#解析力学_Lagrange形式編 12 Q. #変分法 で #汎関数微分 とは A. 汎函数微分(functional derivative) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%8E… ・ふつうの微分: 関数の入力値が ちょっと変化した時の 出力値の変化. ・汎関数微分: #汎関数 の引数である入力関数が ちょっと変化した時の 出力値の変化.

#解析力学_Lagrange形式編 36 #汎関数 S の停留条件より dS/dε =∫{t_1→t_2} h(t) { ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇) } dt の { } 内が恒等的に0 ∴ ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 これが #変分法 で導出される #オイラー・ラグランジュ方程式 であり， 物理学とは無関係に成立する.

#解析力学_Lagrange形式編 35 整理すると #汎関数 Sが #極値(#停留値)を持つには 『dS/dε =∫{t_1→t_2} h(t) { ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇) } dt★ にε=0を代入すると dS/dε=0』 ↑ この条件が 任意の h(t) に対し成り立つには， ★の { } 内が恒等的に0でなければならない. という事は…！

#解析力学_Lagrange形式編 8 Q. #変分法 とは A. 変分法(calculus of variations, variational calculus) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89… #汎関数 の最大化や最小化の計算. 変分解析学. ある汎函数を最大・最小とするような「極値」函数 あるいは 汎函数の変化率を零とする「停留」函数を求める.

#解析力学_Lagrange形式編 7 Q. #汎関数 ↑ ぼんかんすう？ A. 【はんかんすう】。 凡　ぼん なみで，優れておらず凡庸でつまらないこと。 汎　はん 汎用的であり，限られておらず広くゆきわたること。 「凡(ぼん)関数」とタイプミスした人の一覧を見れます: x.com/search?q=%e5%8…

#解析力学_Lagrange形式編 6 Q. #汎関数 のもっとも簡単な例を挙げよ A. ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%8E… 定積分操作は汎関数である. 「実函数 f をある領域で積分し， ある実数(積分値)へ写す」という計算は ・入力: 関数 ・出力: 実数値(スカラー) より， 関数を引数に取る関数なので汎関数.

#解析力学_Lagrange形式編 5 Q. #汎関数 とは。 A. 汎関数(functional) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%8E… 関数の関数のこと。 函数の函数。 汎関数ではない通常の関数は 入力：スカラーやベクトル 出力：スカラーやベクトル 汎関数は，関数を引数にとり 入力：関数 出力：スカラーやベクトル

#解析力学_Lagrange形式編 25 未知関数 q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t) に対する #汎関数 S[q](ε)＝∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt ★ が満たす #微分方程式 は [ dS/dε ]_{ε=0} ＝0 であり， Sをεで微分する計算が必要. この計算を進めるには， ★の右辺より Lをεで微分する計算が必要.

#解析力学_Lagrange形式編 24 ① #汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる. … ③ q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t)の時 [ dS/dε ]_{ε=0} ＝0 ①は積分形の式だが，問題を言い換え ③の #微分方程式 に変形できた. 次ツイから，③左辺の dS/dεを詳しく計算してみよう.

#解析力学_Lagrange形式編 23 未知関数 q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t) に対し 関数qと変数εを引数にとる #汎関数 S[q](ε)=∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt を定めるとき… ② S[q](ε)は ε=0すなわちq=q_0(t)の時に #極値(#停留値). ③ dS/dεにε=0を代入すると0になる. ②と③は同値.

#解析力学_Lagrange形式編 22 ① 未知関数q(t)に対し #汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる. ② 未知関数 q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t) に対し S[q]=∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt は ε=0(すなわちq=q_0(t))の時に 極値(停留値). ①と②は同値.

#解析力学_Lagrange形式編 21 未知関数q(t)に 微小量εという 新たな自由度を表す変数を導入し q=q(t,ε)=q_0 (t)＋ε・h(t) とおくと L=L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) #汎関数 は S[q]＝∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt ここで Sは変数εに依存する量となったので Sをεで微分できる.

#解析力学_Lagrange形式編 20 題意の 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとるような 解である関数q(t)」 を q=q_0 (t) とおき q_0 (t) をわずかに変形した曲線として q(t)=q_0 (t)＋ε・h(t) を考える. εは微小量 h(t)は任意の曲線だがh(t_1)=h(t_2)=0を満たす.

