#線形代数入門 60 #行列 の… ･#固有値 と #固有ベクトル による #対角化 ･#ジョルダン分解，#ジョルダン標準形 ↑ これらの背景にある理論は 「#単因子論」である。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98… ・行列の #単因子(invariant factor)とは， 行列の #標準形 を定める #不変量 のこと。

#線形代数入門 58 #WolframAlpha で… ▶#行列 の #ジョルダン分解 (#ジョルダン標準形)を求める方法: 行列を入力するだけ。 {{0,4,5},{-2,3,2},{0,2,4}} wolframalpha.com/input?i=%7B%7B… M=S J S^(-1) S= (1|3/2|2 -2|1|-1 2|0|2) J= (2|1|0 0|2|0 0|0|3)

#線形代数入門 57 3項間 #連立漸化式 を解くため #行列 のn乗を利用する， という問題を再び考えよう。 {{1,0,-1}, {3,2,3}, {6,2,3}} は #対角化可能 で，n乗を求められた。 {{0,4,5}, {-2,3,2}, {0,2,4}} の場合，対角化不能。 →かわりに #ジョルダン分解 しよう！

#線形代数入門 56 #行列 を #対角化 すれば n乗しやすくなるのと同じように， 行列を #ジョルダン分解 すれば n乗しやすくなる。 ∵ A = P J P^{-1} のとき A^n = (P J P^{-1}) … (P J P^{-1}) = P (J^n) P^{-1} ここで #ジョルダン標準形 J のn乗 J^n は求まるので A^n も求まる。

#線形代数入門 55 任意の #正方行列 Aは， 適当な #正則行列 Pにより， 「#ジョルダン細胞 によって #ブロック対角化 された #行列」J: J = P^{-1} AP とできる。 この J を #ジョルダン標準形 という。 変形すると A = P J P^{-1} で，この形を A の #ジョルダン分解 という。