位相空間Xからハウスドルフ空間Yへの連続単射がある場合、Xもハウスドルフである。

こういう主張を見ると、連続体仮説が破れててかつ濃度ℵ_1のこういう集合があることは無矛盾か？と気になりますね (まだ何も真面目に考えていない) (画像は『深めよう位相空間』(大田)より) pic.twitter.com/5OHcqAzNnv

返信先:@sato_taylor0そそ(*´▽｀*)！ 位相空間として同じ……なんかグニャグニャ変形したら同じってことさ！（雑 指数関数も，その逆写像の対数関数も連続だから同相でいいんじゃないかな～✨

＜#代数学の参考書＞ 「連続群論」(岩波書店1957ポントリャーギン) 序文より: 『増補と共に この再版に本質的なものは #コンパクト群 または #局所コンパクト群 に関し #第2可算公理 の仮定を外した事。 この変更はこの本の多くの章， 特に #位相空間 について述べる 第2章に相当の影響…』

【連続講義】位相空間論 1｜位相の定義 youtu.be/Kyncc9TjgU8?si… @YouTubeより

話が飛ぶが、やはり(古典的な)層の理論はとても良い。関数はあくまでそれが定義されている開集合との組でないと意味をなさないというのは非常に理に適っている。シンプルな具体例として「(与えられた位相空間の)開集合ごとに定義されている連続関数の集合」の族が層になっている。

＜#代数学の参考書＞ 「連続群論(上)」(岩波書店1957ポントリャーギン) 序論より: 『純粋に #論理学 的な 観点から見れば， #位相群 は， #群 と #位相空間 という 2つの数学的概念を 組合わせたものに他ならない. 従って，位相群の概念は 極めて #自然 に #公理的 に組立てる事ができる.』

集合Xの冪集合P(X)の要素と、集合Xから{0,1}への写像全体の集合の要素が対応することは大学数学で印象に残ってるものの一つ！ 位相空間版もあるようで 位相空間Xからシェルピンスキー空間{Φ,{0},{0,1}}への連続写像はXの開部分集合と対応する！ これを圏の上に抽象化したのか部分対象分類子なのかしら

＜#代数学の参考書＞ 「連続群論(上)」(岩波書店1957ポントリャーギン) 序論より引用: 『#連続群(または #位相群) という概念は，歴史的には #連続変換群 の研究から 生じたものである。 連続変換群，例えば #幾何学 に現われる #変換群 は， #自然 な #位相 で #位相空間 になっている。』

＜#代数学の参考書＞ 「連続群論(上)」(岩波書店1957ポントリャーギン) 序論より引用: 『#連続群(または #位相群) という概念は，歴史的には #連続変換群 の研究から 生じたものである。 連続変換群，例えば #幾何学 に現われる #変換群 は， #自然 な #位相 で #位相空間 になっている。』

位相空間の圏Topから始めてすべてが作り上げられ、特にその世界でのR^RはTopでのR^R(もちろんこの中には連続関数しかない)から導かれるので、なんかなるべくして連続になったような感じ。

特に、定義域や値域が距離空間の場合だと、コンパクト値対応のグラフが閉なら上半連続であるという閉グラフ定理(関数解析で出てくるやつとは別の定理です)がよく知られてますが、これが一般の位相空間でも拡張出来るんですよね。

ネットによる位相空間論、数理経済学では対応(集合値関数)の半連続性の議論で結構活躍するんですよね…特にコンパクト値対応においては上半連続や半連続となる条件をネットの言葉で書くことが出来るんですよね。

＜#代数学の参考書＞ 「連続群論(上)」(岩波書店1957ポントリャーギン) 序論より引用: 『#連続群(または #位相群) という概念は，歴史的には #連続変換群 の研究から 生じたものである。 連続変換群，例えば #幾何学 に現われる #変換群 は， #自然 な #位相 で #位相空間 になっている。』

返信先:@koka39743691学部レベルの内容であれば、具体例を理解しているべきだと思います。一方で、研究レベルだとそもそも例を見つけるのが難しい問題もあります。例えば、連続関数の例、コンパクト位相空間の例、群の例、多様体の例などを知っていなければ当該分野を理解しているとはいえないと思います。

