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#3次元・極座標のラプラシアン導出 44 ↑P = (x,y,z) をxy平面に #射影 したものが ↑P ' = (x,y) である事を思い出そう. 「↑P ' とx軸のなす角が φ だ」 と決めたのだから, cos φ = x / | ↑P ' | = x / √(x^2+y^2) φをx,yで表せた! または tan φ = y / x ←こっちのがシンプル
#3次元・極座標のラプラシアン導出 37 1つ疑問。 ↑P=( x,y,z ) を xy平面上に #射影 し ↑P '=(x,y) を作る時, どうしてあえて 「↑Pとz軸のなす角」を θ とおき z = r cosθ としたのか? かわりに 「↑Pとxy平面のなす角」を θ ' とおき z = r sin θ ' とするのはダメなのか?
#3次元・極座標のラプラシアン導出 35 ↑P=(x,y,z) と その #射影 ↑P '= (x,y) の関係は r sinθ = r ' ① r cosθ = z ② xy平面上で ↑P ' を表わす極座標は r ' cosφ = x ③ r ' sinφ = y ④ ①を③④に代入すれば r sinθ cosφ = x r sinθ sinφ = y これと②で極座標完成!
#3次元・極座標のラプラシアン導出 34 ↑P=(x,y,z) をxy平面上に #射影(投影)した ↑P ' について… その大きさ r ' は r '=√(x^2+y^2) であり, xy平面上でx軸からの角度を φ(ファイ)とおけば r ' cos φ = x r ' sin φ = y が成り立つ. ↑ これは見慣れた #2次元 の #極座標!
#3次元・極座標のラプラシアン導出 33 ベクトル ↑P=(x,y,z) の大きさを | ↑P |=r=√(x^2+y^2+z^2) ↑P がz軸となす角をθとおけば ↑P がxy平面上になす #射影 ↑P ' の大きさは | ↑P ' |=r '=√(x^2+y^2) θの定義より r sinθ=r ' r cosθ=z xy平面上の世界に持ち込めた!
#3次元・極座標のラプラシアン導出 44 ↑P = (x,y,z) をxy平面に #射影 したものが ↑P ' = (x,y) である事を思い出そう. 「↑P ' とx軸のなす角が φ だ」 と決めたのだから, cos φ = x / | ↑P ' | = x / √(x^2+y^2) φをx,yで表せた! または tan φ = y / x ←こっちのがシンプル
#3次元・極座標のラプラシアン導出 37 1つ疑問。 ↑P=( x,y,z ) を xy平面上に #射影 し ↑P '=(x,y) を作る時, どうしてあえて 「↑Pとz軸のなす角」を θ とおき z = r cosθ としたのか? かわりに 「↑Pとxy平面のなす角」を θ ' とおき z = r sin θ ' とするのはダメなのか?
#3次元・極座標のラプラシアン導出 35 ↑P=(x,y,z) と その #射影 ↑P '= (x,y) の関係は r sinθ = r ' ① r cosθ = z ② xy平面上で ↑P ' を表わす極座標は r ' cosφ = x ③ r ' sinφ = y ④ ①を③④に代入すれば r sinθ cosφ = x r sinθ sinφ = y これと②で極座標完成!
#3次元・極座標のラプラシアン導出 34 ↑P=(x,y,z) をxy平面上に #射影(投影)した ↑P ' について… その大きさ r ' は r '=√(x^2+y^2) であり, xy平面上でx軸からの角度を φ(ファイ)とおけば r ' cos φ = x r ' sin φ = y が成り立つ. ↑ これは見慣れた #2次元 の #極座標!
#3次元・極座標のラプラシアン導出 33 ベクトル ↑P=(x,y,z) の大きさを | ↑P |=r=√(x^2+y^2+z^2) ↑P がz軸となす角をθとおけば ↑P がxy平面上になす #射影 ↑P ' の大きさは | ↑P ' |=r '=√(x^2+y^2) θの定義より r sinθ=r ' r cosθ=z xy平面上の世界に持ち込めた!
#3次元・極座標のラプラシアン導出 44 ↑P = (x,y,z) をxy平面に #射影 したものが ↑P ' = (x,y) である事を思い出そう. 「↑P ' とx軸のなす角が φ だ」 と決めたのだから, cos φ = x / | ↑P ' | = x / √(x^2+y^2) φをx,yで表せた! または tan φ = y / x ←こっちのがシンプル
#3次元・極座標のラプラシアン導出 37 1つ疑問。 ↑P=( x,y,z ) を xy平面上に #射影 し ↑P '=(x,y) を作る時, どうしてあえて 「↑Pとz軸のなす角」を θ とおき z = r cosθ としたのか? かわりに 「↑Pとxy平面のなす角」を θ ' とおき z = r sin θ ' とするのはダメなのか?
#3次元・極座標のラプラシアン導出 35 ↑P=(x,y,z) と その #射影 ↑P '= (x,y) の関係は r sinθ = r ' ① r cosθ = z ② xy平面上で ↑P ' を表わす極座標は r ' cosφ = x ③ r ' sinφ = y ④ ①を③④に代入すれば r sinθ cosφ = x r sinθ sinφ = y これと②で極座標完成!
#3次元・極座標のラプラシアン導出 34 ↑P=(x,y,z) をxy平面上に #射影(投影)した ↑P ' について… その大きさ r ' は r '=√(x^2+y^2) であり, xy平面上でx軸からの角度を φ(ファイ)とおけば r ' cos φ = x r ' sin φ = y が成り立つ. ↑ これは見慣れた #2次元 の #極座標!
#3次元・極座標のラプラシアン導出 33 ベクトル ↑P=(x,y,z) の大きさを | ↑P |=r=√(x^2+y^2+z^2) ↑P がz軸となす角をθとおけば ↑P がxy平面上になす #射影 ↑P ' の大きさは | ↑P ' |=r '=√(x^2+y^2) θの定義より r sinθ=r ' r cosθ=z xy平面上の世界に持ち込めた!
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#3次元・極座標のラプラシアン導出 37 1つ疑問。 ↑P=( x,y,z ) を xy平面上に #射影 し ↑P '=(x,y) を作る時, どうしてあえて 「↑Pとz軸のなす角」を θ とおき z = r cosθ としたのか? かわりに 「↑Pとxy平面のなす角」を θ ' とおき z = r sin θ ' とするのはダメなのか?
#3次元・極座標のラプラシアン導出 35 ↑P=(x,y,z) と その #射影 ↑P '= (x,y) の関係は r sinθ = r ' ① r cosθ = z ② xy平面上で ↑P ' を表わす極座標は r ' cosφ = x ③ r ' sinφ = y ④ ①を③④に代入すれば r sinθ cosφ = x r sinθ sinφ = y これと②で極座標完成!
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#3次元・極座標のラプラシアン導出 33 ベクトル ↑P=(x,y,z) の大きさを | ↑P |=r=√(x^2+y^2+z^2) ↑P がz軸となす角をθとおけば ↑P がxy平面上になす #射影 ↑P ' の大きさは | ↑P ' |=r '=√(x^2+y^2) θの定義より r sinθ=r ' r cosθ=z xy平面上の世界に持ち込めた!