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#3次元・極座標のラプラシアン導出 39 #3次元 極座標系の中に #2次元 極座標系が ごく自然に内包されるように. またθやφは 位置ベクトルと座標軸の #内積 をとるだけで簡単に求まるように. この上記の方針だけで x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ z = r cosθ が 自動的に決まるのである.
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#3次元・極座標のラプラシアン導出 36 z = r cosθ x = r sinθ cosφ y = r sinθ sinφ このように #3次元 の #極座標 を 非常に簡単に導けた. ポイントは 【z座標を最初に考える】こと! そうすればz座標をわきに置いて xy平面上の見慣れた #2次元 極座標の話に 還元しやすくなるから.
#3次元・極座標のラプラシアン導出 34 ↑P=(x,y,z) をxy平面上に #射影(投影)した ↑P ' について… その大きさ r ' は r '=√(x^2+y^2) であり, xy平面上でx軸からの角度を φ(ファイ)とおけば r ' cos φ = x r ' sin φ = y が成り立つ. ↑ これは見慣れた #2次元 の #極座標!
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