このアカウントで使用する ハッシュタグの一覧 ▶量子化学のレクチャー: ①#シュレディンガー方程式の導出 ②#3次元・極座標のラプラシアン導出 ③#3次元・極座標ラプラシアン記憶法 ▶参考資料を紹介: ･#量子論をWebで独学・おすすめコンテンツ ･#量子論の参考書

#3次元・極座標ラプラシアン記憶法 1 このタグでは， #3次元・極座標のラプラシアン導出 で導出した数式を #語呂合わせ で暗記してみましょう。 憶えたいのは下記の式です。 ∆= (∂_r)^2 +(1 / r^2) (∂_θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂_φ)^2 +(2 / r) ∂_r +(cosθ / r^2 sinθ) ∂_θ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 98 #div と #grad を使って 工夫して求める方法もある。 「#ラプラシアン (#極座標･#円筒座標)の計算は #ヤコビアン を使うと簡単」 mtlnk.net/j_s%253A%252F%… いろんな参考文献をあたってみて， それぞれの本でどう導出しているか 見比べてみよう！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 97 計算の課程は 下記URLなどでも閲覧できる. 【微分】#ラプラシアン Δの #極座標 表示を導く計算 mtlnk.net/j_s%253A%252F%… 二乗和の計算の手間を減らすため， 少し工夫する方法もある. 【微積分】ラプラシアンの極座標表示 mtlnk.net/j_s%253A%252F%… .

#3次元・極座標のラプラシアン導出 96 #極座標 の #ラプラシアン の計算で 感想として 「めっちゃ楽しかった！」 「こういう計算を一日中，ずっとしていたい！」 「２４時間やっていられる！」 と思う人が もしいたら…， その人は，#微分幾何学 が向いている。 才能があるのだろう。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 95 まさに「計算地獄」だったのでは？ ひらめき無しに 正攻法だとこうなる. それを一度，自分の手で じかに味わうことも大切. そうすれば，計算の工夫や 簡単化の方法を探そう， よりシンプルな方法を見つけよう というモチベーションが生まれるから.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 94 以上で，#ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 の #3次元 での #極座標 表示 ＝ (∂/∂r)^2 +(1 / r^2) (∂/∂θ)^2 +(1 / r^2 sin^2 θ) (∂/∂φ)^2 +(2 / r) (∂/∂r) +(cosθ / r^2 sinθ) (∂/∂θ) を導出した. 何という手間だ…

#3次元・極座標のラプラシアン導出 93 (∂/∂x)^2 (∂/∂y)^2 (∂/∂z)^2 のそれぞれを #極座標 化できたので…， この3つを足し合わせれば ∆＝(∂/∂x)^2＋(∂/∂y)^2＋(∂/∂z)^2 の極座標表示が求まる。 この計算過程も 下記，画像パート13にまとめた。 . pic.x.com/4pdzt75rak

#3次元・極座標のラプラシアン導出 92 (∂/∂x)^2 や (∂/∂y)^2 の計算と同じく…， (∂/∂z)^2 の #極座標 化を求める計算過程も 画像にまとめた。 画像パート11: (∂_z)^2 を計算するための「#積の微分」準備 画像パート12: (∂_z)^2 を計算 . pic.x.com/llwaxhi1mt

#3次元・極座標のラプラシアン導出 91 (∂/∂x)^2 の計算と同じく (∂/∂y)^2 の #極座標 化を求める計算過程も 画像にまとめた。 (長すぎてテキストでつぶやけない) 画像パート9: (∂_y)^2 を計算するための「#積の微分」準備 画像パート10: (∂_y)^2 を計算 . pic.x.com/f8pwjt0znw

#3次元・極座標のラプラシアン導出 90 (∂/∂x) の #極座標 表示を2乗し， #積の微分 を駆使しながら (∂/∂x)^2 を求める…という計算過程を 画像にまとめた. なお，計算結果は余りに長すぎて 文字としてつぶやく事ができない. 画像パート8：(∂_x)^2 を計算 . pic.x.com/qsai2fwy6w

