#微分方程式の基礎 24 Q. #クレロー の微分方程式の 一般解と特殊解(特異解)の関係性 A. #一般解(Cを含む)の作る曲線群の #包絡線 が #特異解 の曲線(Cを含まない)となっている. 特異解は一般解の包絡線。 ※この場合 特殊解ではなく特異解(singular solution) と呼び分けることも多い

#微分方程式の基礎 23 Q. #クレロー の微分方程式の 一般解と特殊解とは A. Clairaut's equation ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF… 任意定数を含む y＝Cx＋f(C) が #一般解 x＋f '＝0から得られる 任意定数を含まないx,yの関係式は， 一般解のCをどう定めても得られないので #特殊解(#特異解)

#微分方程式の基礎 16 Q. ある微分方程式 P(x,y)dx＋Q(x,y)dy＝0 が #完全微分 形である事と 条件 ∂P/∂y＝∂Q/∂x との同値性を示せ A. 下記URLに証明有り. 完全微分形の #一般解 の求め方 physnotes.jp/diffeq/ede/#%E… #シュワルツの定理 を使う. ∂^2 U / ∂x∂y ＝ ∂^2 U / ∂y∂x

#微分方程式の基礎 14 1階・常微分方程式のパターン 「#完全微分 方程式」 ▶形式 P( x, y ) dx ＋ Q( x, y ) dy ＝ 0 かつ ∂P/∂y＝∂Q/∂x ▶解き方 ある U( x, y ) の #全微分 が dU＝Pdx＋Qdy＝0 なので U( x, y )＝C が #一般解. ▶参考 全微分のことを完全微分とも呼ぶ.

#微分方程式の基礎 12 1階・常微分方程式のパターン 「#リッカチ型 の微分方程式」 ▶形式 dy/dx ＋ P(x) y^2 ＋ Q(x) y ＋ R(x)＝0 yの 0乗，1乗，2乗，1階微分 の項からなる. ▶解法 #特解 y_1 が既知であれば y＝z＋y_1 とおくと #ベルヌーイ型 になるので #一般解 を求められる

#微分方程式の基礎 10 Q. 1階線形・非斉次の常微分方程式 dy/dx+P(x)y=Q(x) を #定数変化法 で解け A. #斉次 方程式 dy/dx+P(x)y=0 を #変数分離 で解くと #特解 は y=Cexp(-∫Pdx) CをC(x)に置き換え #非斉次 方程式に代入 C(x)=∫Qexp( ∫Pdx ) dx＋c #一般解 は y=C(x)exp(-∫Pdx)

#微分方程式の基礎 9 Q. #定数変化法 とは A. 係数変化法variation of parameters 定数変化法variation of constants ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A… 線型 #非斉次 な常微分方程式の #一般解 を得るため まず #斉次 方程式の解を得て #特解 とし 特解の定数係数Cを未知函数C(x)に置き換え立式