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#大学の力学_惑星の運動編 106 ここまでで, ベクトル形式の #運動方程式 を立て #微分方程式 を「#ベクトル のまま」解き #保存量 ↑e を導出し 惑星の #楕円軌道(#ケプラーの第1法則) を証明できた. 途中で使った #角運動量保存 は #ケプラーの第2法則(#面積速度一定)と 等価である.
#大学の力学_惑星の運動編 105 惑星の #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ (d/dt)↑e(t) = 0 ↓ ↓ 両辺を積分する ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e = {(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM - ↑r/r ↓ ↓ 両辺と ↑r の #内積 をとる ↓ #楕円軌道 (#ケプラーの第1法則)
#大学の力学_惑星の運動編 89 #ケプラーの第1法則 の 証明の流れを復習: #運動方程式 を立てる ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t)={(↑r)'×(↑r×(↑r)')}/GM-↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる←★今ここ! ↓ ↓ 両辺積分 ↓ #楕円軌道 を導出
#大学の力学_惑星の運動編 51 #ケプラーの第2法則(#面積速度一定) の後で #ケプラーの第1法則(#楕円軌道) を証明するのはなぜ? 番号からいえば,順序が逆では? ↓ 第1法則よりも 第2法則のほうが #保存量 がシンプルで導出しやすいため。 また, 第1法則の証明に 第2法則を使う。
#大学の力学_惑星の運動編 50 #ケプラーの第2法則(#面積速度一定) も #ケプラーの第1法則(#楕円軌道)も 下記の手順で導出できる. ① 物理法則を #微分方程式 で書く. ↓ ② ①を変形し d/dt~=0の形を作る。 それが #保存量. ↓ ③ ②をtで積分すると 微分方程式が解けた事になる.
#大学の力学_惑星の運動編 49 #ケプラーの第1法則 と保存量の関係: #運動方程式 を立てる. ↓ ↓ 変形 ↓ #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e(t) = { (↑r)'×( ↑r×(↑r)' ) }/GM-↑r/r が (d/dt)↑e=↑0 を満たす #保存量 となる. ↓ ↓ 両辺を積分 ↓ #楕円軌道 が導出される!
#大学の力学_惑星の運動編 43 #ケプラーの第2法則(#面積速度一定) において,系の #保存量 は ・#角運動量 ↑L または ・#面積速度 d↑S/dt だった。 いっぽう #ケプラーの第1法則(#楕円軌道) において,系の保存量は ↑L と別に #ラプラス・ルンゲ・レンツベクトル ↑e がある。