#3次元・極座標のラプラシアン導出 89 (∂/∂x)^2 を求める際に， 計算過程の中で必要になる #積の微分 について， すべて画像にまとめておいた。 画像パート7： (∂_x)^2 を計算するための 「積の微分」に関する前準備をまとめ . pic.x.com/voo4lshvd8

#3次元・極座標のラプラシアン導出 88 (∂/∂x)^2で使う #積の微分 続 ∂_θ (1/sinθ)∂_φ=-(cosθ/sin^2 θ)∂_φ+(1/sinθ)∂_θ ∂_φ ∂_φ cosφ ∂_r=-sinφ ∂_r+cosφ ∂_φ ∂_r ∂_φ cosφ ∂_θ=-sinφ ∂_θ+cosφ ∂_φ ∂_θ ∂_φ sinφ ∂_φ=cosφ ∂_φ+sinφ (∂_φ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 87 (∂/∂x)^2 の計算に必要な #積の微分: ∂_r (1/r) ∂_θ=－(1/r^2) ∂_θ＋(1/r) ∂_r ∂_θ ∂_r (1/r) ∂_φ=－(1/r^2) ∂_φ＋(1/r) ∂_r ∂_φ ∂_θ sinθ ∂_r=cosθ ∂_r＋sinθ ∂_θ ∂_r ∂_θ cosθ ∂_θ=－sinθ ∂_θ＋cosθ (∂_θ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 86 #ラプラシアン の計算ミスが頻出である事は 杉浦「解析入門Ⅰ」の 第Ⅱ章「微分法」§6「多変数ベクトル値函数の微分法」p137にも こう注記されている。 引用: 『二階偏導函数の計算では，#積の微分 法によって係数を微分することを忘れてはならない』

#3次元・極座標のラプラシアン導出 85 微分対象の関数 f を略さず明記した場合: (∂/∂r){ (1/r)･(∂/∂θ) f(r,θ,φ) } = (－1/r^2)(∂/∂θ)f + (1/r)(∂/∂r)(∂/∂θ)f 微分対象の関数 f を略し，省いた場合: (∂/∂r){ (1/r)･(∂/∂θ) } = (－1/r^2)(∂/∂θ) + (1/r)(∂/∂r)(∂/∂θ)

#3次元・極座標のラプラシアン導出 84 微分対象の関数 f(r,θ,φ) を明記し #積の微分 を使うと… (∂/∂r) { (1/r)･(∂/∂θ) f(r,θ,φ) } = { (∂/∂r)(1/r) }･(∂f/∂θ) + (1/r)･(∂/∂r)(∂f/∂θ)←この項が現れる = (－1/r^2)(∂/∂θ)f + (1/r)(∂/∂r)(∂/∂θ)f これが正しい計算！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 83 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } = { (∂/∂r) (1/r) }・(∂/∂θ) ↑ この計算は誤り. 微分対象の関数 f(r,θ,φ) を 略さず書けば… (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) f(r,θ,φ) } つまり (1/r) と (∂/∂θ) f(r,θ,φ) との積を #積の微分 で扱う必要がある.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 82 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } 【心の声】 r で #偏微分 か…。 (1/r) は r に依存する項だけど (∂/∂θ) には r という文字が使われてないから， (∂/∂θ) の部分は影響を受けず { (∂/∂r) (1/r) }・(∂/∂θ) とできるんじゃないか？※間違いです

#3次元・極座標のラプラシアン導出 81 ∂/∂x の #極座標 表示を2乗し (∂/∂x)^2 を求める際， 計算をミスりやすいポイント… それは「#積の微分」！ ここでよく間違える。 (∂/∂r) { (1/r) (∂/∂θ) } ＝ { (∂/∂r) (1/r) } (∂/∂θ) ＝ －(1/r^2) (∂/∂θ) この計算は間違いである！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 80 (∂/∂x)^2 = { (sinθ cosφ)(∂/∂r) +(cosθ cosφ / r)(∂/∂θ) －(sinφ / r sinθ)(∂/∂φ) }^2 ↑ 展開すると3×3=9項。 さらに各項で #積の微分 により 項数が倍に増え18項になる. それが x，y，zの3変数ぶんあるので…， 合計で18×3＝54項！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 79 ∂/∂x = (sinθ cosφ)(∂/∂r) +(cosθ cosφ / r)(∂/∂θ) －(sinφ / r sinθ)(∂/∂φ) ↑ を二乗すれば， (∂/∂x)^2 が求まる。 同じように (∂/∂y)^2　も (∂/∂z)^2　も 求めればよい。 …が，ここからの計算はしんどく かなりミスりやすい…！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 78 #直交座標 での #偏微分 ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z の３つをそれぞれ #極座標 パラメータ r，θ，φ だけで表す事ができた。 次は，これらの二乗和をとればよい。 #ラプラシアン ∆ ＝ (∂/∂x)^2 ＋ (∂/∂y)^2 ＋ (∂/∂z)^2 の極座標表示まであと少し！

