#微分方程式の基礎 10 Q. 1階線形・非斉次の常微分方程式 dy/dx+P(x)y=Q(x) を #定数変化法 で解け A. #斉次 方程式 dy/dx+P(x)y=0 を #変数分離 で解くと #特解 は y=Cexp(-∫Pdx) CをC(x)に置き換え #非斉次 方程式に代入 C(x)=∫Qexp( ∫Pdx ) dx＋c #一般解 は y=C(x)exp(-∫Pdx)

#微分方程式の基礎 9 Q. #定数変化法 とは A. 係数変化法variation of parameters 定数変化法variation of constants ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A… 線型 #非斉次 な常微分方程式の #一般解 を得るため まず #斉次 方程式の解を得て #特解 とし 特解の定数係数Cを未知函数C(x)に置き換え立式

#微分方程式の基礎 8 Q. 1階線形･#非斉次 の常微分方程式 dy/dx＋P(x) y＝Q(x) を積分因子法で解け A. 両辺にM(x)をかけ My'+MPy=MQ 左辺=(My)' と仮定すると (My)'=MQより My=∫ MQ dx でyが求まる. #積分因子 Mは (My)' =My'+M'y =My'+MPy より M'=MP →ln(M)=∫Pdx から求まる.

#微分方程式の基礎 5 Q. "同次"と"斉次"の違い A. 両方homogeneous(均質な)の訳語 #同次 形 dy/dx=f(y/x) 分母分子でxとyの次数が同じ(均質) #斉次 形 dy/dx+P(x)y=0 全項に未知函数を1つずつ含むという意味で均質 #非斉次 形 dy/dx+P(x)y=Q(x) 未知函数を含まない項があり非均質

#微分方程式の基礎 4 1階・常微分方程式のパターン 「1階線形･#非斉次」 (First-order, linear, inhomogeneous) ▶形式: dy/dx＋P(x) y＝Q(x) ▶解き方: 2通りある。 (1) 両辺に #積分因子 をかける (2) #定数変化法 ▶参考 線形微分作用素L＝d/dx＋P(x)で L y＝Q(x) と書ける。