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#微分方程式の基礎 26 Q. #包絡線 の求め方 A. hooktail.sub.jp/mathInPhys/env… #陰関数 f(x,y,c)=0 で パラメータcを変化させた時に得られるx,yの関係式が 曲線族を与え この曲線族の全てに接する曲線が包絡線. f(x,y,c)=0 ∂f/∂c=0 の2式を連立させ cを消去したx,yの関係式が包絡線となる
#微分方程式の基礎 25 Q. #クレロー の微分方程式で 「#包絡線」が出てきたが… ナニソレ? A. 包絡線(ほうらくせん, envelope) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%85… 「与えられたすべての曲線族に接する曲線」 のことを包絡線という。 包絡線は,与えられたすべての曲線族と 接線を共有する。
#微分方程式の基礎 20 Q. #不完全微分 方程式 Pdx+Qdy=0 の #積分因子 λ が xのみの関数でも yのみの関数でもなかった場合 次に試すこと… λがy/xのみの関数 λ( y/x ) である条件は A. physnotes.jp/diffeq/int_fac… (∂P/∂y-∂Q/∂x)・x^2 / ( xP+yQ ) がy/xのみの関数であればよい.
#微分方程式の基礎 19 Q. #不完全微分 方程式 Pdx+Qdy=0 の #積分因子 λ が xまたはyのみの関数である条件 A. batapara.com/archives/integ… ・λが x のみの関数 λ(x) なら (∂P/∂y-∂Q/∂x)/Q が x のみの関数 ・λ が y のみの関数 λ(y) なら (∂Q/∂x-∂P/∂y)/P が y のみの関数
#微分方程式の基礎 17 ▶#完全微分 方程式 Exact(or total)differential equation en.wikipedia.org/wiki/Exact_dif… dF=0の解は #ポテンシャル関数 potential function ▶#不完全微分 方程式 Inexact differential equation en.wikipedia.org/wiki/Inexact_d… #積分因子 で解ける事をオイラー(1739)が証明
#微分方程式の基礎 11 1階・常微分方程式のパターン 「#ベルヌーイ型 の微分方程式」 ▶形式 dy/dx+P(x)y=Q(x)y^n ▶解法 両辺をy^nで割りy^(-n+1)=zとおけば1階線形となる ▶参考 Bernoulli differential equation en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli… #非線形 なのに厳密解を得られる点で特殊
#微分方程式の基礎 7 Q. #積分因子 とは A. 積分因子(integrating factor) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D… かける事で #不完全微分 から #完全微分 を得るもの. 完全微分(exact differential, perfect differential) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C… ある式が適当な可微分函数Qの微分dQとなること
#微分方程式の基礎 1 1階・常微分方程式のパターン 「#変数分離 形」(separation of variables) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89… ▶形式: dy / dx=f(x) g(y) ▶解き方: 両辺に変数を分離・整理し dy / g(y)=f(x) dx この両辺を積分すればよい。 積分定数 +C を忘れずに。