#線形代数入門 55 任意の #正方行列 Aは， 適当な #正則行列 Pにより， 「#ジョルダン細胞 によって #ブロック対角化 された #行列」J: J = P^{-1} AP とできる。 この J を #ジョルダン標準形 という。 変形すると A = P J P^{-1} で，この形を A の #ジョルダン分解 という。

#線形代数入門 54 ①#対角行列 はn乗しやすい ↓ 任意の #行列 は #対角化 すればn乗しやすくなる。 ②#ジョルダン行列 はn乗しやすい。 ③「#ジョルダン細胞 を並べて #ブロック対角化 された #行列」 もn乗しやすい。 ↓ 任意の行列は #ジョルダン標準形 にすれば n乗しやすくなる！

#線形代数入門 52 #対角行列 は #対角成分 をn乗するだけで 簡単に「#行列 のn乗」を計算可能。 また，対角行列でない場合でも 前ツイまでで見た通り #ジョルダン行列 はn乗の一般項を求められる。 さらに 「#ジョルダン細胞 で #ブロック対角化 された #行列」も n乗を計算しやすい。

#線形代数入門 49 #ジョルダン細胞(#ジョルダン行列) のn乗を求めてみよう。 2次 #正方行列 で， #対角成分 が2の場合… Simplify[ { { 2, 1 }, { 0, 2 } }^n ] wolframalpha.com/input?i=Simpli… 出力: (2^n | 2^(n - 1) n 0 | 2^n)

#線形代数入門 47 #行列 Aの #最小多項式 p(x) における #根 λ_i の「重複度」を n とし， ･#対角成分 を λ_i ･対角成分の「真上」の値を1 ･他の要素は0 …としたn次 #正方行列 が， #ジョルダン細胞 J_n( λ_i ) である。

#線形代数入門 44 #ジョルダン標準形 (Jordan normal form) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8… 任意の #正方行列 Aは本質的に ただ1つのジョルダン標準形Jと #相似。 #ジョルダン細胞 によって #ブロック対角化 された #行列 J を考えると， 適当な #正則行列 Pにより J＝P^{-1} AP とできる。

#線形代数入門 43 #行列 を #対角化 できない場合， かわりに #ジョルダン標準形 を求めればよい という定石がある。 ジョルダン標準形とは #対角成分 として #ジョルダン細胞 をもち ほかの値が0であるような行列のこと。 #対角行列 と同じく 「n乗を求めやすい」という性質がある。

#線形代数入門 39 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80… λが行列Aの #固有多項式 の #根 である事と， λが行列Aの #最小多項式 の根である事とは同値。 #行列 Aの 最小多項式 p(x) における 根 λ の #重複度 は， λ に対応する A の #ジョルダン細胞 の 最大 #次数 を表す。