#大学の力学_惑星の運動編 105 惑星の #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ (d/dt)↑e(t) ＝ 0 ↓ ↓ 両辺を積分する ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM － ↑r/r ↓ ↓ 両辺と ↑r の #内積 をとる ↓ #楕円軌道 (#ケプラーの第１法則)

#大学の力学_惑星の運動編 101 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル の定義式: ↑e(t) ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r 両辺で ↑r(t) との #内積 をとった結果… 左辺・↑r(t) = e r cos θ 右辺・↑r(t) = h^2 / GM － r ∴ e r cos θ = h^2 / GM － r r, θ の式になった！

#大学の力学_惑星の運動編 97 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r 右辺と ↑r との #内積 をとると… ↑e・↑r = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}・↑r / GM － ↑r・↑r / r = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}・↑r / GM － r

#大学の力学_惑星の運動編 96 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル の定義式: ↑e ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r この式の左辺と ↑r(t) との #内積 をとると e r(t) cos θ(t) になる。 では，この式の右辺と ↑r(t) との内積をとると どうなるか？

#大学の力学_惑星の運動編 95 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル と 惑星の #位置ベクトル との #内積 をとる ↓ cosθが決まる ↓ θが決まる ↓ おかげで #極座標 を作れる なぜこういう流れになるか？ 「#角度」を定義するのは，じつは難しい. 「内積」のほうがはるかに定義しやすい.

#大学の力学_惑星の運動編 94 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル である 定ベクトル ↑e と， 惑星の #位置ベクトル ↑r(t) との #内積 をとると… ↑e・↑r(t) ＝ e r cosθ ＝ e r(t) cos θ(t) ※eはある定数 となり， この r(t), θ(t) で #極座標 を設定可能になる。

#大学の力学_惑星の運動編 92 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) は定ベクトルだから， この #ベクトル の向きは 「3次元空間内に固定されたまま ある一方向を常に向く。」 ということは…， この ↑e を「#座標系 の基準軸」として使える， という事になる。

#大学の力学_惑星の運動編 91 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) が #保存量 であり， 定ベクトルである… …ということは， この #ベクトル の大きさについて | ↑e(t) | ＝ e (ある定数) と書ける。 では ベクトルの向きについてはどうか？

#大学の力学_惑星の運動編 90 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) ＝ {(↑r)'×(↑r×(↑r)')} / GM － ↑r / r について (d/dt)↑e ＝ ↑0 …ということは， この #ベクトル ↑e は 一見すると時間の関数だが， 実際には時間変化せず 定ベクトルである，という事を意味する。

#大学の力学_惑星の運動編 89 #ケプラーの第１法則 の 証明の流れを復習: #運動方程式 を立てる ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t)={(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM－↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる←★今ここ！ ↓ ↓ 両辺積分 ↓ #楕円軌道 を導出

#大学の力学_惑星の運動編 83 #惑星 の #運動方程式 ↑r̈=－(GM/r^3)↑r 変形し (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)－GM(↑r/r)}=↑0 ↓ (d/dt){↑ṙ×(↑r×↑ṙ)/GM－↑r/r}=↑0 { } 内を ↑e=↑ṙ×(↑r×↑ṙ)/GM－↑r/r とおけば (d/dt)↑e=↑0 ↑eは #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル.

#大学の力学_惑星の運動編 49 #ケプラーの第１法則 と保存量の関係: #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = { (↑r)'×( ↑r×(↑r)' ) }/GM－↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる. ↓ ↓ 両辺を積分 ↓ #楕円軌道 が導出される！

#大学の力学_惑星の運動編 47 エゴサ用に検索リンクを作っておいた。 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル (#LRLベクトル)のさまざまな表記ゆれを吸収して 一括ツイート検索。 ↓ x.com/search?q=%22%E… .

#大学の力学_惑星の運動編 46 同じものを指すのに， 表記ゆれが大きいので エゴサで検索しづらい…。 ･#ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ･Laplace-Runge-Lenz ベクトル ･#ラプラスベクトル ･Laplaceベクトル ･#ルンゲ・レンツベクトル ･Runge-Lenzベクトル ･#LRLベクトル

#大学の力学_惑星の運動編 45 #ルンゲ・レンツベクトル(Runge–Lenz vector) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB… 逆二乗則に従う #中心力 の下の運動 (#ケプラー問題)における #保存量 の1つ。 #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル (Laplace–Runge–Lenz vector，#LRLベクトル) とも呼ばれる。

#大学の力学_惑星の運動編 44 #角運動量 ↑L(t) = ↑r(t) × ↑p(t) は わりと単純な形をしている。 いっぽう #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = { (↑r) ' × ( ↑r × (↑r) ' ) } / GM － ↑r / r は ↑L よりは複雑な式。 ↑L(t) も ↑e(t) も 時間変化しない #保存量。

#大学の力学_惑星の運動編 43 #ケプラーの第２法則(#面積速度一定) において，系の #保存量 は ･#角運動量 ↑L または ･#面積速度 d↑S/dt だった。 いっぽう #ケプラーの第１法則(#楕円軌道) において，系の保存量は ↑L と別に #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e がある。