#3次元・極座標のラプラシアン導出 77 ここまでの計算式を画像にまとめた。 パート5：x,y,zによる1階微分の #極座標 化が完了 パート6：#行列 形式で整理する . pic.x.com/r2mp9ryi9q

#3次元・極座標のラプラシアン導出 76 #行列 形の #座標変換 と 係数行列の #直交性 は 杉浦「解析入門Ⅰ」第Ⅱ章「微分法」 §6「多変数ベクトル値函数の微分法」 p143にも掲載されている. 下記URLの #ヤコビ行列 の3行列への分解も参照. #球面座標系/座標変換 mtlnk.net/j_s%253A%252F%… .

#3次元・極座標のラプラシアン導出 75 #極座標 から #直交座標 への #座標変換 の係数 #行列: A = { { sinθ cosφ，cosθ cosφ，sinφ }， { sinθ sinφ， cosθ sinφ， cosφ }， { cosθ，　　－sinθ，　　0　　} } #直交行列 で (A^t) A = E ゆえ #逆行列 は #転置 で求まる. A^(-1) = A^t

#3次元・極座標のラプラシアン導出 74 さらにシンプルな行列として 整理して書く方法 (∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z)^T = { { sinθcosφ，cosθcosφ，sinφ }， { sinθsinφ， cosθsinφ， cosφ }， { cosθ，　　－sinθ，　 0 } }( ∂/∂r，(1/r) ∂/∂θ，(1/rsinθ) ∂/∂φ )^T

#3次元・極座標のラプラシアン導出 73 縦ベクトル同士を結ぶ変換行列として整理 (∂/∂x，∂/∂y，∂/∂z)^T = { { sinθcosφ，cosθcosφ / r，sinφ / rsinθ }， { sinθsinφ， cosθsinφ / r，cosφ / rsinθ }， { cosθ，　　　 －sinθ / r，0 } }(∂/∂r，∂/∂θ，∂/∂φ)^T

#3次元・極座標のラプラシアン導出 72 1階微分が完成 ∂/∂x = (sinθcosφ)(∂/∂r) +(cosθcosφ/r)(∂/∂θ) -(sinφ/rsinθ)(∂/∂φ) ∂/∂y = (sinθsinφ)(∂/∂r) +(cosθsinφ/r)(∂/∂θ) +(cosφ/rsinθ)(∂/∂φ) ∂/∂z = (cosθ)(∂/∂r) -(sinθ/r)(∂/∂θ) +0(∂/∂φ)

#3次元・極座標のラプラシアン導出 71 ここまでの計算式を画像にまとめた。 パート1：計算方針として #全微分 の式を作る パート2：rを1階微分する演算子を #極座標 化 パート3：θを1階微分する演算子を極座標化 パート4：φを1階微分する演算子を極座標化 . pic.x.com/ytu9oioqxj

#3次元・極座標のラプラシアン導出 69 前ツイまでの計算結果 ⑦ ∂r/∂z = cosθ ⑧ ∂θ/∂z = －sinθ / r ⑨ ∂φ/∂z = 0 ↑ これを，f の全微分形に代入しよう！ (∂/∂z) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂z) ⑦ + (∂f/∂θ) (∂θ/∂z) ⑧ + (∂f/∂φ) (∂φ/∂z) ⑨

