事は一般にできない事が #リウヴィル により証明済

#微分方程式の基礎 12 1階・常微分方程式のパターン 「#リッカチ型 の微分方程式」 ▶形式 dy/dx ＋ P(x) y^2 ＋ Q(x) y ＋ R(x)＝0 yの 0乗，1乗，2乗，1階微分 の項からなる. ▶解法 #特解 y_1 が既知であれば y＝z＋y_1 とおくと #ベルヌーイ型 になるので #一般解 を求められる

#微分方程式の基礎 11 1階・常微分方程式のパターン 「#ベルヌーイ型 の微分方程式」 ▶形式 dy/dx+P(x)y=Q(x)y^n ▶解法 両辺をy^nで割りy^(-n+1)=zとおけば1階線形となる ▶参考 Bernoulli differential equation en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli… #非線形 なのに厳密解を得られる点で特殊

#微分方程式の基礎 10 Q. 1階線形・非斉次の常微分方程式 dy/dx+P(x)y=Q(x) を #定数変化法 で解け A. #斉次 方程式 dy/dx+P(x)y=0 を #変数分離 で解くと #特解 は y=Cexp(-∫Pdx) CをC(x)に置き換え #非斉次 方程式に代入 C(x)=∫Qexp( ∫Pdx ) dx＋c #一般解 は y=C(x)exp(-∫Pdx)

#微分方程式の基礎 8 Q. 1階線形･#非斉次 の常微分方程式 dy/dx＋P(x) y＝Q(x) を積分因子法で解け A. 両辺にM(x)をかけ My'+MPy=MQ 左辺=(My)' と仮定すると (My)'=MQより My=∫ MQ dx でyが求まる. #積分因子 Mは (My)' =My'+M'y =My'+MPy より M'=MP →ln(M)=∫Pdx から求まる.

#微分方程式の基礎 6 Q. 「同次」かつ「斉次」であるような 微分方程式 A. dy/dx＋( 1/x ) y＝0 これは dy/dx＝f( y/x ) の形をしているから #同次 形の微分方程式であり #変数分離 で解ける. また この線形微分方程式は右辺が0で 全ての項に未知関数が含まれるから #斉次 である.

#微分方程式の基礎 5 Q. "同次"と"斉次"の違い A. 両方homogeneous(均質な)の訳語 #同次 形 dy/dx=f(y/x) 分母分子でxとyの次数が同じ(均質) #斉次 形 dy/dx+P(x)y=0 全項に未知函数を1つずつ含むという意味で均質 #非斉次 形 dy/dx+P(x)y=Q(x) 未知函数を含まない項があり非均質

#微分方程式の基礎 4 1階・常微分方程式のパターン 「1階線形･#非斉次」 (First-order, linear, inhomogeneous) ▶形式: dy/dx＋P(x) y＝Q(x) ▶解き方: 2通りある。 (1) 両辺に #積分因子 をかける (2) #定数変化法 ▶参考 線形微分作用素L＝d/dx＋P(x)で L y＝Q(x) と書ける。

#微分方程式の基礎 3 1階･常微分方程式のパターン 「1階線形 #斉次」 (First-order, linear, homogeneous) ▶形式 dy/dx＋P(x) y＝0 ▶解き方 #変数分離 ▶参考 yと, yの全ての導関数とについて高々1次であれば 線形微分方程式と呼ぶ. 線形微分作用素L=d/dx+P(x)で L y=0 と書ける.

#微分方程式の基礎 2 1階・常微分方程式のパターン 「#同次 形」(First-order, homogeneous) ▶形式： dy / dx＝f( y / x ) ▶解き方： y/x＝z とおくと →y＝zx →dy/dx＝d(zx)/dx＝f(z) xとzの #変数分離 形となる。

#微分方程式の基礎 1 1階・常微分方程式のパターン 「#変数分離 形」(separation of variables) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89… ▶形式： dy / dx＝f(x) g(y) ▶解き方： 両辺に変数を分離・整理し dy / g(y)＝f(x) dx この両辺を積分すればよい。 積分定数 ＋C を忘れずに。