＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「素粒子の超弦理論」(2005江口) p2より: 『#双対性 は もともと #電磁気学 で #電気･#磁気 の #入れ替え に関する #対称性 を意味するが #非可換ゲージ理論 では (#電荷 を持つ)#素粒子 と (#磁荷 を持つ)#ソリトン の 入れ替えに関する 対称性を意味する.』

＜#物理数学の参考書＞ SGCライブラリ 「共形場理論 現代数理物理の基礎として」(2011) p20より: 『#自由場 の場合と異なり #相互作用 があると #相関関数 を厳密に 求める事は非常に難しく， #摂動論 等の #近似 で計算. 理論が高い #対称性 をもつ場合 相関関数の形が決まる場合がある.』

＜#解析力学の参考書＞ 岩波講座・物理の世界 力学2 「対称性と保存則」 (岩波書店2004佐藤) iwanami.co.jp/book/b530005.h… 『本冊は姉妹編である 「#運動 と #力学」を承けて， #一般化 された #力学形式 をもとに #現代物理 を貫く #基本概念 「#対称性 と #保存則」の 関係を示す。』

#解析力学_保存量と対称性編 19 Q. #ネーターの定理 と #第一積分 との関係 A. ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8B… ネーターの定理によれば 「#ラグランジュ形式 または #ハミルトン形式 の物理系に関し， 系の1つの連続的な #対称性 に付随して 1つの #第一積分 が存在する.」

＜#量子論の参考書＞ 別冊・数理科学 「場の量子論の拡がり 現代からみた種々相」(2006) p7より引用: 『#対称性 が #自発的 に破れると #ゲージ場 が #質量 を #獲得 する #ヒッグス機構 が #発見 され， #弱い力 や #強い力 に #ゲージ理論 を用いることが できるようになった。』

＜#量子論の参考書＞ 「場の量子論の拡がり 現代からみた種々相」(サイエンス社2006) p7より: 『#場の量子論 では #対称性 が #自発的 に 破れる可能性があることが #1961年 に #南部陽一郎 によって 提唱された. これにより，色々な #真空 があり 豊富な現象が起こり得る事がわかった.』

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「Dブレーン」(東大出版2006橋本) p42より引用: 『大きな #ゲージ対称性 において #ヒッグス機構 を用い， #標準模型 のゲージ対称性まで #対称性 を #自発的 に破り， 標準模型をすべて #再現 する… というのが #大統一理論 (Grand Unified Theory)の試み.』

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(2015江口・菅原) p229より: 『#超共形対称性 (#超共形不変性)とは， #共形変換 を 「#超対称変換 を 含むように拡大」した #超共形代数 に対する #対称性 であり， そのような対称性を 持つ #理論 が #超共形場理論 である。』 ゲシュタルト崩壊！！

＜#解析力学の参考書＞ SGCライブラリ 「現代物理のための解析力学」(2006) 前書きより: 『#対称性 という #幾何学的 概念を テキスト全体で強調. #電磁気力 と #重力 を 記述する #作用 は， 対称性を 指導原理として構成する. 対称性を記述する言葉として #微分形式 や #テンソル解析…』

#解析力学_保存量と対称性編 11 Q. #対称性 と #保存則 のセットを 思いつく限り挙げよ A. 下記URLに一覧表がある. 「保存則と対称性」 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… 例: ・時間並進に対するエネルギー保存 ・空間並進に対する運動量保存 ・空間回転に対する角運動量保存 などなど

#解析力学_保存量と対称性編 10 Q. #解析力学 における #ネーターの定理 の結論を簡潔に述べよ A. Noether's theorem ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D… 系に連続的な #対称性 がある場合 その対称性に対応する #保存則 が存在する. つまり，必ず 何らかの物理量が 時間によらず一定値をとる(#保存量).

#解析力学_保存量と対称性編 9 Q. #対称性 を記述する数学とは. A. 保存則と対称性(Conservation laws and symmetry) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE… "物理的対称性を記述する変換は #群. #群論 は物理学のための数学として重要. 連続的対称性は #連続群(#リー群)によって数学的に規定される."

