#論理回路学_NAND構成編 12 Q. やっぱり #標準形 のﾁｶﾗってすごくない？ A. すごい。 いかなる #論理関数 も #真理値表 を書き出力が1の項を並べれば #加法標準形 になる。 すなわちANDの #OR接続 になり #AND，#OR，#NOT だけで表現できるので #NAND という1種類の素子だけで作れる。

#論理回路学_標準形編 25 Q. Z=(A+B)(B+C)(C+A)の #乗法標準形 を求める方法2つ A. ①#真理値表。 A，B，C，Zの真理値表を書き Zが0になる行の #最大項 を #AND接続。 ②#ブール代数 の計算。 ￢Z の #加法標準形 を求め 両辺を否定。 ※乗法標準形を直接，計算で求めるのは面倒でNG！

#論理回路学_NAND構成編 11 Q. 「全ての #論理素子 を #NAND に置き換える」 を考えてますが… そのためには #AND，#OR，#NOT の3つの素子をNANDに書き換える方法 だけ知っていれば十分。 なぜ？ A. 任意の #論理関数 は #加法標準形 で表す事ができ ANDの #OR接続 で表現できるから。

#論理回路学_標準形編 24 Q. Z＝AB＋BC＋CA の #加法標準形 は？ A. #OR接続 された各項内に 全変数が出現するようにする。 1＝(X＋￢X) を活用すればよい。 Z ＝ AB(C＋￢C)＋BC(A＋￢A)＋CA(B＋￢B) ＝ ABC＋AB(￢C)＋ ABC＋(￢A)BC＋ ABC＋A(￢B)C ＝ ABC＋(￢A)BC＋A(￢B)C＋AB(￢C)

#論理回路学_標準形編 20 Q #真理値表 から #加法標準形 を生み出す作業の流れは A 真理値表の中で 出力が1になる行に注目し その行の入力が 0なら否定，1なら肯定で 変数の積を取り #最小項 を作る。 例 X Y 0 1 に対応する最小項は (￢X)Y それら最小項を #OR接続 すれば加法標準形。

#論理回路学_標準形編 19 Q 入力値X，Yと ある #論理関数 Z の #真理値表 がある。 X Y Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Zの #加法標準形 は？ A. Z=1となる #最小項 を #OR接続 する。 X Y 0 1 に対応する最小項は (￢X)Y X Y 1 0 に対応する最小項は X(￢Y) OR接続し Z=(￢X)Y＋X(￢Y)

#論理回路学_標準形編 16 Q #加法標準形 は何の役に立つ？ A 中身の分からない #論理回路 や 具体形が不明な #論理関数 がある時， 入力と出力を #真理値表 に書けば それだけで 論理関数の式を求められる。 なので便利！ 真理値表の出力が1の行に注目すれば 求まる式は「加法標準形」。

#論理回路学_標準形編 15 Q 「#論理関数 は必ず #加法標準形 と #乗法標準形 で表せる」 この事実って何に役立つ？ A 「どんな論理関数でも必ず #AND，#OR，#NOT だけで表現できる」 「AND，OR，NOTの３種の部品さえあれば どんな #論理回路 も作れる」 とわかるので価値あり。

#論理回路学_標準形編 14 Q ･#加法標準形 ･#乗法標準形 「#最大」「#最小」という用語を使って言い換えると？ A 加法標準形は #最小項 が #OR接続 された形式なので， 「#最小項形式」とも呼ぶ。 乗法標準形は #最大項 が #AND接続 された形式なので， 「#最大項形式」とも呼ぶ。

#論理回路学_カルノー図編 48 #論理回路学 要点のつながり #回路 の中身を見れずブラックボックスな時 入出力を計測し #真理値表 を書ける。 下図(1)→(4) 真理値表で出力が1の行に注目し #加法標準形 を作れば 回路を #論理式 として記述できる。 下図(4)→(3) pic.twitter.com/Xh0JcL3pqO

