#3次元・極座標のラプラシアン導出 5 ▶文献1続 その∂/∂x，∂/∂y，∂/∂zを2乗し足し合わせ (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 =∇^2=∆の極座標表示を得る. それを活用し 6章「#水素原子」 §6.1「エネルギー固有値と固有関数」で #シュレディンガー方程式 を #変数分離 で解いている.

＜#物理数学の参考書＞ 「リー理論と特殊函数」(1975ミラー) 前書きより 『#線型偏微分方程式 を #変数分離 する #座標系 は その #方程式 に #附随 した #Lie環 の #展開環 に属する #可換 な #作用素系 と 対応しており， 方程式の #解 である #特殊函数 は その #同時固有函数 になる.』

#3次元・極座標のラプラシアン導出 5 ▶文献1続 その∂/∂x，∂/∂y，∂/∂zを2乗し足し合わせ (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 =∇^2=∆の極座標表示を得る. それを活用し 6章「#水素原子」 §6.1「エネルギー固有値と固有関数」で #シュレディンガー方程式 を #変数分離 で解いている.

#3次元・極座標のラプラシアン導出 5 ▶文献1続 その∂/∂x，∂/∂y，∂/∂zを2乗し足し合わせ (∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2+(∂/∂z)^2 =∇^2=∆の極座標表示を得る. それを活用し 6章「#水素原子」 §6.1「エネルギー固有値と固有関数」で #シュレディンガー方程式 を #変数分離 で解いている.

#微分方程式の基礎 10 Q. 1階線形・非斉次の常微分方程式 dy/dx+P(x)y=Q(x) を #定数変化法 で解け A. #斉次 方程式 dy/dx+P(x)y=0 を #変数分離 で解くと #特解 は y=Cexp(-∫Pdx) CをC(x)に置き換え #非斉次 方程式に代入 C(x)=∫Qexp( ∫Pdx ) dx＋c #一般解 は y=C(x)exp(-∫Pdx)

#微分方程式の基礎 6 Q. 「同次」かつ「斉次」であるような 微分方程式 A. dy/dx＋( 1/x ) y＝0 これは dy/dx＝f( y/x ) の形をしているから #同次 形の微分方程式であり #変数分離 で解ける. また この線形微分方程式は右辺が0で 全ての項に未知関数が含まれるから #斉次 である.

#微分方程式の基礎 3 1階･常微分方程式のパターン 「1階線形 #斉次」 (First-order, linear, homogeneous) ▶形式 dy/dx＋P(x) y＝0 ▶解き方 #変数分離 ▶参考 yと, yの全ての導関数とについて高々1次であれば 線形微分方程式と呼ぶ. 線形微分作用素L=d/dx+P(x)で L y=0 と書ける.

#微分方程式の基礎 2 1階・常微分方程式のパターン 「#同次 形」(First-order, homogeneous) ▶形式： dy / dx＝f( y / x ) ▶解き方： y/x＝z とおくと →y＝zx →dy/dx＝d(zx)/dx＝f(z) xとzの #変数分離 形となる。

#微分方程式の基礎 1 1階・常微分方程式のパターン 「#変数分離 形」(separation of variables) ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89… ▶形式： dy / dx＝f(x) g(y) ▶解き方： 両辺に変数を分離・整理し dy / g(y)＝f(x) dx この両辺を積分すればよい。 積分定数 ＋C を忘れずに。