#解析力学_Lagrange形式編 19 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる」★ ↑ ★は，物理学的には #ラグランジアン Lの時間積分という #作用汎関数 が最小値をとること. すなわち #最小作用の原理 に相当する. ★を変形し q(t)が満たす #微分方程式 を作るには?

#解析力学_Lagrange形式編 18 3つの引数をとる既知関数 L(q,q̇,t) がある. 未知関数q=q(t)を引数にとる #汎関数 S[q] として S[q]＝∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt を考える。 S[q] が #極値(#停留値)をとるような 関数q(t)を求めよ. (=そのようなq(t)が満たす #微分方程式 を作る手順を示せ.)

#解析力学_Lagrange形式編 16 Q. 一般的に，#変分法 で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. Euler–Lagrange equation ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#汎関数 の停留値を与える関数」 を求める #微分方程式. 一般的な汎関数に対し， オイラー・ラグランジュ方程式は 物理学と無関係に成立.

#解析力学_Lagrange形式編 12 Q. #変分法 で #汎関数微分 とは A. 汎函数微分(functional derivative) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%8E… ・ふつうの微分: 関数の入力値が ちょっと変化した時の 出力値の変化. ・汎関数微分: #汎関数 の引数である入力関数が ちょっと変化した時の 出力値の変化.

#解析力学_Lagrange形式編 8 Q. #変分法 とは A. 変分法(calculus of variations, variational calculus) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89… #汎関数 の最大化や最小化の計算. 変分解析学. ある汎函数を最大・最小とするような「極値」函数 あるいは 汎函数の変化率を零とする「停留」函数を求める.

#解析力学_Lagrange形式編 7 Q. #汎関数 ↑ ぼんかんすう？ A. 【はんかんすう】。 凡　ぼん なみで，優れておらず凡庸でつまらないこと。 汎　はん 汎用的であり，限られておらず広くゆきわたること。 「凡(ぼん)関数」とタイプミスした人の一覧を見れます: x.com/search?q=%e5%8…

#解析力学_Lagrange形式編 6 Q. #汎関数 のもっとも簡単な例を挙げよ A. ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%8E… 定積分操作は汎関数である. 「実函数 f をある領域で積分し， ある実数(積分値)へ写す」という計算は ・入力: 関数 ・出力: 実数値(スカラー) より， 関数を引数に取る関数なので汎関数.

#解析力学_Lagrange形式編 5 Q. #汎関数 とは。 A. 汎関数(functional) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%8E… 関数の関数のこと。 函数の函数。 汎関数ではない通常の関数は 入力：スカラーやベクトル 出力：スカラーやベクトル 汎関数は，関数を引数にとり 入力：関数 出力：スカラーやベクトル

#解析力学_Lagrange形式編 36 #汎関数 S の停留条件より dS/dε =∫{t_1→t_2} h(t) { ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇) } dt の { } 内が恒等的に0 ∴ ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇)＝0 これが #変分法 で導出される #オイラー・ラグランジュ方程式 であり， 物理学とは無関係に成立する.

#解析力学_Lagrange形式編 35 整理すると #汎関数 Sが #極値(#停留値)を持つには 『dS/dε =∫{t_1→t_2} h(t) { ∂L/∂q＋(d/dt)(∂L/∂q̇) } dt★ にε=0を代入すると dS/dε=0』 ↑ この条件が 任意の h(t) に対し成り立つには， ★の { } 内が恒等的に0でなければならない. という事は…！

#解析力学_Lagrange形式編 25 未知関数 q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t) に対する #汎関数 S[q](ε)＝∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt ★ が満たす #微分方程式 は [ dS/dε ]_{ε=0} ＝0 であり， Sをεで微分する計算が必要. この計算を進めるには， ★の右辺より Lをεで微分する計算が必要.

#解析力学_Lagrange形式編 24 ① #汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる. … ③ q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t)の時 [ dS/dε ]_{ε=0} ＝0 ①は積分形の式だが，問題を言い換え ③の #微分方程式 に変形できた. 次ツイから，③左辺の dS/dεを詳しく計算してみよう.