#3次元・極座標のラプラシアン導出 68 ⑨ ∂φ/∂z を求めよう！ tan φ = y / x の両辺をzで偏微分してみると (∂φ/∂z)・1/(cos φ)^2　※ = (∂/∂z)(y / x) = 0 ∴ ∂φ/∂z = 0 ※公式: (d/dφ) tanφ = 1 / (cosφ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 67 ⑧ ∂θ/∂z を求めよう！ cosθ＝z・(x^2+y^2+z^2)^(－1/2) の両辺をzで偏微分 (－sinθ) ∂θ/∂z = z'・(x^2+y^2+z^2)^(－1/2) + z・(－1/2) 2z (x^2+y^2+z^2 )^(－3/2) =1/r－z^2/r^3 =(r^2－r^2 cos^2 θ)/r^3 =(sin^2 θ)/r ∴ ∂θ/∂z＝－(sinθ)/r

#3次元・極座標のラプラシアン導出 66 ⑦ ∂r/∂z を求めよう！ r = √( x^2+y^2+z^2 ) の両辺をzで偏微分すると… ∂r/∂z = (∂/∂z){ (x^2+y^2+z^2)^(1/2) } = (1/2) (2z) { (x^2+y^2+z^2)^(－1/2) } = z / √(x^2+y^2+z^2) = z / r ここで z = r cos θ より = (r cosθ) / r = cosθ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 65 (∂/∂y) も #極座標 で表せたので， 同じ方法で (∂/∂z) を極座標で表してみよう！ (∂/∂z) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂z) ⑦ + (∂f/∂θ) (∂θ/∂z) ⑧ + (∂f/∂φ) (∂φ/∂z) ⑨ この ⑦ ∂r/∂z ⑧ ∂θ/∂z ⑨ ∂φ/∂z を求めればよい。

#3次元・極座標のラプラシアン導出 63 前ツイまでの計算結果 ④ ∂r/∂y = sinθ sinφ ⑤ ∂θ/∂y = cosθ sinφ / r ⑥ ∂φ/∂y = cosφ / r sinθ ↑ これを，f の全微分形に代入しよう！ (∂/∂y) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂y) ④ + (∂f/∂θ) (∂θ/∂y) ⑤ + (∂f/∂φ) (∂φ/∂y) ⑥

#3次元・極座標のラプラシアン導出 62 ⑥ ∂φ/∂y を求めよう！ tan φ = y / x の両辺をyで偏微分してみると (∂φ/∂y)・1/(cos φ)^2　※ = 1 / x = 1 / r sinθ cosφ ∴ ∂φ/∂y = cosφ / r sinθ ※公式: (d/dφ) tanφ = 1 / (cosφ)^2

#3次元・極座標のラプラシアン導出 61 ⑤ ∂θ/∂y を求めよう！ cosθ = z/r = z/√(x^2+y^2+z^2) = z (x^2+y^2+z^2)^(－1/2) の両辺をyで偏微分すると… (－sinθ)・∂θ/∂y = z・2y (－1/2) (x^2+y^2+z^2)^(－3/2) = －zy/r^3 = －(r cosθ)(r sinθ sinφ)/r^3 ∴ ∂θ/∂y = cosθ sinφ / r

#3次元・極座標のラプラシアン導出 60 ④ ∂r/∂y を求めよう！ r=√( x^2+y^2+z^2 ) の両辺をyで偏微分 ∂r/∂y = (∂/∂y){ (x^2+y^2+z^2)^(1/2) } = (1/2) (2y) { (x^2+y^2+z^2)^(－1/2) } = y / √(x^2+y^2+z^2) = y / r ここで y = r sinθ sinφ より = (r sinθ sinφ) / r = sinθ sinφ

#3次元・極座標のラプラシアン導出 59 (∂/∂x) を #極座標 で表せたので， 同じ方法で (∂/∂y) を極座標で表してみよう！ (∂/∂y) f(r,θ,φ) = (∂f/∂r) (∂r/∂y) ④ + (∂f/∂θ) (∂θ/∂y) ⑤ + (∂f/∂φ) (∂φ/∂y) ⑥ この ④ ∂r/∂y ⑤ ∂θ/∂y ⑥ ∂φ/∂y を求めればよい。