#論理回路学_標準形編 12 Q #論理関数 の「#最小項」って何？ 3変数での具体例は？ A 最小項は， 「全変数が #AND接続 された項」のこと。 つまり 「#加法標準形 の中で #OR接続 された各項のうち1項」 のこと。 ３変数の最小項は ABC，AB￢C，A￢B￢C　など。

#論理回路学_標準形編 11 Q #論理関数 の #加法標準形 と #乗法標準形 の関係は？ A 同じ論理関数を 2通りの方式で表現したものだから， 互いに「#同等な論理式」である。 また， 加法標準形と 乗法標準形は 論理関数として「#双対」の関係にある。 ※#双対性の原理 を思い出そう

#論理回路学_標準形編 10 Q 入力値A，B，Cに対しX=A+B+C は ･#乗法形 ･#乗法標準形 ･#加法形 ･#加法標準形 か？ A. ORの #AND接続 なので乗法形。 全項に全変数が現れるので乗法標準形。 ANDの #OR接続 と見れば加法形。 加法の各項に全変数が現れてはいないので 加法標準形でない。

#論理回路学_標準形編 6 Q 入力値 A，B，C がある時 #論理関数 Z=AB を 「#加法標準形」に直せ A. #AND の #OR接続 なので 「#加法形」だが ABにはCが出てこないので 「加法標準形」でない。 全ての変数を出現させるには Z=AB =AB・1 =AB(C＋￢C) =ABC＋AB￢C 加法標準形になった。

#論理回路学_標準形編 5 Q. 入力値 A，B，C と #論理関数 X，Y があり X＝(A＋B)・C Y＝AB これらは「#加法形」？ 「#加法標準形」？ A. Xは「#AND の #OR接続」でないので 加法形でない。 Yは「ANDのOR接続」なので加法形。 全項に全変数が現れてはいないので，加法標準形でない。

#論理回路学_標準形編 4 Q. 入力値として論理変数A，B，Cがあり #論理関数 X，Y は X＝ABC＋AB￢C Y＝ABC これらはそれぞれ「#加法形」？ それぞれ「#加法標準形」？ A. Xは「#AND の #OR接続」なので加法形。 全項に全変数が現れるので加法標準形。 Yも同じで加法形かつ加法標準形。

#論理回路学_標準形編 3 Q #論理関数 の「#加法標準形」とは？ A 論理関数の #加法形 で 「#OR接続 された各項内に それぞれ全ての論理変数が出現する」ものを 「加法標準形」 (disjunctive canonical form) と呼ぶ。 ※「#主加法標準形」「#論理和標準形」ともいう。

#論理回路学_カルノー図編 36 Q 4変数の #カルノー図 上で 各マス目に対応する #最小項 は？ A 下図の通り 頭の中でスラスラ出てくるようにしておきましょう (※最低限，必須) これまでで #加法標準形 について理解してあれば この4変数カルノー図も楽勝なはず pic.twitter.com/dJDAl3JVix

#論理回路学_カルノー図編 18 Q 添付の #カルノー図 で 出力が1なマス目の #最小項 を求め それを使い このカルノー図が表す #論理関数 Zの #論理式 を求めよ A. X Y 対応する最小項 0 0 ￢X￢Y 1 1 XY この最小項を #OR接続 すると #加法標準形 は Z=￢X￢Y+XY pic.twitter.com/bbgwruyHMO

#論理回路学_カルノー図編 17 #加法形 #加法標準形 #最小項 #真理値表 から加法標準形を計算する手順 下記ﾏﾄﾒで復習しよう 「(パート２)#論理回路学・問題と解答」 togetter.com/li/1376226 ＞１０　加法形，加法標準形 ＞１２　最小項と最大項 ＞１３　標準形は何に役立つのか

#論理回路学_カルノー図編 16 Q 2変数 #カルノー図 で 各マス目に対応する #最小項 は？ A 下図の通り。つまり #真理値表 と同じ。 もしここがわからなかったら 「#最小項，#加法形，#加法標準形 について 理解していない」 という事なのでそこを復習しよう。 pic.twitter.com/UUDTrs07r9

