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#シュレディンガー方程式の導出 40 3次元の #シュレディンガー方程式 を #水素原子 の #電子 に適用する. 水素原子の #原子核 から電子までの距離をr #電荷素量 をeとおくと… 電子が受ける #クーロン力 は F(r) = e^2 / 4πε_0 r^2 なる #引力. #ポテンシャル は U(r) = －e^2 / 4πε_0 r
#シュレディンガー方程式の導出 35 ▶#電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式: {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X(x) = E X(x) ▶#運動量 演算子: p = ±i ℏ (d/dx) ここからは，上記の式を #水素原子 の電子に当てはめ 具体的な #微分方程式 を作ってみましょう。
#シュレディンガー方程式の導出 32 #相対論 より E=√(m^2 c^4+p^2 c^2)① 「#光子 はm=0だから①はE=pcとなり そこから p=h/λ② が言える」 「次はm≠0である #電子 にも ②を同様に当てはめよう」 ②はm=0の前提で導いたのに m≠0の時も②を使うのは変だ！ ↑ 初学者のハマりポイント
#新しいインド の #電子 市場は、1550億ドルという評価額を誇り、産業の成長潜在力を際立たせています。この市場は革新を促進し、さらなる発展を推進するための数多くの投資機会を提供しています。 詳細はこちら：bit.ly/II-Electronics #インド投資 #インドでの投資 @MAFF_JAPAN @MLIT_JAPAN pic.twitter.com/CtbeFrjWnr
#シュレディンガー方程式の導出 27 #電子 の運動に関する 時間非依存の #シュレディンガー方程式 {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2＋U(x) } X = E X ① ここで，古典力学での 全エネルギーの定義は p^2 / 2m ＋ U(x) = E ② ①左辺と ②左辺を比べると －(ℏ^2)(d/dx)^2 = p^2 ∴ p = ±i ℏ (d/dx)
#シュレディンガー方程式の導出 26 #電子 のみたす #波動方程式 －(ℏ^2 / 2m)X_xx ＋ U X = E X ↓ {－(ℏ^2 / 2m)(d/dx)^2 ＋ U(x) } X ＝ E X これを，1次元の 「時間に依存しない #シュレディンガー方程式」 と呼ぶ。 左辺の { } 内は 右辺の #エネルギー Eに対応すると考えられる。
#シュレディンガー方程式の導出 25 #ディラック定数(#換算プランク定数) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87… ℏ＝h/2π を定義すると… #電子 のみたす #波動方程式 は X_xx＝－4π^2 (2m/h^2)(E－U) X ↓ X_xx＝－(2m/ℏ^2)(E－U) X ↓ －(ℏ^2 / 2m)X_xx = (E－U) X ↓ －(ℏ^2 / 2m)X_xx＋UX = E X
#シュレディンガー方程式の導出 24 1次元で運動する #電子 に #波長 λを仮定すると E＝p^2 / 2m + Uかつ p＝h/λ より E＝h^2 / 2mλ^2 + U ∴ 1/λ^2＝(2m/h^2)(E－U)なる λとEの関係式を得て これを時間非依存の #波動方程式 に代入すると X_xx =－4π^2 (1/λ^2) X =－4π^2 (2m/h^2)(E－U) X
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