返信先:@tooooottttteeeeε-δはユークリッド空間間の関数にしか使えない具体的なものだから、先に位相空間で一般的な写像の連続に関して定義する、みたいな？

返信先:@IE50_test逆数学でのホモロジー論は特異ホモロジーが連続写像全体を集めてこなければならないからそのままではできなく、位相空間の単体分割の仕方に依存した単体ホモロジーなら展開できます。単体ホモロジーが単体分割に依存しないことを示すのには単体近似定理が必要でこれがWKL_0と同値

有限位相空間から自分自身への連続全単射が同相写像になるというのも、群論の応用問題？

代数多様体の間の通常の意味での射が連続になる様にするにはZariski位相の概念が自然だが、Weil予想の中にあった今で言うWeil cohomology論を産出するには位相空間からコホモロジーが定まるというset upを換骨奪胎させる必要があった

【連続講義】位相空間論 1｜位相の定義 youtu.be/Kyncc9TjgU8?si… @YouTubeより

位相空間でネットを扱いたい場面としては，「弱位相」「弱＊位相」「テスト関数族で生成される位相」などを扱う場面があるかなと思いました． 距離空間Xの上のボレル確率測度全体の集合に有界連続関数全体をテスト関数族として入れる位相(narrow top.)の性質の確認に用いた記憶があります

返信先:@m_a_t_h_01例えば写像の連続性を証明するとき, 定義域の位相空間が第一可算とかならば, 収束点列を収束点列に写すことを示せば良いですが, 一般の位相空間の場合はそれでは不十分です(一般にsequentially continuousとcontinuousは違う). しかし任意の位相空間で, 収束ネットを収束ネットに写す写像は連続です.

【連続講義】位相空間論 1｜位相の定義 youtu.be/Kyncc9TjgU8?si… @YouTubeより 日本地図で例えるのわかり易すぎた

圏論的にいうと数学体系は対象と射が織りなすものだ。例えば位相空間論は位相空間とその間の連続写像の理論だし、群論は群とその間の準同型の理論だ。じゃあ基礎論では対象と射はなんなんだろう？

ZFC-Inf 位相空間に相当する物は 　「集合の超準解釈」が表現する無限小モナドによる連続表現（だと思ってる）。 「無限小領域」は「無限集合とは限らない」が「存在する」。

#集合・位相入門 #松阪和夫 中間値の定理を学習し、定理「連結な位相空間の連続像は連結」などが証明できて初めて中間値の定理が証明できるということに行き着いた。高校？の中間値の定理では使うだけだったからな〜

一般の位相空間の連続写像についても同じこと言える？

去年度の位相演習で見た「X:位相空間、Y:局所コンパクトハウスドルフ空間、f: X→Yが固有(連続)写像のとき、fが閉写像」を使う場面が出てきた。

返信先:@natsuki_mfdそれはありますね。 非可算位相空間のデフォルトがRと扱われることが多い気がしていて(例えば、Rへの連続関数の存在とかで空間の性質を説明したりとか)、 なんでRなんじゃいって答えがよくわからないんですよね

とりあえず連続って性質が位相空間レベルの抽象度だと正体不明でどの性質を使えばいいのかわからんくてむずい。

位相空間における連続が苦手っぽい

XからYへの連続関数の空間B(X,Y)を一様収束位相により位相空間と考えて Xを位相空間とする。Y を距離空間とする この時 P:B(X,Y)xX →Yを f∈B(X,Y)、x∈X での値がf(x)である写像とするとこれは連続である。

返信先:@uzukikuma普通の位相空間論(連続写像)とか

位相空間Xから距離空間Yへの写像fを考える。Y の距離をdとする。 DfをXxYからRへの写像とし、Df(x,y)=d(f(x),y)とした時、 fが連続な事とDfが連続な事は同値である。 fが連続ならば普遍性より(積写像の定義は上記とは違うのでここは行間あり)fxidYも連続でdも連続なので

情報系の数学： * 微積・線型 * 位相空間論 * 群論・環論 * 微分方程式 * フーリエ解析 * ルベーグ積分 * 確率論 * 多様体論 * 関数解析学 * 組合せ論 * 最適化理論（離散 / 連続）