#論理回路学_カルノー図編 15 Q #カルノー図 内で 出力が1なマスに対応する #最小項 を #OR接続 すると何になるか？ #真理値表 との関係は？ A #加法標準形 になる。 「出力が1になる入力値セット に対応する最小項」 をOR接続すると 加法標準形になるのは， 真理値表の場合も同じ。

#論理回路学_カルノー図編 1 ここからは＜#カルノー図 編＞となる。 ･#真理値表 とカルノー図の違いは何？ ･#ブール代数 だけでなくカルノー図が必要なのはなぜ？ ･#加法形 や #加法標準形 とどう関係？ ･3～4変数で #ドントケア 項を考慮し カルノー図を使いこなせる？

#論理回路学_標準形編 50 まとめてある。 「(パート２)　#論理回路学・問題と解答 ⊕#ブール代数 の計算 ⊕#論理関数 の #加法形&#乗法形･#標準形 ⊕「#加法標準形&#乗法標準形」の #双対性 資格試験や単位取得に活用しよう。 togetter.com/li/1376226

#論理回路学_標準形編 49 ここまでで 「#ブール代数 と #標準形」 の範囲は完了。 要点 ･ブール代数の計算 ･#加法標準形 の求め方 ･#乗法標準形 の求め方 ･加法標準形と乗法標準形が #双対 である事の，証明の仕方 ↑ この４つが自信もってできていれば この範囲は合格だ。

#論理回路学_標準形編 48 Q 中身がブラックボックスの #論理回路 Zの #真理値表 を書いてみた。 #加法標準形 と #乗法標準形 どちらでZを表現するのが楽？ A 真理値表の出力に1が少なければ 加法標準形で表現するのが楽。 真理値表の出力に0が少なければ 乗法標準形で表現するのが楽。

#論理回路学_標準形編 46 Q. Z＝AB＋￢BC＋￢A￢B #加法標準形 Z1を求めよ A. A B C Z #最小項 0 0 0 1 ￢A￢B￢C 0 0 1 1 ￢A￢BC 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 A￢BC 1 1 0 1 AB￢C 1 1 1 1 ABC Z1＝￢A￢B￢C＋￢A￢BC＋A￢BC＋AB￢C＋ABC

#論理回路学_標準形編 44 Q. Z＝A＋￢BC #加法標準形 Z1を求めよ A. A B C Z #最小項 #最大項 0 0 0 0　　　　A+B+C 0 0 1 1 ￢A￢BC 0 1 0 0　　　　A+￢B+C 0 1 1 0　　　　A+￢B+￢C 1 0 0 1 A￢B￢C 1 0 1 1 A￢BC 1 1 0 1 AB￢C 1 1 1 1 ABC Z1＝￢A￢BC+A￢B￢C+A￢BC+AB￢C+ABC

#論理回路学_標準形編 43 前ツイから続く #乗法形 Z は 否定して #ド・モルガンの定理 を使えば #加法形 になる。(=￢Z) そしてこの加法形 ￢Z は #ブール代数 の計算で全変数を出現させれば #加法標準形 になる。 そして加法標準形を否定すれば ￢￢Z は #乗法標準形 になる。 以上！

#論理回路学_標準形編 42 Q. Zが #乗法形 の時 #加法標準形 と #乗法標準形 は どう求めるのが楽？ A とりあえず，わからなかったら #真理値表 さえ書けば 加法標準形も乗法標準形も求まる。 それだけは覚えておくこと！ でも，一応計算のテクニックもある。 次ツイに続く

#論理回路学_標準形編 41 Q. Zが #加法形 の時 #加法標準形 と #乗法標準形 は どう求めるのが楽？ A 加法形は 全変数が現れるよう #ブール代数 で計算し 加法標準形になる。 変数を出現させるには1＝(A＋￢A)を使う。 ↓ #真理値表 を書き 出力が0の行に注目し 乗法標準形を作れる。

