#線形代数入門 52 #対角行列 は #対角成分 をn乗するだけで 簡単に「#行列 のn乗」を計算可能。 また，対角行列でない場合でも 前ツイまでで見た通り #ジョルダン行列 はn乗の一般項を求められる。 さらに 「#ジョルダン細胞 で #ブロック対角化 された #行列」も n乗を計算しやすい。

#線形代数入門 51 #ジョルダン行列 のn乗 4次 #正方行列 で #対角成分 が2の場合… Simplify[ { {2,1,0,0}, {0,2,1,0}, {0,0,2,1}, {0,0,0,2} }^n ] wolframalpha.com/input?i=Simpli… 出力結果を見ると，#上三角行列 になり #対角成分 は 2^n 非対角成分も n の式で表せている。

#線形代数入門 50 #ジョルダン行列 のn乗 3次 #正方行列 で #対角成分 が2の場合… Simplify[ {{2,1,0}, {0,2,1}, {0,0,2}}^n ] wolframalpha.com/input?i=Simpli… 出力: (2^n | (2^(n-1)) n | (2^(n-3)) (n-1) n 0 | 2^n | (2^(n-1)) n 0 | 0 | 2^n)

#線形代数入門 49 #ジョルダン細胞(#ジョルダン行列) のn乗を求めてみよう。 2次 #正方行列 で， #対角成分 が2の場合… Simplify[ { { 2, 1 }, { 0, 2 } }^n ] wolframalpha.com/input?i=Simpli… 出力: (2^n | 2^(n - 1) n 0 | 2^n)

#線形代数入門 47 #行列 Aの #最小多項式 p(x) における #根 λ_i の「重複度」を n とし， ･#対角成分 を λ_i ･対角成分の「真上」の値を1 ･他の要素は0 …としたn次 #正方行列 が， #ジョルダン細胞 J_n( λ_i ) である。

#線形代数入門 43 #行列 を #対角化 できない場合， かわりに #ジョルダン標準形 を求めればよい という定石がある。 ジョルダン標準形とは #対角成分 として #ジョルダン細胞 をもち ほかの値が0であるような行列のこと。 #対角行列 と同じく 「n乗を求めやすい」という性質がある。

#線形代数入門 25 #WolframAlpha で… ▶#対角行列 をシンプルに書く方法 DiagonalMatrix[ {1,2,3,4} ] wolframalpha.com/input?i=Diagon… これで { {1,0,0,0}, {0,2,0,0}, {0,0,3,0}, {0,0,0,4} } という #行列 になる。 #対角成分 を並べるだけで書けて楽！

#線形代数入門 24 #対角行列 のn乗は， 各 #対角成分 をそれぞれn乗すればよい。 対角行列 J に対し J^n を求める具体例: { {2,0,0}, {0,3,0}, {0,0,4} }^n ja.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7… 出力: { {2^n, 0, 0}, {0, 3^n, 0}, {0, 0, 4^n} } 対角成分ごとのn乗である。

#線形代数入門 21 前ツイで，#行列 Mのn乗を 容易に #WolframAlpha で計算できた理由は， このMが「#対角化 できる」という 良い性質をもった行列だったから。 Mを対角化するとは， #対角成分 のみ非ゼロの値を持つ行列 (#対角行列)Jにより M = S J S^(-1) の形に分解するということ。