#解析力学_Lagrange形式編 23 未知関数 q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t) に対し 関数qと変数εを引数にとる #汎関数 S[q](ε)=∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt を定めるとき… ② S[q](ε)は ε=0すなわちq=q_0(t)の時に #極値(#停留値). ③ dS/dεにε=0を代入すると0になる. ②と③は同値.

#解析力学_Lagrange形式編 22 ① 未知関数q(t)に対し #汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる. ② 未知関数 q(t,ε)=q_0(t)＋ε・h(t) に対し S[q]=∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt は ε=0(すなわちq=q_0(t))の時に 極値(停留値). ①と②は同値.

#解析力学_Lagrange形式編 21 未知関数q(t)に 微小量εという 新たな自由度を表す変数を導入し q=q(t,ε)=q_0 (t)＋ε・h(t) とおくと L=L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) #汎関数 は S[q]＝∫{t_1→t_2} L( q(t,ε), q̇(t,ε), t ) dt ここで Sは変数εに依存する量となったので Sをεで微分できる.

#解析力学_Lagrange形式編 20 題意の 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとるような 解である関数q(t)」 を q=q_0 (t) とおき q_0 (t) をわずかに変形した曲線として q(t)=q_0 (t)＋ε・h(t) を考える. εは微小量 h(t)は任意の曲線だがh(t_1)=h(t_2)=0を満たす.

#解析力学_Lagrange形式編 19 「#汎関数 S[q]=∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt が #極値(#停留値)をとる」★ ↑ ★は，物理学的には #ラグランジアン Lの時間積分という #作用汎関数 が最小値をとること. すなわち #最小作用の原理 に相当する. ★を変形し q(t)が満たす #微分方程式 を作るには?

#解析力学_Lagrange形式編 18 3つの引数をとる既知関数 L(q,q̇,t) がある. 未知関数q=q(t)を引数にとる #汎関数 S[q] として S[q]＝∫{t_1→t_2} L(q,q̇,t) dt を考える。 S[q] が #極値(#停留値)をとるような 関数q(t)を求めよ. (=そのようなq(t)が満たす #微分方程式 を作る手順を示せ.)

#解析力学_Lagrange形式編 16 Q. 一般的に，#変分法 で #オイラー・ラグランジュ方程式 とは A. Euler–Lagrange equation ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA… 「#汎関数 の停留値を与える関数」 を求める #微分方程式. 一般的な汎関数に対し， オイラー・ラグランジュ方程式は 物理学と無関係に成立.

#解析力学_Lagrange形式編 12 Q. #変分法 で #汎関数微分 とは A. 汎函数微分(functional derivative) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%8E… ・ふつうの微分: 関数の入力値が ちょっと変化した時の 出力値の変化. ・汎関数微分: #汎関数 の引数である入力関数が ちょっと変化した時の 出力値の変化.

#解析力学_Lagrange形式編 8 Q. #変分法 とは A. 変分法(calculus of variations, variational calculus) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89… #汎関数 の最大化や最小化の計算. 変分解析学. ある汎函数を最大・最小とするような「極値」函数 あるいは 汎函数の変化率を零とする「停留」函数を求める.

#解析力学_Lagrange形式編 7 Q. #汎関数 ↑ ぼんかんすう？ A. 【はんかんすう】。 凡　ぼん なみで，優れておらず凡庸でつまらないこと。 汎　はん 汎用的であり，限られておらず広くゆきわたること。 「凡(ぼん)関数」とタイプミスした人の一覧を見れます: x.com/search?q=%e5%8…

#解析力学_Lagrange形式編 6 Q. #汎関数 のもっとも簡単な例を挙げよ A. ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%8E… 定積分操作は汎関数である. 「実函数 f をある領域で積分し， ある実数(積分値)へ写す」という計算は ・入力: 関数 ・出力: 実数値(スカラー) より， 関数を引数に取る関数なので汎関数.

#解析力学_Lagrange形式編 5 Q. #汎関数 とは。 A. 汎関数(functional) ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%8E… 関数の関数のこと。 函数の函数。 汎関数ではない通常の関数は 入力：スカラーやベクトル 出力：スカラーやベクトル 汎関数は，関数を引数にとり 入力：関数 出力：スカラーやベクトル