#アナログ信号の解析法 53 ↑ このタグの復習… ･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形) ↓ 三角関数で #級数展開 ･#フーリエ級数展開 ↓ 変形(#オイラーの公式) ･#複素フーリエ級数展開 ↓ 変形(#区分求積法) ･#フーリエ変換 周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能 OKでしょうか.

#アナログ信号の解析法 51 #フーリエ級数展開 や #複素フーリエ級数展開 と比べた場合の #フーリエ変換 のメリット: ･#周期 が無い一般のアナログ #波形 に適用できる ･#微分方程式 を解くのに役立つ ･#離散フーリエ変換 や #FFT，#ラプラス解析 など重要な応用に橋渡しできる

#アナログ信号の解析法 45 ①#フーリエ級数展開 f(t)=Σ(sinとcos) ②#複素フーリエ級数展開 f(t)=Σ(exp) ③#フーリエ変換 f(t)=∫{-∞→∞}F(ω)e^(jωt)dω ①②:#周期 Tの #アナログ信号 を 離散スペクトルの和(Σ)に分解 ③:一般のアナログ信号を 連続スペクトルの #積分(∫)に分解

#アナログ信号の解析法 44 「#複素フーリエ級数展開 で T→∞の #極限 をとれば #フーリエ変換 を導出できる」 ↑ Tは信号の #周期 だから， Tが無限大という事は いつまでたっても信号の #波形 に 「繰り返しが現れない」という事. つまり，#周期信号 ではない 一般の波形を扱える！

#アナログ信号の解析法 34 ▶#周期 Tの #アナログ信号 ↓ ↓ sin,cos の集まりとみなす ↓ ▶#フーリエ級数展開 ↓ ↓ #オイラーの公式 で ↓ sin,cosを #exp に書き換え ↓ ▶#複素フーリエ級数展開 ↓ ↓ 周期T→∞の #極限 を取り ↓ #区分求積法 でΣを∫に ↓ ▶#フーリエ変換

#アナログ信号の解析法 21 Q. #フーリエ級数展開 は #周期関数 しか扱えないので不便？ A. 物理的or工学的な問題を扱う際 無限に過去までとか 無限に未来までデータを知る必要は無い. 現実的に 「一定の有限期間T」の幅に収まる部分だけが処理対象. それは #周期 Tを持つのと同じこと.

#アナログ信号の解析法 15 #フーリエ級数展開 で， #信号 の区間(#周期)を －πからπ　や 0から2π　とする流儀も多い。 その場合 「長さ2πの固定区間」の信号波形で 計算していることになり， 汎用性に欠けてしまう。 2πに固定せず，区間の長さLやTで 公式を覚えておいた方が良い。

早稲田実業中等部の算数対策問題に「図形の回転と周期」を追加しました。　　 #中学受験 #算数 #早稲田実業 #図形の回転 #周期

#アナログ信号の解析法 1 ↑ このタグでは下記の項目を学びます. ･#有限長 信号(#周期 をもつ #波形) ↓ 三角関数で #級数展開 ･#フーリエ級数展開 ↓ 変形(#オイラーの公式) ･#複素フーリエ級数展開 ↓ 変形(#区分求積法) ･#フーリエ変換 周期が無い一般の #アナログ信号 を分析可能

#デジタル信号とサンプリング 31 ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ] = 2 ω_0･sinc(ω_0･t) を使うと #デジタル信号 の #スペクトル を ω軸上で1 #周期 切り出した式は 2πy(-t) = τ y_d(-t) * ℱ_ω[ rect(ω/(Ω/2)) ] = y_d(-t) * 2τω_0･sinc(ω_0･t) π/τ=ω_0より y(-t) = y_d(-t) * sinc(ω_0･t)

#デジタル信号とサンプリング 27 ω軸上で #デジタル信号 を 1 #周期 切り出したもの ℱ[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) = ℱ[y] 両辺をω軸上で #フーリエ変換 ℱ_ω[ ℱ_t[y_d]・τ rect(ω / (Ω/2)) ] = ℱ_ω[ ℱ_t[y] ] 左辺の #積 を変形すると…？

#デジタル信号とサンプリング 25 #デジタル信号 の #スペクトル ℱ[y_d]=(1/τ)Σ{k=-∞→∞}F(ω－kΩ) は #周期 Ωの #周期関数 だから… 「ω軸上で長さΩかつ高さτの #矩形関数」 τ・rect(ω / (Ω/2)) をかければ 1周期ぶんのF(ω)を切り出せる！ ※rect(x)= 1 (-1≦x≦1) 0 (otherwise)