#群論入門_剰余類編 52 Q. #群 に #左剰余類 という概念を定義し #左合同 が #同値関係 であることを示すと 一体なにが嬉しいのか? A. 既に証明した通り， 「集合内に #同値律 を満たす #二項関係 を定義できる場合， その関係を使って 集合の #類別(#分割)を与えることができる」 から.

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#群論入門_剰余類編 40 Q. (1) 集合X内に 何らかの #同値関係 が存在する (2) 集合Xを #類 で #類別(#分割)できる (1)⇔(2) を示せ. A. 1⇒2: 同値関係があれば #同値類 で類別できる事を証明済. 2⇒1: 類別がある時 同じ類に属する事を #同値 とみなせば 同値関係となる事を証明済.

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#群論入門_剰余類編 39 Q. 集合Xのある #分割(#類別)において 「aとbは同じ #類 に属する」という #同値関係「a～b」を定める際 「～」が #同値律 の3定義を満たす事を示せ A. 元a,bが類Cに属する時 a～a a～b⇒b～a a～b,b～c⇒cもCに属するのでa～c ∴「～」は同値律の3定義を満たす.

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#群論入門_剰余類編 34 Q. #同値分割 とは. A. #同値関係「～」に基づく 集合X内の異なる #同値類 C_{a_1}, C_{a_2}, … がある時， X ＝ C_{a_1} ＋ C_{a_2} ＋ … という #類別(#分割)を #二項関係「～」によるXの同値分割と呼ぶ. この類別における #類 は 各同値類 C_{a_i} である.

#群論入門_剰余類編 33 Q. 集合 X の 異なる #同値類 全ての集合を C_{a_1}, C_{a_2}, … とする. X ＝ C_{a_1} ∪ C_{a_2} ∪ …　① が， 集合Xの #類別(#分割)である事を示せ. A. 各iについてC_{a_i}≠∅. 各i≠jについてC_{a_i}∩C_{a_j}＝∅. Xのどの元も各C_iのいずれかに属する.

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#群論入門_剰余類編 30 #同値類 (equivalence class) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C… "ある集合 S の元が #同値関係 として定式化される #同値 の概念を持つとき， 集合 S を同値類たちに 自然に #分割 できる."

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#群論入門_剰余類編 14 Q. 集合Aの #類別(#分割) A＝A_1＋A_2＋… の #完全代表系 とは A. 各 #類 A_i の #代表元 を 1つずつ任意に選び a_i とし， 代表元の集合 { a_1, a_2, … } を この類別の完全代表系と呼ぶ. 代表元の選び方は任意性があるので 完全代表系の作り方も任意性がある.

#群論入門_剰余類編 13 集合の #分割 (Partition of a set) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86… ・ある集合X全体を 互いに重ならない部分(ブロック，セル)に分けること ・集合Xの分割は 『「Xの空でない部分集合」(＝#類)の集合』. Xの個々の元xは 必ず1つの部分集合(＝類)にのみ属している.

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#群論入門_剰余類編 12 Q. #類別(#分割)において #類 の #代表元 の選び方に 任意性を仮定してよいのはなぜ? A. 類別において類同士に共通部分は無く， どんな代表元の選び方をしても 1つの代表元は必ず1つの類のみに属し， ある代表元がどの類を指す(代表する)か 重複や混同の恐れはない.

#群論入門_剰余類編 11 Q. 集合 A の #類別(#分割) A ＝ A_1 ＋ A_2 ＋ … において， 類 A_i の #代表元 とは A. ある1つの #類 A_i 内で 自由に選んだ1つの元 a_i を考える時， 元 a_i を 類 A_i の代表元という. 1つの類の中で 代表元の選び方は任意性がある. (どれを選んでもよい)