#解析力学_保存量と対称性編 8 Q. #解析力学 では #対称性 があれば #運動方程式 は変化しない. なぜそう言えるか A. #最小作用の原理 より 系の運動方程式は #作用 Sの変分 δS を0とおく事で導出される. #対称性 を持つ変換は 作用Sを不変に保ち 作用の変分δSも0のままで 運動方程式は不変.

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「Dブレーン」(東大出版2006) p28より: 『A_μ (x) → A_μ (x)＋∂_μ Λ(x) での #不変性 を #ゲージ対称性 と呼ぶ. この #対称性 は #任意関数 Λ(x) に対するものなので #縛り(#理論 への #制限)が #非常に強い ため #作用 を規定する #指導原理 になりうる.』

#解析力学_保存量と対称性編 6 Q. #循環座標 は常に存在し #保存量(#第一積分)を導出することが常に可能? A. 座標系の取り方に依存するので 循環座標は常に存在するとは限らない. しかし #時空 の #対称性 により ①#エネルギー ②#運動量 ③#角運動量 の3つは任意の力学系で常に保存量.

#解析力学_保存量と対称性編 5 Q. #循環座標(cyclic coordinates)って なぜ「循環」というネーミングなのか A. #対称性 が有って #保存則 を生み出す意だろう. 極座標でθが循環座標なら 角度変化の対称性があり 円周上を回って循環・巡回するイメージ. #群論 では cyclic group=「#巡回群」.

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「Dブレーン」(東大出版2006橋本) p24より: 『1＋1次元の φ^4 模型の #対称性 が破れるには この #理論 がまず #タキオン(tachyon)という #光速 を超える #速度 を持つ #粒子 を 見かけ上持っていなければならない. 対称性が破れると タキオンは消えうせる.』

＜#代数学の参考書＞ 「群と表現」(1996吉川) p5より 『空間の性質に関連しなくても 物理系の構成要素の数により 高次の #群 が応用される. #量子力学系 では その #力学系 特有の #対称性 が 隠れて存在している場合もある. これらの事情で一般の #コンパクト単純リー群 の #表現論 を…』

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原) p79より: 『重要な #共形場 の理論である #ウェス・ズミノ・ウィッテン模型 (#WZW模型)は #共形不変性 に加え #カレント代数 の #対称性 も持ち 応用が広い. #弦理論 では カレント代数は #時空 の #ゲージ対称性 を記述.』

#解析力学_Hamilton形式編 51 Anticommutative property (#反可換 の性質) en.wikipedia.org/wiki/Anticommu… f( x, y ) ＝ － f( y, x ) 数物系の文脈で， #対称性(symmetry)が関心事である時 上記の性質をantisymmetric(#反対称的)ともいう.

＜#代数学の参考書＞ 「群と表現」(1996吉川) 序章p4より: 『#古典力学 では n個の #粒子 を #入れかえ る n次 #対称群 S_n で #力学系 の #性質 が #特徴 づけられるが， #量子力学 では SU(n) や SO(n) と呼ばれる #連続群 の #対称性 をもつ 力学系が生じる。 例えば #クォーク模型…』

#対称性 の #美しさ #上下対称――#ウォーキング の #楽しみの一つです―― kokoro2016.cocolog-nifty.com/blog/2024/05/p…

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原) p15より引用: 『#場の量子論 では， #対称性 の情報は #ワード高橋恒等式 (Ward-Takahashi identity; WT identity) に翻訳される。 特に2次元の #共形場理論 では 多くの重要な公式が ワード高橋恒等式のみから導かれる。』

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」 (岩波書店2015江口・菅原) p13より引用: 『#理論 にさらに #ワイル変換 に対する #対称性(＝#ワイル不変性) があると， 理論の対称性は #共形変換群 にまで #拡大 する。 　「#共形不変 な理論 　　≅ 　　#ワイル不変 な理論」 と考えてよい。』

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原) p12より: 『#場の理論 で #対称性 を論じるには， #ネーター・カレント が 重要な役割を果たす。 #共形変換 は #時空 の #微分同相 の一部だから， ネーター・カレントとして働くのは #エネルギー運動量テンソル である。』

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「弦とブレーン」(2017) p203より: 『d次元 #共形場理論 と AdS_{d+1}上の #重力理論 の #対称性 は #一致 するため， このような対の間には #量子論的 な #等価関係 が 幅広く成り立つと #予想 される. #ホログラフィー と呼ばれる #対応関係 の #具体例…』

