#解析力学_Lagrange形式編 37 #停留値 を与える解 q_0 (t) を わずかに変形した曲線 q(t,ε)=q_0 (t)+ε・h(t) を考え [ dS/dε ]_{ε=0}＝0 を計算すると #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q+(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 を得る ↑ この計算過程を 「δ」という記号を使って 書き直してみよう！

#解析力学_Lagrange形式編 35 整理すると #汎関数 Sが #極値(#停留値)を持つには 『dS/dε =∫{t_1→t_2} h(t) { ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇) } dt★ にε=0を代入すると dS/dε=0』 ↑ この条件が 任意の h(t) に対し成り立つには， ★の { } 内が恒等的に0でなければならない. という事は…！

#解析力学_Lagrange形式編 24 ① #汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる. … ③ q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t)の時 [ dS/dε ]_{ε=0} ＝0 ①は積分形の式だが，問題を言い換え ③の #微分方程式 に変形できた. 次ツイから，③左辺の dS/dεを詳しく計算してみよう.

#解析力学_Lagrange形式編 23 未知関数 q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t) に対し 関数qと変数εを引数にとる #汎関数 S[q](ε)=∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt を定めるとき… ② S[q](ε)は ε=0すなわちq=q_0(t)の時に #極値(#停留値). ③ dS/dεにε=0を代入すると0になる. ②と③は同値.

#解析力学_Lagrange形式編 22 ① 未知関数q(t)に対し #汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる. ② 未知関数 q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t) に対し S[q]=∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt は ε=0(すなわちq=q_0(t))の時に 極値(停留値). ①と②は同値.

#解析力学_Lagrange形式編 20 題意の 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとるような 解である関数q(t)」 を q=q_0 (t) とおき q_0 (t) をわずかに変形した曲線として q(t)=q_0 (t)＋ε・h(t) を考える. εは微小量 h(t)は任意の曲線だがh(t_1)=h(t_2)=0を満たす.

#解析力学_Lagrange形式編 19 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる」★ ↑ ★は，物理学的には #ラグランジアン Lの時間積分という #作用汎関数 が最小値をとること. すなわち #最小作用の原理 に相当する. ★を変形し q(t)が満たす #微分方程式 を作るには?

#解析力学_Lagrange形式編 18 3つの引数をとる既知関数 L(q,q̇,t) がある. 未知関数q=q(t)を引数にとる #汎関数 S[q] として S[q]＝∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt を考える。 S[q] が #極値(#停留値)をとるような 関数q(t)を求めよ. (=そのようなq(t)が満たす #微分方程式 を作る手順を示せ.)

#解析力学_Lagrange形式編 38 #停留値 を与える解 q_0 (t) を わずかに変形した曲線 q(t,ε) ＝ q_0 (t) ＋ ε・h(t) ↑ δ を使い δq(t) ＝ ε・h(t) q(t) ＝ q_0 (t) ＋ δq(t) と書き改める. δは変分の演算子で 「の変分」 「をわずかに変化させる」 「スモールデルタ」 のように読む.

#解析力学_Lagrange形式編 37 #停留値 を与える解 q_0 (t) を わずかに変形した曲線 q(t,ε)=q_0 (t)+ε・h(t) を考え [ dS/dε ]_{ε=0}＝0 を計算すると #オイラー・ラグランジュ方程式 ∂L/∂q+(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 を得る ↑ この計算過程を 「δ」という記号を使って 書き直してみよう！

#解析力学_Lagrange形式編 35 整理すると #汎関数 Sが #極値(#停留値)を持つには 『dS/dε =∫{t_1→t_2} h(t) { ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇) } dt★ にε=0を代入すると dS/dε=0』 ↑ この条件が 任意の h(t) に対し成り立つには， ★の { } 内が恒等的に0でなければならない. という事は…！

#解析力学_Lagrange形式編 24 ① #汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる. … ③ q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t)の時 [ dS/dε ]_{ε=0} ＝0 ①は積分形の式だが，問題を言い換え ③の #微分方程式 に変形できた. 次ツイから，③左辺の dS/dεを詳しく計算してみよう.

#解析力学_Lagrange形式編 23 未知関数 q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t) に対し 関数qと変数εを引数にとる #汎関数 S[q](ε)=∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt を定めるとき… ② S[q](ε)は ε=0すなわちq=q_0(t)の時に #極値(#停留値). ③ dS/dεにε=0を代入すると0になる. ②と③は同値.

#解析力学_Lagrange形式編 22 ① 未知関数q(t)に対し #汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる. ② 未知関数 q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t) に対し S[q]=∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt は ε=0(すなわちq=q_0(t))の時に 極値(停留値). ①と②は同値.

#解析力学_Lagrange形式編 20 題意の 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとるような 解である関数q(t)」 を q=q_0 (t) とおき q_0 (t) をわずかに変形した曲線として q(t)=q_0 (t)＋ε・h(t) を考える. εは微小量 h(t)は任意の曲線だがh(t_1)=h(t_2)=0を満たす.

#解析力学_Lagrange形式編 19 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる」★ ↑ ★は，物理学的には #ラグランジアン Lの時間積分という #作用汎関数 が最小値をとること. すなわち #最小作用の原理 に相当する. ★を変形し q(t)が満たす #微分方程式 を作るには?

#解析力学_Lagrange形式編 18 3つの引数をとる既知関数 L(q,q̇,t) がある. 未知関数q=q(t)を引数にとる #汎関数 S[q] として S[q]＝∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt を考える。 S[q] が #極値(#停留値)をとるような 関数q(t)を求めよ. (=そのようなq(t)が満たす #微分方程式 を作る手順を示せ.)