#解析力学_保存量と対称性編 16 Q. リウヴィル=アーノルドの定理とは. A. Liouville–Arnold theorem (#リウヴィルの定理) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA… 独立な #第一積分 の組が #包合系(#ポアソン括弧 が #可換)なら求積可能. #正準変数 として #作用・角変数 を取れて #相空間 での軌道はトーラス.

#解析力学_Hamilton形式編 32 Q. #ハミルトン力学 における #ポアソン括弧 {f, g} の定義を述べよ A. Poisson Bracket ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D… #正準共役 量 q_1, …, q_n p_1, …, p_n #相空間 上の関数 f(q, p) g(q, p) に対し {f,g}=Σ_i (∂f/∂q_i・∂g/∂p_i－∂g/∂q_i・∂f/∂p_i)

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」(2005) p6より: 『#相空間 で #物理量 の #時間発展 F(t,x)＝f( T_t x ) は，#方程式 ∂F/∂t＝(F, H) を満たす. (･,･) は #ポアソンの括弧式. #有限自由度 かつ #非相対論的 な #量子力学 は， #ハミルトン力学系 に 似た #構造 をもつ.』

#解析力学_Hamilton形式編 21 Q. #ハミルトン方程式 ṗ=－∂H/∂q q̇=　∂H/∂p に従う物理量が #相空間 内で描く軌道は 決して交差しない と言えるのはなぜか A. 軌道上の1点(q,p)を指定した時 ハミルトン方程式の左辺から その1点の時間変化の方向ベクトルが 相空間内でただ一通りに定まるため

#解析力学_Hamilton形式編 11 Q. 1次元調和振動子の運動は (p,x)の #相空間 内で楕円軌道. ↑ これは，時間tをあえて軸に取らない #ハミルトン形式 の特徴ですが そのメリットは？ A. 運動全体の様子が 有限の描画範囲内に収まれば， 運動の「構造」を定性的に把握しやすい. ※「構造」が重要！

#解析力学_Hamilton形式編 9 Q. 1次元調和振動子は #相空間 上でどんな軌道を描くか A. 粒子の位置を x 運動量を p とすると #位相空間 上の点は (x,p) で表される. #ハミルトニアン は H＝(p^2)/2m＋(kx^2)/2 なので エネルギーが一定の条件下で振動する場合 相空間上で描く軌跡は楕円.

#解析力学_Hamilton形式編 8 Q. 物理学で #相空間(#位相空間)とは A. phase space ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D… 力学系の位置qと運動量pを 座標(直交軸)とする空間. 数学の位相空間(topological space)とは別物. #ハミルトン形式 では 物理量は #正準変数 q,pの関数で 相空間上で軌道を描く.

＜#解析力学の参考書＞ 「コマの幾何学 ― 可積分系講義」 (共立出版2000Audin) kinokuniya.co.jp/f/dsg-01-97843… 『#因子，#微分形式， #テータ函数 などの #代数幾何学 的な対象を #巧妙 に用いながら， #運動 の様子や #相空間 の #幾何学 を 明らかにしてゆく。』

＜#量子論の参考書＞ 「数学から見た量子力学」(2005砂田) p6より: 『#相空間 で #物理量 の #時間発展 F(t,x)＝f( T_t x ) は，方程式 ∂F/∂t＝(F,H) を満たす. (･,･)は #ポアソンの括弧式 である. 有限自由度かつ 非相対論的な #量子力学 は #ハミルトン力学系 に似た #構造 をもつ.』