＜#素粒子と原子核の本＞※一般向け読み物 「標準模型の宇宙 現代物理の金字塔を楽しむ」(2009) 『#自然界 の基本的な力は 単純で #美しい 対称性に従う とする #ゲージ理論. 方程式の持つ #対称性 が 単純で美しい物である 可能性を追求する事で #相互作用 を表す項を 導き出してしまう.』

＜#素粒子と原子核の本＞※一般向け読み物 「標準模型の宇宙 現代物理の金字塔を楽しむ」(日経BP2009) 『#本邦初 の #ゲージ理論 と #標準模型 の やさしい #入門書。 ゲージ理論は #抽象的 な #対称性 の #議論 から #現実 の #相互作用 の #ありかた を導き出すという #驚くべき 理論。』

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「弦とブレーン」(朝倉書店2017細道) p150より: 『#標的空間 の #反転 と #弦 の #向きづけ反転 を合わせた #対称性 Ω̃ で #弦理論 を割る #操作 を一般に #オリエンティフォルド※と呼ぶ。』 ※Orientifold en.wikipedia.org/wiki/Orientifo… ・日本語版ページは無い

＜#物理数学の参考書＞ 「共形場理論」(岩波書店2015江口・菅原) p1より引用: 『#量子力学 や #素粒子物理学 では さまざまな #対称性 を表わす #リー代数 が活躍するが， #共形場理論 においては #ビラソロ代数 が より「#支配的」な役割を果たす と言ってもよいであろう。』

#群論の知識 #点群 (point group) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%82%B9… 「ある図形の形を保ったまま行う 移動操作のうち， 少なくとも1つの #不動点 を持つもの」を 元とする #群. 結晶や分子 #対称性 を記述するため 3次元ユークリッド空間で考える事が多い.

＜#電磁気学の参考書＞ 「量子電磁力学を学ぶための電磁気学入門」 (2021高橋) 著者について: 高橋 康 (たかはし やすし) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98… ･1924～2013 ･#場の量子論 において #対称性 の原理を表現する #最も基本的 な関係式 「#Ward・高橋の恒等式」を 導出したことで知られる.

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「弦とブレーン」 (朝倉書店2017細道) honto.jp/netstore/pd-bo… p47より引用: 『#対称性 で互いに移り合う #計量 の #同値類(#ゲージ軌道) 各々につき #代表元 を1つ選び， 代表元についてのみの #積分 に留める。 この操作は #ゲージ固定 と呼ばれる。』

＜#素粒子と原子核の参考書＞ 「弦とブレーン」(朝倉書店2017細道) p28より: 『#量子論 の #対称性 は #経路積分 の #積分測度 𝒟X を #不変 に保たねばならない. 古典的 #作用 の対称性が 𝒟X を不変に保たない場合 その対称性は 量子論的には破れている， あるいは #アノマリー がある.』

#群論の知識 #点群 (point group) ja.wikipedia.org/wiki/%E7%82%B9… 「ある図形の形を保ったまま行う 移動操作のうち， 少なくとも1つの #不動点 を持つもの」を 元とする #群. 結晶や分子 #対称性 を記述するため 3次元ユークリッド空間で考える事が多い.

アレイ図とかけ算――非対称性と対称性 #掛算 #超算数 #算数 #算数教育 #かけ算の順序 #かけ算 #交換法則 #対称性 #非対称性 #アレイ図 #長方形 pic.twitter.com/A82Vr59eyO

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＜#解析力学の参考書＞ 「微分形式による解析力学　改訂増補版」 (吉岡出版1996木村・菅野) kinokuniya.co.jp/f/dsg-01-97848… 『本書の特色は #拘束条件 を持つ #特異Lagrange系 を 系統的に扱いうる Diracの理論を詳しく解説し 拘束条件と #ゲージ理論 や #対称性 との関係を つぶさに展開した所』

＜#代数学の参考書＞ 「見える！群論入門」(日本評論社2017𦚰) p50より引用: 『#軌道 x^Gを1つの #図形 と見ると Gの #元 による全ての #作用 で 不変となる #対称性 をもつ。 #万華鏡 の中に現れる対称模様は 万華鏡に潜んでいる #群 による 紙切れに対する #群作用 が作る軌道だった。』