#論理回路学_標準形編 38 Q あるZの #加法標準形 Z1=￢A￢BC+￢AB￢C+A￢BC+AB￢C と #乗法標準形 Z2=(A+B+C)(A+￢B+￢C)(￢A+B+C)(￢A+￢B+￢C) が #双対 である事の証明方法 A Z1を加法標準形から #加法形 に直す① ↓ Z2を否定し #ド・モルガンの定理 を適用し もう一度否定② ↓ ①=②

#論理回路学_標準形編 37 Q. Z=A⊕B の #加法標準形 Z1と #乗法標準形 Z2を #真理値表 で求めよ A. 真理値表 A B Z #最小項 #最大項 0 0 0　　　　A＋B 0 1 1 ￢AB 1 0 1 A￢B 1 1 0　　　　￢A＋￢B Z1＝A￢B＋￢AB Z2＝(A＋B)(￢A＋￢B) 楽！

#論理回路学_標準形編 35 Q ･#加法標準形 と #加法形 ･#乗法標準形 と #乗法形 各々どちらがシンプルか？ A #標準形 は 全部の変数が現れるように冗長化してあり 式がそのぶん長い。 だから ・加法標準形より単なる加法形のほうが短い。 ・乗法標準形より単なる乗法形のほうが短い。

#論理回路学_標準形編 32 Q. Z=(A+B)(B+C)(C+A) ￢Zの #加法標準形 を #ブール代数 で求めよ A. ￢Z = ￢A￢B+ ￢B￢C+ ￢C￢A = ￢A￢B(C+￢C)+ ￢B￢C(A+￢A)+ ￢C￢A(B+￢B) = ￢A￢BC+ ￢A￢B￢C+ A￢B￢C+ ￢A￢B￢C+ ￢AB￢C+ ￢A￢B￢C = ￢A￢BC+ A￢B￢C+ ￢AB￢C+ ￢A￢B￢C

#論理回路学_標準形編 30 Q #真理値表 から #加法標準形 を作る時 真理値表の行ごとに 「 "対応する" #最小項」 を横に書くが この "対応する" ってどういう意味？ A 「対応する最小項」とは 「この行の入力値のセットで1を産めるような最小項」 の意。 入力値 A=0，B=1 なら (￢A)B

#論理回路学_標準形編 29 Q. Z=A＋￢(B⊕C)の #乗法標準形を #ブール代数 で求めよう A. ￢Z =(￢A)(B⊕C) =(￢A)((￢B)C＋B(￢C)) =(￢A)(￢B)C ＋ (￢A)B(￢C) これは￢Zの #加法標準形 両辺否定 ￢左辺=￢￢Z=Z ￢右辺 =￢((￢A)(￢B)C)・￢((￢A)B(￢C)) =(A＋B＋￢C)・(A＋￢B＋C)

#論理回路学_標準形編 27 Q #真理値表 から #加法標準形 を作る時 出力が1の行を集め 行内で入力が0の変数を否定するのはなぜ？ A #OR接続 内に1項でも1があれば出力が1なので 「1を生み出せる行」を表から集める。 行内で 入力が0の変数を否定 入力が1の変数を肯定し積を取れば1を生む。

#論理回路学_標準形編 25 Q. Z=(A+B)(B+C)(C+A)の #乗法標準形 を求める方法2つ A. ①#真理値表。 A，B，C，Zの真理値表を書き Zが0になる行の #最大項 を #AND接続。 ②#ブール代数 の計算。 ￢Z の #加法標準形 を求め 両辺を否定。 ※乗法標準形を直接，計算で求めるのは面倒でNG！

#論理回路学_標準形編 24 Q. Z＝AB＋BC＋CA の #加法標準形 は？ A. #OR接続 された各項内に 全変数が出現するようにする。 1＝(X＋￢X) を活用すればよい。 Z ＝ AB(C＋￢C)＋BC(A＋￢A)＋CA(B＋￢B) ＝ ABC＋AB(￢C)＋ ABC＋(￢A)BC＋ ABC＋A(￢B)C ＝ ABC＋(￢A)BC＋A(￢B)C＋AB(￢C)